第4章解析函数的幂级数表示法

1、第4章：解析函数的幂级数表示法§1复级数的基本性质一、教学目标或要求：掌握 复级数的基本性质二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：复级数的基本性质 解析函数项级数重点：解析函数项级数的性质难点: 解析函数项级数的性质三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：1 §1复级数的基本性质定义 4.1 对于复数项的无穷级数 (4.1)令（部分和），若 部分和复数列 有有限复数极限， 即,则称收敛于,称为级数的和。记 ； 若 无有限极限，则称 发散。 设 ，则 证 记由 即得。复级数(4.1) 收敛于的充要条件是：对任给的，存在正整数，当且为任何正

2、整数时。注 改变 的有限项并不改变 的敛散性。例 判定级数的敛散性。解: 由 发散，收敛知原级数发散。定理4.3 复级数(4.1) 收敛的一个充分条件是级数收敛。定义 4.2 级数收敛，则称级数为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛。定理4.4 (1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不改变其绝对收敛性，亦不致改变其和，(2)设有两绝对收敛的复数项级数 , 把它们各项相乘所得的级数 也绝对收敛，且它的和就等于两个级数的和之积 。 定义 4.3 设复变函数项级数的各项均在点集上有定义，且在上存在一个函数，对于上的每一点，级数均收敛于，则称为级数的和函数，记为.定义 4.4 用

3、 方式描述：对于给定的 ，任意 ，使当n>N时，有 ，其中， 。如果N与Z无关，则称级数在D上一致收敛于 。 对于级数在点集上一致收敛于函数的充要条件是：对任给的，存在正整数，使当时，对一切，均有。如果对于某区域D上所有各点z，复数项级数各项的模 ，而正的常数项级数 收敛，则复变函数项级数在D上绝对且一致收敛。级数 称为 的强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.以上称为外尔斯特拉斯M一判定法。定理 4.6 级数在点集上连续，并且一致收敛于函数，则和函数 也在上连续。定理 4.7 如果级数 在D上一致收敛于， 如果 在C上连续，则沿C可逐项积分，且 。 在圆内闭一致收敛 在

4、闭圆上一致收敛。证 显然。例 证明级数 在 时一致收敛。证 当时，由收敛,根据优级数判别法即得。例 证明在内内闭一致收敛，但在上不一致收敛。证一 , 又 在 时收敛，则由优级数判别法即得 在 上一致收敛。从而 在内闭一致收敛。取，取 , 则 ,故柯西一致收敛判别法即知在上不一致收敛。证二反证法。若 在 上一致收敛，则 。特别地对 有 在 内取则 ，于是 但 ，矛盾。故 在 上不一致收敛。3解析函数项级数定理 4.9 设(1)在区域内解析，(2)在内内闭一致收敛于函数：, 则:(1)在区域内解析 (2) .证(1)全含于内,由在内解析知在 连续，又 在内内闭一致收敛于，故在上一致收敛于，从而由和的连续性定理知，在 连续。另一方面，取为内任一围线，由于在 内解析，故，且 在 上连续，又由在内闭一致收敛于 知 在 上一致收敛于，由逐项可积定理知 ，因此由摩勒拉定理在 内解析，从而在 解析，由的任意性即知在 内解析。(2) 全含于内,记的边界为,则由、 在 内解析 ，知 、 在 上解析。从而又 在内闭一致收敛于，从而在上一致收敛于，由于一致收敛