解排列组合应用题的十三种策略及常现背景

1、解排列组合应用题的十二种策略导与练排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。例1（2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用一同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有Z Qi 、 5 ）种。（以数字作答）。：1二分析：本题只要用两个基本原理即可解决。解：根据题意，可分类求解：第一类，用三种

2、颜色着色，由乘法原理C14C41 C12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C14C41 C12 C1i=48种方法。从而再由加法原理，得24+48=72种方法。故应填72。二、特殊元素（位置）优先例2从a,b,c,d,e 这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放 在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排b,但考虑到取出的4个元素可以有b,也可 以没b,所以分两类：第一类，取出的4个元素中有b,则排b有A3种方法；再从a,c,d,e中 取出3个排另外三个格子有A；种所以此类共有A13 A3种。第二类，取出的4个元素中没有b

3、, 则！有A4种方法，所以共有A3 A3 + A4=96种放法.解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A4种（从a,c,d,e中取一个）再排另三格有A4种，所以共有AA4种放法。解法三：（间接法）A54 A：三、捆绑法例3.计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成 一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）AA：A；BA3A：A CC；A：A5D AA：A解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素”先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有A22种方法，又幅油画的不同陈列方式有 A4种，幅国画陈列方式 有A55种，因

4、而，画展的 不同陈列方式有A； A： A；种，故选D.四、插空法例4、道路边上有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10的10盏路灯，现要关掉其 中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有 几种？解：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在 7盏开着的路灯的6 个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有 C3 20种。练：（1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学 生不能相邻，那么不同的排法有多少种。（120种）五、排除法例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有

5、2个面不相邻的选法共有（）A. 8 种 B . 12 种C . 16 种 D . 20 种解：由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平 面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-8=12种。故选B。六、对称比例法有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题 的解。例6由数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中小于 5000的偶数共有 （）A. 60 个B .48 个 C .36 个D . 24 0个解：全排列为A55,由题意知满足条件的五位数的个位上出现 2,或4的5 可能性为3,在余下的四个数中，

6、万位上出现满足条件的数字的可能性为z,故满足条 件的五位数123共有：亏X工X A55=36o故选Co例7用1, 2, 3, 4, 5五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（）A. 24 个 B . 30 个C . 40 个 D . 60 个2解：五个数字选三个组成的三位数共有 篦个，其中2, 4为个位数的占亍，所以满足条2件的偶数共有7A35=24o故选Ao七、多元分类法对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。例8有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、内各需1人承担，从10人中选派4 人承担这三项任务，不同的选法共有（）A. 1260 种 B . 2025 种 C .

7、 2520 种 D . 5040 种解：先从10人中选出2人承担甲项任务，有 &0种选法，再从余下的8人中选1人承 担乙项任务，有8种，最后从7人中选1人承担丙项任务，有7种，所以根据乘法原理知共 有 &0X 8X7=2520种。故选 Co例9 一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求 A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共 有解：先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；再考虑作物 A种植在第二 垄时，作物B有2种种植方法；又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。而作 物B种植的情况与作物A

8、相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1） X 2=12种。 练习 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（B）A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种D. 48 种 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（B）A. 324 B . 328 C . 360 D . 648 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数（C）A 85 B 56

9、C. 49 D. 28 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有 1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48（A） 某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有 2人开会，其余4家企业各有1人 到会，会上有3人发言，则这3人来自不同企业的可能情况的种数为（）（B）A、14 B、16 C、20 D 、48从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（B ）A.280 种B.240 种C.180 种D.96 种有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、内各需1人承担，

10、从10人中选派4人承担 这 三项任务，不同的选法共有（C ）A. 1260 种 B . 2025 种C . 2520 种 D . 5040 种一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求 A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共 有12 种。八、先取后排法例10.有5个男生和3个女生，从中选5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选 法数。有女生但人数少于男生某女生一定要担任语文科代表。某男生必须在内，但不 担任数学科代表。某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科 代表。分析：比较复杂的排列组合混合问题，一般要

11、遵循先取后排的原则。解：可分为1女4男和2女3男，共计不同的选法种数为C3 C54 C32 C53 45,任 科代表种数为 45A；,即（C3 C5 C3 C；）A； =5400某女生一定要担任语文科代表，余 4门科代表从余下的7人中任选有A 840种。某男生从除数学外四科中任选一科代表有 C4 ,余4科从余下的7人中任选共有不同 种数为C4 A 3360某女生任语文科代表，某男生从余下 3c3种（数学除外）中任一科有C3种，余3科 代表由余下6人中选项任，共计不同安排总数为 C3 A6 360种。九、转化法例11.将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每校至少1个保额，问名额分配的方 法共有

12、多少种？解：问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数，相当于用6块隔板插 在11个间隔中，共有C161 462种不同的方法。例12. 10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同跨法？解：由题意知要有4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，问题等价于只要在7步中任意选3步双级即可。故C7 35种。十、隔板法例13 20个相同的球分放在三个盒中，不允许有盒不放球，有多少种分法？解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定由隔板分成 的左、中、右三部分球分别放在三个盒中，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应 了 一种隔法，于是分法

13、的总数为 C219种方法。练一练(1) 7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子里 ，则问每个盒子都不空的放法共有()种(2) 15个相同的小球，放入编号为1, 2, 3的三个盒中，要求盒中的球数不少于编号数， 问有多少种不同的放法。(3)要从7所学校选出10人参加素质教育研讨会，每所学校至少参加1人，则这10个名 额共有多少种不同的分配方法？(4)将组成蓝球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1人，问名额的分配方式共有多少种 C61 462种不同的方法。(5)马路上有编号为1, 2, 3, 4, 5,。10盏路灯，现要关掉其中3盏，但不能同时关 掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足

14、条件的关灯方法有(20)种。用 隔板法处理该题.(6) 6个人带10汽水去春游，每人至少带一瓶，一共有多少种携带方法(27) 十一、定序问题倍缩法3在100,101,102,999 之中，由三个不同数码按递增或递减的次序排列成三位数的个数是204个4某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可以显示出0或1,若每次显示出其中的3 个孔，但相邻的两个孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示的不同信号种数是(80) 十二 均分与不均分的分组问题，定向与不定向的分配问题1 .北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种

15、数为(A )(A)C112c142C8(C)1244C14 c12c8A3(D) C12CAC84A32 .从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这 6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方 案共有(B )A.300 种B. 240 种C.144 种D.96 种3 .将9个(含甲、乙)平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为( A ) A.70B. 140C.280D.8404 .设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为A.C4 C6、80、1010C100C80 C

16、10B-010C100C4 c60-80 220C。10C100D.C80C2010C1005 .某外商计划在四个候选城市投资 3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2个,则该外商不同的投资方案有A.16 种B.36(D)种 C.42D.606,将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名,种则不同的分配方案有选B.(C) 1 8 0 种(D)（A） 3 0 种（B） 9 0 种7.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（BA. 40 种B. 60 种C. 10

17、0 种D. 120 种（8）某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人 员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）种A、36 种B（9）将5名志愿者分配给 者的方案种数为：（D）、38种C.、108 种 D 、 24 种3个不同的奥运场馆参加接持工作，每个场馆至少分配一名志愿10A、 540种、300 种C.、180种 D 、 150种锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（C ）11A. B9125 c91489

18、112个篮球队中有3个强队，将这 恰好被分在同一组的概率为（B）D. 609112个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队-B 55-C 5512不区分站的位置，则不同的站法种数量（用数字作答）.（336）14将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 3615种（用数字作答）.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片则获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（A 31812 C81488150(D)81十二数字背景问题1、用 1,2,3,4,5,6,7,8, 9(24)个2、在 1,2,3,4 .100六个数

19、字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的有这100个数字中任取两个不等的数，回答下列各题：使它们的和是3的倍数，这样的取法共有多少种 使它们的积为3的倍数，这样的取法共有多少种.（1 C34.C33 C23 1650 （2）C；7.C33 C33 2739720的公约数共有多少个，（30个）19 . 2310的正约数有个，（32）用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字中任取两个不同的数分别作为一个对数的真数和甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人底数，一共可以得到多少个不同的对数值,其中比1大的数有几个？(53)5由0,1,2,3,4,5 组成无重

20、复数字的四位数,且百位上的数字奇数，则这样的四位数 有多少？6用0,1,2,3,4,5 这六个数字(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数 ？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数(3)能组成多少个比1325大的四位数？(4)能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数上的六位数字分三类：(1)形如 2000 3。,4。,5。共有 A4.A5 类(2) 形如 14。15 OO共有 A2.A4(3)形如 134。， 1350共有 A2.A3个故共有270个(4)先将1,3,5在奇数位上排列，有A3再将其余3个偶数排在剩余3个位置上排列，共有A3?A2,由分步原理，所以符合条件的共有A3.A3-A3.A2.十三 交叉问题：注意用集合的思想处理：50名学生参加甲，乙两项体育活动，每人至少参加了一项。参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25,则仅参加了一项活动的学生人数什A 50 B 45 C 40 D 35 安排A, B, C三人在星期一至星期六值班，每人值班心A&星Wr, B不值星期六，