第七讲 第4章 立体的投影（三）

1、第七讲 第4章 立体的投影（三）本讲的学习目标：了解两个立体相交时产生的相贯线性质，熟练掌握利用积聚投影求相贯线的方法；掌握两个平面立体相交、平面立体与曲面立体相交时，产生的相贯线的作图方法；掌握同坡屋面概念及作图方法。学习重点：利用积聚性求两个立体相交时的相贯线；同坡屋面的作图方法。 4.5 两平面立体的相贯两个相交的立体，称为相贯体，两立体表面的交线称为相贯线。两平面立体相交，其相贯线在一般情况下是封闭的空间折线，但有时也会是平面多边形。如图4-31所示。 （a）全贯 （b）互贯 图4-31 两平面立体相贯求两个平面立体的相贯线的方法可归纳为： (1) 求出各个平面立体的有关棱线与另一个立

2、体的贯穿点。 (2) 将位于两立体各自的同一棱面上的贯穿点(相贯点)依次相连，即为相贯线。(3) 判别相贯线各段的可见性。 (4) 如果相贯的两立体中有一个是侧棱垂直于投影面的棱柱体，且相贯线全部位于该棱柱体的侧面上，则相贯线的一个投影必为已知，故可由另一立体表面上按照求点和直线未知投影的方法，求作出相贯线的其余投影【例4-14】 已知三棱柱与三棱锥相交，求它们的表面交线。如图4-32（a）所示。（a）已知条件 （b）作图图4-32 求三棱柱与三棱锥相贯线作图（1）求贯穿点。利用三棱柱在H面上的积聚投影直接求得三棱锥三条侧棱SC、SA、SB与棱柱左右侧面交点的H投影1、2、3、4、5、6，据此

3、再作出V投影1、2、3、4、5、6。（2）连贯穿点。根据“位于甲形体同一侧面同时又位于乙形体同一侧面两点才能相连”的原则，在V投影上分别连成1-3-5和2-4-6两条相贯线。（3）判断可见性。根据“同时位于两形体都可见的侧面上的交线才可见”的原则来判断，在V投影上，三棱柱左、右两侧面均可见三棱锥SAB、SBC面也均可见，所以交线1-5、3-5 和2-6、4-6 可见，而1-3、2-4 不可见。【例4-15】求烟囱与屋面的相贯线。如图4-33所示。 （a）已知条件 （b）作图之一 （c）作法之二图4-33 烟筒与屋面相贯线的作法作图：在侧面投影中直接标注出1（2）、3（4）,根据投影特性即可求出

4、1、2、3、4，如图4-33(b)。 同坡屋面同坡屋面：如果同一屋面上各个坡面与水平面的倾角相等，称为同坡屋面。 （a）立体图 （b）投影图图4-34 同坡屋面同坡屋面有如下特点：1坡屋面如前后檐口线平行且等高时，前后坡面必相交成水平的屋脊线，屋脊线的H投影，必平行于檐口线的H投影，且与檐口线等距。2檐口线相交的相邻两个坡面，必相交于倾斜的斜脊线或天沟线。3在屋面上如果有两斜脊、两天沟、或一斜脊一天沟相交于一点，则必有第三条屋脊线通过该点。作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影特点，直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得V面投影以及W面投影。 【例4-16】 已知屋面倾角和屋面的平

5、面形状，如图4-35 (a)所示，求屋面的V、W投影和屋面交线。（a）已知条件 （b） 第一步 （c） 第二步 、第三步 （d） 第四步图4-35 同坡屋面交线作图：（1）在屋面平面图形上经每一屋角作45o分角线。在凸墙角上作的是斜脊，在凹角上作的是天沟，其中两对斜脊分别交于点a和点f，见图4-35b。（2）作每一对檐口线（前后和左右）的中线，即屋脊线。通过点a的屋脊线与墙角2的天沟线相交于b，过点f的屋脊线与墙角3的斜脊线相交于e。对应于左右檐口（23和67）的屋脊线与墙角6天沟线和墙角7的斜脊线分别相交于点d和点c（图4-36c ）。（3）连bc和de，折线a-b-c-d-e-f即所求屋脊

6、线。a-1、a-8、c-7、e-3、f-4、f-5、b-c、d-e为斜脊线，b-2、d-6为天沟线。（4）根据屋面倾角和投影规律，做出屋面V、W的投影，见图4-35d 。4.6 平面立体与曲面立体的相贯平面体与曲面体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。如图4-36所示是建筑上常见构件柱、梁、板连接的直观图。图4-36 方梁与圆柱相贯的直观图 【例4-17】 求方梁与圆柱的相贯线。如图4-37（a）所示。 （a） 已知条件具体作图步骤见图4-37（b）。（1）首先根据H、W积聚投影，直接标注出相贯线上折点的水平投影1、2、3、4、5、6、7、8和侧面投影1、2、3、4、5、6

7、、7、8。（2）利用点的投影规律求出相贯线的正面投影1、2、3、4、5、6、7、8。 （b）投影作图 图4-37 方梁与圆柱相贯的投影图 【例4-18】 如图4-38（a）所示，给出圆锥薄壳的主要轮廓线，求作相贯线。 （a）已知条件 （b） 直观图 （b）投影作图图4-38 圆锥薄壳基础相贯的投影图作图（1）求特殊点。先求相贯线的转折点，即四条双曲线的联结点A、B、M、G。可根据已知的四个点的H投影，用素线法求出其它投影。再求前面和左面双曲线最高点C、D；（2）同样用素线法求出两对称的一般点E、F的V投影e、f 和一般点、的W投影1、2；（3）连点。V投影连接a- e-c-f -b，W投影连接

8、a-1-d-2-g；（4）判别可见性。相贯线的V、W投影都可见。相贯线的后面和右面部分的投影，与前面和左面部分重影。4.7 两曲面立体的相贯两曲面体相贯，其相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为封闭的平面曲线，如图4-39所示。 （a） 相贯线为封闭的空间曲线 （b） 相贯线为封闭的平面曲线图4-39 两曲面体相贯两曲面立体的相贯线，是两曲面立体的共有线，可以通过求一些共有点后连线而成。求相贯线的作图步骤： (1) 分析：分析两立体之间以及它们与投影面的相对位置，确定相贯线形状。 (2) 求点 ：求点方法主要有两种。 利用立体表面的积聚性直接求解。 利用辅助平面法求解。 (3) 连线 ：依次

9、光滑连接各共有点，并判别相贯线的可见性。 利用积聚性求相贯线【例4-19】 如图4-40所示，已知两拱形屋面相交，求它们的交线。 （a）已知条件 （b）直观图（c）投影作图图4-39 求两拱形屋面相贯线作图（1）求特殊点。最高点A是小圆柱最高素线与大拱的交点。最低、最前点B、C（也是最左、最右点），是小圆柱最左、最右素线与大拱最前素线的交点。他们的三投影均可直接求得。（2）求一般点E、F。再相贯线V投影的半圆周上任取点e和f。e（f）必在大拱的积聚投影上。据此求得e、f。（3）连点并判别可见性。在H投影上，依次连接b-e-a-f-c，即为所求。由于两拱形屋面的投影均为可见，所以相贯线的H投影为

10、可见，画为实线。【例4-20】 如图4-40所示，求作两轴线正交的圆柱体的相贯线。 （a）已知条件 （b）直观图（c） 投影作图图4-40 求两轴线正交的圆柱体的相贯线作图 1求特殊点 正面投影中两圆柱投影轮廓相交处的1、2两点分别是相贯线上的最高、最低点(同时也是最左点)，它们的水平投影落在大圆柱最左边素线的水平投影上，1和(2)重影。 、两点分别位于小圆柱的两条水平投影轮廓线上，它们是相贯线上的最前点和最后点，也是相贯线上最右位置的点。可先在小圆柱和大圆柱水平投影轮廓的交点处标出3和4，然后再在正面投影中找到3和(4)(前、后重影)。 2求一般点 先在小圆柱侧面投影(圆)上的几个特殊点之间

11、，选择适当的位置取几个一般点的投影，如：5、6、7、8等，再按投影关系找出各点的水平投影5、（6）、（7）、8，最后作出它们的正面投影5、6、（7）、(8)。3连点并判别可见性 在连接各点成相贯线时，应沿着相贯线所在的某一曲面上相邻排列的素线 (或纬圆)顺次圆滑连接。 利用辅助面求相贯线【例4-21】 如图4-41所示，求圆柱与圆锥的相贯线。 （a）已知条件 （b） 投影作图 （c） 直观图图4-44 求圆柱与圆锥的相贯线作图（1）利用积聚性求出相贯线的最高点3、3 和最低点4、4，根据点的投影规律求出3和4；（2）利用辅助面求出相贯线的最左、最右点，其V投影1、2 直接标出。过圆柱做水平辅助

12、面R与圆锥的交线是水平纬线圆，其H投影与圆柱面的前后两条轮廓线投影的交点就是最左点和最右点的H投影1、2。由1、1和2、2求1、2。（3）作辅助面P、Q，求一般点A、B和C、D。作水平辅助面PV、QV，求出PV平面与圆柱面交线的H投影（矩形），以及PV平面与圆锥面交线的H投影（圆），两H投影的交点a、b即求出。由a、b求出a、b和a、b。同理利用QV平面求出c、d和c、d和c、d。（4）连点并判断可见性。由于形体左右对称，故W投影中3-a-1-c-4与3-b-2-d-4重叠，左边可见，右边不可见。H投影中1-a-3-b-2可见,1 -c-4-d-2不可见。两曲面体相贯的特殊情况在一般情况下，两曲面体的交线为空间曲线，但在下列情况下，可能是平面曲线或直线。(1) 当两曲面体相贯且同轴时，相贯线为垂直于该轴的圆，见图4-45所示。(2) 当两曲面体相贯具有公共的内切球时，其相贯线为椭圆，见图4-46所示。图