不定积分练习题(二)

1、不定积分练习题一、选择题、填空题：1、(1sin2-)dx22、若ex是f(x)的原函数，则：x2f(lnx)dx3、sin(lnx)dx24、已知e是f(x)的一个原函数，则f(tanx)secxdx5、在积分曲线族dxx、x中，过(1,1)点的积分曲线是y6、F'(x)f(x)则f'(axb)dx7、设f(x)dx-2c,则)dx;xe1,8、设xf(x)dxarcsinx6贝dx;f(x)9、f'(lnx)1x,则f(x);10、若f(x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f(x);(A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限11、若xf(x)dx

2、xsinxsinxdxMUf(x)12、若F'(x)f(x),'(x)f(x)，则f(x)dx(A)F(x)(B)(x)(C)(x)c(D)F(x)(x)c13、下列各式中正确的是：d(A)df(x)dxf(x)(B)一f(x)dxf(x)dxdx(C) df(x)f(x)(D)df(x)f(x)c14、设f(x)(A)ex,则：皿)dx x-1(B) lnx c (C) 一(D) ln x c115、 tdx.x(1x).1(A)arcsinxc(B)arcsinxc(C)2arcsin(2x1)c2(D) arcsin(2x1)c16、若f(x)在a,b上的某原函数为零，则

3、在a,b上必有(A) f(x)的原函数恒等于零；(B)f(x)的不定积分恒等于零；(C)f(x)恒等于零；(D)f(x)不恒等于零，但导函数f'(x)恒为零。二、计算题：1 2 dx x(x 2)2(2)dxx2 . 4x2 1(3) cos、xdxsin xcosx. 1 sin2 xdx5x 1dx小、 sin2x ,(6)4；dxcos x sin x2ln x 1 2 dxx (ln x)(8)124dxcos x . tanxarcsin x(9)2 dxx(10)cosx sin x1 sin2 xdx(11)sin x cosx , dxsin x cosxsin4 x

4、,(12) dx1 cosx(13)dx1 sin4 xln x(14) 2 dx(1 x)(15)arcsin . xdx1 x(16)xe 1 .17-dxe 4arctan . x(17) dx,1 x1 sin x cosx(18) 1 sin2x ”(19)x2rarctanxdx (20)1 x2xln(1 x2)dx(21) tan3 xdx(22)1，dx1 e2x(23)x dx 1 cosx(24)(x3xd 100 dx1)(25)e2x(tan x1)2dxarctanx(26) ?Fdx(27)arctanexLdxe(28)设 f (sin2 x)sin x，求：,

5、 f (x)dx1 x(29)已知f(x)的一个原函数为ln2x,求：xf'(x)dx答案：一、选择题、填空题11)-(xsinx)c2)2x3)-sin(lnx)cos(lnx)c,2tanx4)e15)2x"310)B11)C16)F(axb)a12)C13)D14)C-7、2x7)e15)D8)13(13x2ax9)e16)C、计算题：1)nx1ln442(x2)2)S'1x3)2(.xsin.xcos.x)c4)i2lnV2secx.2sec2x15)2ln31nx26)-1n2sinx1c7)1c、4,、菽c8)3(tanx)1.9)一arcsinxxIn1

6、,.、11)(sinxcosx)112)2(x1.c、-sin2x)21.11x21.2c10)arctan(sinx)-=ln(2.221尸lnsec(x)tan(x)c2V24413-sinx3lnx14)1xInxIn1x)c16)1arctan221.1lnx-ln(48cosx)cosx一1一1一c13)-tanxarctan(一2tanx)c2.215)2、1xarcsinx.xce2x4)c17)2.1xarctan<x2ln、.xx)18)2-arctan(V2tanx)arctan(sinx)ln22.21，,19)xarctanx-ln(12、1,、2x)&(

7、arctanx)22)lnVie2xc23)xcotxIn24)26)1-(x1)96arctanx27)x12x-e2963(x1)9712-(arctanx)1arctanxe228)2arcsinx、1229)2lnxlnxcosx2cosx21221220)-ln2(1x2)c21)-tan2x22Incossinx97398(x1)981.x2-ln2c21x21x-arctanec22xcxsinx1(x1)9In99cscxcot2x,c25)etanxc高等数学测试题(三)中值定理、导数应用部分一、选择题(每小题4分，共20分)1、下列函数在1,1上满足罗尔定理条件的是(C)x

8、21AyeBylnxCy1xDy21x2、曲线y(x1)3的拐点是(B)A(1,8)B(1,0)C(0,1)D(2,1)3、已知函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0有(C)实根A一个B两个C三个D四个4、设函数f(x)在(a,b)内可导，则在(a,b)内f(x)0是函数f(x)在(a,b)内单调增的(B)A必要非充分条件B充分非必要条件C充要条件D无关条件5、如果f(x0)0,f(x0)0,则(B)Af(x0)是函数f(x)的极大值Bf(x0)是函数f(x)的极小值Cf(x0)不是函数f(x)的极值D不能判定f(x0)是否为函数f(x)的极值二、填空题(每小题4分，共20

9、分)一，一,11、函数yln(x1)在0,1上满足拉格朗日定理的=1ln22、函数f(x)1x33x29x在闭区间0,4上的最大值点为x=43_一4、，、口3、函数yx-的单调减少区间是(2,0)(0,2)4、若函数f(x)在xa二阶可导，则f(a h) f(a)hhf (a) 1=2f (a)35、曲线yx一的铅直渐近线为x2x2三、解答题1、(7分)计算解：原式=limx0xe1xxlimx(e1)x0exex1xe-xxexe2、(7分)计算limx0解：原式=limx0lnx斤xymV2x.x2.x)3、(7分)计算一一1sinx-)x解：令一1sinx-()xxlny1lnxsinx

10、limlnyx0lnlim一x0sinxlimxxcosxsinxx0sinxxcosxsinx0所以4、(7分)计算x1J)'解：令x(-,xx1bc)x3lnln(axbxln3limlnyx0运limx0axlnabxlnbcxlncxxxabcln3abc所以原式eln3/abc3abc5、(10分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)0,证明：存在(a,b)，使得f()f()g()证明：设F(x)f(x)eg(x),由f(x),g(x)的连续性知:F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a)F(b)0,由罗尔定理知存在(a,

11、b),使得F()0即f()eg()f()g()eg()0,所以f()f()g()0证毕。2x6、（10分）证明：当x0时，x2ln(1x)证明：令f(x)ln(1x)x,f(x)因此f（x）在（0,）内单调减，所以f(x)f(0)0,(x0)ln(1x)x令g(x)ln(1x)2x(x-),g(x)20(x0)因此g(x)在(0,）内单调增，所以g(x)g(0)ln(1x)2xx一2，总之当2x0时，x土2ln(1x)x证毕。7（12分）设函数f（x）在x0的邻域内具有三阶导数,(1)(2)lim(1求f(0),求lim(1f(0),f(0)1f(x)x解：（1）因为lim（1xf(x),xf

12、(x)、ln(1x)e3,所以limJ3x0x由于分母极限为0,所以1im/n(10,即lim(f(x)在x0连续，则limf(x)x0f(0)0f(0)mf(x)f(0)1n(1xlimx0xf(x)0,由1n(1xlimx0f(x)、)3x)一limx0f(x)xxx1叫(1军）3,所以xlim与2,即lim与2,x0x2x02x11n(13f(x)1m1im(1x)xex0x由此得f(x)limex0x(0)1册0Yf(x)1m9x0x22exe8、(10分)设函数f(x)在开区间(a,b)内连续,ax1x2b,试证：在开区间(a,b)内0,t20)至少存在一点c,使得t1f(x1)12

13、f(x2)(t1t2)f(c)(t1证明：因为f(x)在(a,b)内连续，ax1x2b,所以f(x)在xi,x2上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知,f(x)在x1,x2上存在最大值M和最小值m,即在x1,x2上,mf(x)M,所以(tlt2)mtif(x1)12f(x2)(tlt2)M,又因为tit20,所以tif(xi)12f(x2)t1t2由连续函数的介值定理知：存在c(XW)(a,b),使得tif(xi)12f(x2)t1t2f(c)，tif(x)12f他2)(tit2)f(c)(t10,t20)证毕。1.选择题(1)设函数f(x)在(0,)内连续，且Istf(t0-)dx(s0,

14、ts0),则I的值B.依赖于s,t(C.A依赖于s,t,xC.依赖于t,不依赖于sD.依赖于s,不依赖于t0, f (x) 0,令(2)设在a,b上f(x)0,f(x)B.).bSf(x)dx,s2f(b)(ba),as31f(a)f(b)(ba),则(2A.s1s2s3B.s2s1s3C.s3gs2D.s2s3s1(3)F(x)esintsintdt，则F(x)为(A.A正常数B.负常数C.恒为零D.不为常数提示：F(x)0,F(0)_sintesintdt_sintesintdt0esintsintdt,而(4)卜列反常积分发散的是sintsintdtD.A.B.C.-1dxxlnxD.2

15、.计算题,、11(1)求lim-(-=nn、2nn解：原式1lim-nn1_sinxesinxdt.0xe2xdx-dxsinxn12()nnn2()n(2)设函数f(x)可导,且f(0)，F(x)xtn0f(xntn)dt,F(x)2nx解：令uxntnf(u)du,所以limx0F(x)2nx1n、f(x)lim2nx02nxn1nxlim。x02nf(xn)limx02nf(xn)f(0)12n(0)(5)已知xa.lim()xxate2tdt,求a的值.解：由条件有lim(12a2t3xa2ax)2axaa1atde22t12aae212a-e4所以a5.2(6)设连续非负函数满足f(

16、x)f( x) 1 ( x)，求Icosxdx.f(x)解：令tX,I2cos(t)dt28stdt21f(t)11f(t)2f(x)cosxdx，从而2I讶cosxdx2,故I1.21f(X)23 .当x0,t0时f(x)满足方程xtxt1 f(u)dut1f(u)du1xf(u)du且f(x)在0,)有连续一阶导数，又f(1)3,求f(x).x解：两边对t求导，得xf(xt)f(u)duxf，1x令t=i,得xf(x)f(u)duxf(1),一一一3对x求导，得f(x)xf(x)f(x)f(1),即f(x)-,x所以f(x)3lnxC,又由f(1)3知C3,故f(x)3lnx3.4 .设f(x),g(x)在区间a,a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)f(x)A(A为常数)，aa(1)证明：f(x)g(x)dxAg(x)dxa0(2)利用(1)结论计算定积分3sinxarctanexdxa0a证明：(1)f(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx,aa000a令ux，f(x)g(x)dxf(u)g(u)duf(x)g(x)dx,a