弹性力学 第一章 绪论

1、第一章 绪论一、内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，

2、位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。知识点：弹性力学的特点；弹性力学的任务；弹性力学的基本假设；弹性力学的发展；弹性力学的研究方法二、重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。§1.1弹性力学的任务学习思路：弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体

3、由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比出材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。弹性是固体的基本属性。而"完全弹性"，则是对实际弹性体的抽象。弹性力学与材料力学的研究内容和基本任务是基本相同的，研究对象也是近似的，但是研究方法却有比较大的差别。材料力学讨论的对象是杆件，其横截面变形可以根据平面假设确定，综合分析确定解的基本方程是常

4、微分方程。而弹性力学研究完全弹性体，只能从微分单元体入手，分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，所得到的基本方程是偏微分方程的边值问题。本节介绍弹性力学的研究对象、基本任务和工程意义，通过与材料力学的比较分析弹性力学问题分析的特点。学习要点：1、弹性力学的特点；2、弹性力学的任务。1、弹性力学的特点弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法

5、是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料

6、，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学研究问题的方法都是从静力平衡关系，变形协调和材料的物理性质三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆件，杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，因此综合分析的结果，就

7、是问题求解的基本方程是常微分方程。对于常微分方程，数学求解是没有困难的。而弹性力学研究完全弹性体，如板，三维物体等。因此问题分析只能从微分单元体入手，分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。而偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。当然，这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。弹性力学是固体力学学科的理论基础。是学习有限单元法、复合材料力学、断裂力学和疲劳等的基础课程

8、。课程的学习对于培养学生的专业基础，思维方法和独立工作能力有着重要意义。弹性力学作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。弹性力学又是一门基础理论学科，它的研究方法被应用于其他学科。近年来，科技界将弹性力学的研究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科的研究中。弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展

9、中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题建立必要的理论基础。 2、弹性力学的任务弹性力学是固体力学学科的理论基础。是学习有限单元法、复合材料力学、断裂力学和疲劳等的基础课程。课程的学习对于培养学生的专业基础，思维方法和独立工作能力有着重要意义。弹性力学作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机

10、械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。弹性力学又是一门基础理论学科，它的研究方法被应用于其他学科。近年来，科技界将弹性力学的研究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科的研究中。弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。弹性力学课程的主要学习目的是

11、使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题建立必要的理论基础。 §1.2弹性力学的基本假设学习思路:弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个方

12、便可行的范围之内。本节介绍弹性力学分析应用的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。在弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。对于弹性力学的基本假设，应当指出的是，这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。学习要点：1、基本假设的必要性；2、弹性力学的基本假设。1、基本假设的必要性应当指出，对于工程材料，无论是金属材料还是高分子材料，微观上都是按一定规则排列构成的，而且材料内部经常会有缺陷存在。因此工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固体材料微观结构的复杂性。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例

13、如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。对于弹性力学分析，这是十分必要的。在今后的讨论中，如果没有特别的提示，均采用以下的弹性力学基本假设。2、弹性力学的基本假设基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性

14、弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。1. 连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。这就是说，物体的介质粒子连续地充满物体所占的空间，而且变形后仍然保持这种连续性。根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。当然，由于固体材料都是由微粒组成的，微观上这个假设不可能成立。但是，对于工程材料，微粒尺寸和微粒之间的距离远小于物体的几何尺寸，采用这一假设并不会引起明显的误差。2. 均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。因此，物体的弹

15、性性质处处都是相同的。根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。如果物体是由两种或者两种以上介质组成的，例如混凝土，只要每一种物质的颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。当然对于明显的非均匀物体，例如环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。 3. 各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。对于由晶体构成的金属材料，由于单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性

16、能是显示各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，确实属于各向异性材料，这些材料的研究不属于弹性力学的讨论范围，它们是复合材料力学研究的对象。 4. 完全弹性假设 对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系，这就是说，弹性力学问题研究在胡克定理成立的条件之下。完全弹性假设使得弹性力学研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。 5. 小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。根据小变形

17、假设，在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸，这将使得问题分析简化。采用这一假设，可以在基本方程推导中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。6. 无初始应力的假设 假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。§1.3弹性力学的发展和研究方法学习思路:弹性力学是一门有悠久历史的学科，近代弹性力学的研究是从19世纪开始的。弹性力学的发展对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，特别是对促进

18、造船、建筑、航空和机械制造等工业技术的发展起了相当重要的作用。广泛的工程应用也使得弹性力学得以迅速发展，并根据实际的需求形成了一些专门的分学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性稳定，断裂力学，复合材料弹性力学等。弹性力学虽然是一门古老的学科，但现代科学技术的发展仍然给它提出越来越多的理论和工程应用问题，使其在许多重要领域继续展现出它的重要性。本课程主要讨论弹性力学数学方法。弹性力学所面对的基本方程是偏微分方程的边值问题，求解方法有解析法和近似解法。由于偏微分方程的求解在数学上难度极大，解析法仅适用于个别特殊边界条件问题。近似解法主要是基于能量原理的变分方法。数值解法是采用计算机处理的近似解法。数

19、值方法对于弹性力学的求解十分有效，主要是有限单元法，边界元法等，特别是有限单元法成为目前工程结构分析的最主要工具。学习要点：1、弹性力学的发展；2、弹性力学的研究方法。1、弹性力学的发展弹性力学的早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。近代弹性力学的发展可以认为是从柯西（A.L.Cauchy）1828年明确提出应力和应变的概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律开始的。柯西所做的工作是近代弹性力学和连续介质力学的一个起点，他的工作使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。 而后，世界各国的一

20、批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。1856年，圣维南（A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论；1881年，赫兹（H.Hertz）建立了接触应力理论；1898年，基尔霍夫(G.R.Kirchoff)建立了平板理论，1930年，发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。另一个理论上的重要成果是建立了各种能量原理，并且提出了一系列基于这些能量原理的近似计算方法。许多科学家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)

21、做出了贡献。中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。弹性力学的发展对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，特别是对促进造船、建筑、航空和机械制造等工业技术的发展起了相当重要的作用。弹性力学为社会发展和人类的文明进步起了重要的作用，例如造船，铁路，水利工程，机械制造，建筑工程，航空航天，军事工程等领域的发展，都离不开力学工作者的贡献。广泛的工程应用也使得弹性力学得以迅速发展，并根据实际的需求形成了一些专门的分学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性稳定，断裂力学，复合材料弹性力学等。弹性力学虽然是一门古老的学科，但现代科学技术的发展仍然给它提出越来越多的理论和工程应用问题，使其在许多重要领域继续展现出它的重要性。2、弹性力学的研究方法弹性力学虽然是一门古老的学科，但现代科学技术的发展给它仍然提出越来越多的理论问题和工程应用问题，