偏微分方程数值解试题及答案

1、偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业1-(10 分)、设矩阵 A 对称，定义 J(x)n(Ax,x)(b,x)(xRn),()=J(xox)若丫0丿=0贝称称X。是J(x)的驻点(或稳定点)矩阵A对称(不必正定)，求证X。是J(x)的驻点的充要条件是：X。是方程组Ax = b的解解：设X0Rn是J(X)的驻点，对于任意的Rn,令(3分)()二 J(Xo, X)= J(Xo)f2 (Axo-b,x) (Ax,x),2'(0八O ,即对于任意的Rn , (AXo-b,x) =0 ,特别取 X AXo b，则有(Axob,Axob) =11Axo b二 0,得到

2、 Axo = b.(3分)反之，若Xo FT满足Ax°二b，则对于任意的X, J(XoX =(0)2(Ax, X)J(Xo),因此 X。是 J(x)的最小值点(4 分) 评分标准:=()的展开式3分，每问3分，推理逻辑性1分X, (a,b)d du(10分)、对于两点边值问题：dx肘u(a) =0,u (b) =0其中 p Ca, b), p(x)_ min p(x)二 pmin 0, q C(a, b), q 0, f H °(a,b)X 斗 a,b建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和 Galerkin形式的变分方程。解：设He二u|

3、u, H(a,b), u(aHO为求解函数空间，检验函数空间取(3分)vHE(a,b),乘方程两端，积分应用分部积分得到b du dvba(u, V)(p quv)dx fvdx 二 a dx dx f(v)， v H E(a,b) 即变分问题的Galerkin形式. (3分)Ritz形式1 1 bdu 22令 J(u) = a(u,u)(f ,u) =J p() 4-qu - fudx,则变分问题的2 2 adx0（4分）为求 E （a,b），使 J（U-） =min J （u）u日E评分标准：空间描述与积分步骤3分，变分方程3分，极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题-2

4、*2:U: Uy,(x,y)G=(0,1)(0,1)y 八=u|y4八 X（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式）,推导截 断误差的阶。（2）取h=1/3,求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就h=1/5和h = 1/ N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵 表 示）O解：（1）区域离散Xj =jh,yk=kh,差分格式为X-八=hu 1x4 = °，Uu j,kJ jk，uj,ki 孑。(5分)2_4_4应用Tayloy展开得到，截断误差为彳八jkO （呼），其阶为0 （卡） 12 ex cy（3分）未知量为U = 5,山

5、Z4-1-10'V2/3X140 _11/304_1,F =1+2/3<0114< 1/3-矩阵形式为AU = F,A =0/3>（3分）2，吐 1 , 口 22）*5/31/35/3(4分)求解得到解为2-1/2 V15/21/2<15/20I 02IU5尿険晁丿-1；0, -1, -1,4A=4, -19L =2.0000000U= 0.66670.66670.3333-0.50001.9365 0 0 0.3333-0.5000-0.12911.93220-0.5164 -0.5521 1.851评分标准：（3） 5 分,BI-I B-l+ +/ B,B

6、=4 -1-14-1+ +1 4< JJV -J矩阵为第1冋8分，格式4分，截断误差4(2) 形式3分,B的形式2分(5分)7分，方程4分，解3分.U _汽二 a2 bu, 0 :1,0 : : t <四（20分）、对于初边值问题X : Xufx.O) = (x) Ox :1u(O,t)二 u(1,t) = 0,0 - t（1）建立向前差分格式（最简显格式）,推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即AUS = BUk.F的形式）,用矩阵方法分析并写出计算形式，应用Fourier格式的稳定性（3）建立六点对称格式（CrankNicolson格式） 方法（分离变

7、量法）分析格式的稳定性。解：（1）区域离散,格式为k 1 k=a 6； Ljk+bujk,Th(5分）2应用“购展开得到，误差主项为丄迁腓（-）2 .4,O （卡），阶为2 St 120 （.卡）(3分） A 二 E, B - diagr,12r,r,(4分）稳定条件为r<1/2(3分）格式为k1k(3分）勺巴二 + : Eki (1 D U； ) b (u： 1 Uk),T h2低阶项归入0 （）中，格式是无条件稳定的.(2分）五（10分）、逼近一+二0的三层差分格式Ct次 分析格式的稳定性(2解:计算形式为U： =-r （U打Ujj； u/此为三层格式，化为两层格式令3丄；，则有U

8、7厂U712=0n 1Ujnr(Uj 1 山)Vj(41Vjn=Ujn n 1 Jh n令 Uj Wi eVj“ E,代入格式，消去公因子，得到(3w?e-2ir si nah0丿期(2放大矩阵为G =-2r sin : hi，特征方程为IEG匚2rsin :川 hiJ-：h （2分）六（1。分）、建立波动方程平°一 4的初值问题的显格式，推导截断误差人2 +2rsinahi1=0,人，2 -2r sin 汕二 “ 4 4卢 sin?T2=/, max| i1,|2| -1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根4 - 42sin2:F - 0考虑到的变化，稳定条件为r-2 -2推

9、导格式稳定的必要条件叫2un + n4解：差分格式为Uj 厂-Xn截断误差为一2 ；t4j22T a0（?乍）,阶为0（/同(3分)分析稳定性必要条件(4分）格式，指出截断误差阶, 性。分析格式的稳定七（10分）、对于二维抛物型方程厂2¥)建立 Cran k-Nicols on 差分:y/2n1 .2 (、xjk，yUjk ) h(4放大因子为G （:Lw 二 Lu r Luo 二 x?X(3n 1 n解：差分格式为巴土二误差阶为0 （hi （3 分），恒稳定.（3分）2： h' .2h1 4r sin4rsin -22八.用Ritz -Galerkin方法求边值问题-U U

10、 = X 0 ： X :1u（0） =0,u（1） =1的第n次近似Un（x）,基函数1（X）=si n（ i - x） ,i=1,2,.,n解：（1）边界条件齐次化：令u。=X,w-u-Uo ,则w满足齐次边界条 件，且w(0) = 0, w(1) = 0n第n次近似Wn取为Wn八Ci ，其中Ci(i =1,2,.n)满足的Ritz - Galerkin方程为iTn分）迟 a(®,®j)c =(x2 x,®j) j =1(3 i/A3 (平,耳)二(半平 +<Pi®j)dx =ij 兀 2 cos(i 兀 x)cos(j 兀 x)dx1ij 二:亠 I sin