第10章(1) 函数项级数练习

1、第10章（1） 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性一 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列,介绍概念:收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“”定义. 例1 对定义在内的等比函数列,用“”定义验证其收敛域为,且 例2 . 用“”定义验证在内.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . . . . . 设为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . . , . 有, , . （ 注意.） 二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D上,.试问:通项的解析性质是否必遗传给极限函数?答案是否定的.上述例1、例3说明连续性未

2、能遗传,而例3说明虽然可积性得到遗传, 但 .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义1 ( 一致收敛 )一致收敛的几何意义.Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列在数集D上一致收敛, .( 介绍另一种形式.)证(利用式),有 .令, 对D成立,即,，D.Th2 在D上,.推论 设在数集D上,.若存在数列

3、D,使, 则函数列在数集D上非一致收敛.应用推论判断函数列在数集D上非一致收敛时,常选为函数 在数集D上的最值点.验证函数一致收敛性:例4 . 证明函数列在R内一致收敛.例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛.证 显然有, 在点处取得极大值,. 由系2 , 不一致收敛.例6 . 证明在内, .证 易见 而 在内成立.由系1 , 例7 对定义在区间上的函数列 证明: , 但在上不一致收敛. 见教材.证时,只要,就有.因此,在上有. .于是, 在上有.但由于,因此, 该函数列在上不一致收敛.例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性: ; . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1 函数项级数及其

4、和函数：, 前项部分和函数列，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.例9 定义在内的函数项级数(称为几何级数) 的部分和函数列为 , 收敛域为.2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.Th3 (Cauchy准则)级数在区间D上一致收敛,D 或. 推论 级数在区间D上一致收敛 , .Th4 级数在区间D上一致收敛于.例10 几何级数在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.证 在区间上,有 一致收敛; 而在区间内, 取, 有,非一致收敛. (亦可由通项在区间内非一致收敛于零非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛,但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数

5、在区间内闭一致收敛 . §2 一致收敛性的判别与性质:1. M-判别法:Th5 ( Weierstrass判别法)设级数定义在区间D上,充分大时,对D有|,则在D上一致收敛.证 然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为:若级数在区间D上存在优级数,则级数在区间D上一致收敛.应用时,常可试取.但应注意,级数在区间D上不存在优级数级数在区间D上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例11 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性.例12 设是区间上的单调函数. 试证

6、明:若级数与都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致收敛 .简证 , 留为作业. . 2. Abel判别法:Th 5 设> 级数在区间上收敛; > 对每个,数列单调; > 函数列在上一致有界, 即,使对和,有. 则级数在区间上一致收敛 . (见教材)3. Dirichlet判别法:Th 6 设> 级数的部分和函数列在区间上一致有界; > 对于每一个,数列单调; > 在区间上函数列在区间上一致收敛. 例13 判断函数项级数在区间上的一致收敛性.解 记. 则有> 级数收敛; > 对每个, ；> 对和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛.例

7、14 设数列单调收敛于零.试证明: 级数在区间 上一致收敛.证 由本教案Ch12§3例4，在上有 .可见级数的部分和函数列在区间, 就有级数的部分和函数列在区间上一致有界, 而函数列对每一个Dirichlet判别法,级数在区间上一致收敛.其实,在数列单调收敛于零的条件下,级数在不包含的任何区间上都一致收敛. 一致收敛函数列和函数项级数的性质 一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1. 连续性:Th 1 设在上,且对,函数在上连续在上连续.证 (要证: 对,在点连续.即证:对, 当|时.) .估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数在点连续, 第二项也可以任意

8、小 . 推论 设在上.若在上间断，则函数列在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立.注: Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列,有 .即极限次序可换 . 2. 可积性:Th 2 若在区间上函数列一致收敛,且每个在上连续.则有 .证 设在上, 由Th1,函数在区间上连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 , 可见只要在上成立.注:Th2的条件可减弱为:用条件“在上(R)可积”代替条件“在上连续”.证明可参阅 江泽坚著数学分析上册P350. 3. 可微性:Th 3 设函数列定义在区间上,在某个点, 在上连续可导,且由导函数构成的函数列在上一致收敛, 则函数列在区间上收敛,且有 .证 设，. , .对, 注意到函数连续和 +, 就有 + （ 对第二项交换极限与积分次序） + +.估计 |+ | + |, 可证得. .即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 1P38 E1(说明定理的条件是充分的, 但不必要.)例2 1P50 E2(说明定理的条件是充分的, 但不必要.) 二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 把上述Th13表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果.参阅1P40 1