可能性的定性把握与定量刻画

1、可能性的定性把握与定量刻画第一层次“定性把握生活现象”（没有标题，给我们留出了很多的思考空间，也给我们造就了一种探索的欲望。如果给出标题，那么，标题应该是对阶段性活动过程及内容的概括。数学课程标准（实验稿）的前言指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”，“可能性”课堂实录的第一层次，是让学生定性把握“纸袋有什么”的过程，因此，我们可以用“定性把握生活现象”作为第一层的标题）师：（举起一只纸袋）同学们，纸袋里面放的是什么？（一个简单的开放性生活问题，让学生满怀信心地走进神秘的数学乐园。这是潘小明老师所体现的教学低起点原则，也是教学面向全

2、体的具体表现。）生1：一个盒子。师：你怎么知道是一个盒子的呢？ 生1：我看到纸袋有角和四条边。师：因为提供给同学们的信息不多，所以，很难猜出纸袋里的东西。此时，教师使劲将纸袋摇晃几下。（教师增加有效信息，及时调控教学过程，使数学学习活动能够围绕学习内容顺利展开。）生2：可能是乒乓球，我听到里面发出的声音很像乒乓球撞击的声音。教师随手从纸袋里摸出了一个黄色的乒乓球。“猜对啦！”有些同学情不自禁地喊出声来。（教师充分利用物体中含有的不同信息，提高教具的使用效益，也给学生一个启示：任何事物都可能包含多种信息，而且，只有用心观察和思考才会发现信息，也一定能够发现。）师：你有什么办法，能知道纸袋里放有几

3、种颜色的小球，哪种颜色的小球多一些吗？生1：我想里面白色的小球可能会多一些。因为从电视里看到乒乓球比赛用的球都是白色的。生2：我觉得里面黄色的乒乓球可能会多一些。因为老师刚才随手拿出一个，就是黄色的。同学之间小声议论着，稍过一会儿，大家的眼睛看着老师，等待老师的正确答案。这时，有一位同学露出想说以不敢说神情，慢慢地举起了手生3：老师，把布袋里的球都倒出来，看一看就知道了。同学们都心领神会地笑了起来。师：是呀，倒出来一看，不就全都知道了！这么简单实用的方法，怎么只有一个同学想到了？其他同学在想什么呢？（不同的学生有不同数学经验，根据每个学生原有的数学经验，每人都会在不同的层面拥有自己的问题解决策

4、略，教师的任务就是要遵循由易到难、由表及里、由简单到复杂推进数学活动进程，逐步激活不同层面的学生的创造潜能。）同学中马上有人说“我也想到的”，许多同学有点后悔自己没能大胆举手发言。生4：我想这方法太简单了，老师不是要我们的这种回答吧！师：噢，原来你们在捉摸（琢磨）老师的心理，然后想投其所好，是吗？（这种现象，在教学中太普遍了，应该引起大家的重视，其实，要消除这种现象也不难，像潘小明老师一样，提醒一下就可以。）其实，老师最需要的是同学们都能把自己的真实想法说出来，这样，我们能展开讨论，相互启发。同学们点头表示认同和赞成。师：如果不能将球倒出来看，你还能有什么办法知道哪种颜色的球多吗？生1：我可以

5、一大把地去拿出来看。（这都不是数学地解决生活问题，而以生活的方式来解决，教师的任务就是要引导学生展开数学地思考。）师：这一大把，或许把里面的球都给拿出来了。生1：那就少一点吧！少到三个吧！（学生的生活经验和原有的数学知识）因为拿出两个的话，万一两种颜色的球各是一个就判断不出了。但拿出一个球实在是太少了。生2：可以先拿出一个，再拿出一个，这样不停地拿出来看，就可以知道了。师：这样一个一个地去拿，最后还不全都拿出来了吗？（新课程的教学需要尽量地减少教师过细的“帮扶”引导，而需要为他们提供“平台”的探索环境。）生2：不是的。拿出一个球后要放回去再拿的。师：大家听明白*同学所说的方法了吗？（学生肯定是

6、有疑问的，所以，必须给学生思考的时间，对看过之后又放回去，这样重复地拿和看，在什么情况下，可以肯定知道黄色的多，或者是白色的多，在什么情况下，不能明确地说黄色的多，或者是白色的多，这是生活方法与数学方法的分界线，是学生数学学习产生飞跃的地方，应该让它们思考的更充分一些，然后，通过实验来验证）谁愿意上来实验一下？这时，前排的一个男同学上前与老师一起合作做起了实验。老师不断地将纸袋里的球摇匀，该同学一次次地手摸球，一连摸了6次，每次都是摸到白色球，同学们都笑了。师：同学们，你们有什么想法？该男同学说：里面白色的乒乓多，因为我摸了这么多次，全是白色的。（大家表示同意）（这是大家对观察所得信息进行概括

7、和总结的结果。）师：是呀！如果里面全是放白色的球，那每摸出一次的结果将是同学们一致地回答：肯定是白色的。师：如果里面白色球的个数比黄色的多，那每摸出一次，摸到白色的可能性将会怎样？同学们一致地回答：摸到白色球的可能性就大。（这是教师引导学生展开反向思维过程，是协助学生进一步明确判断的根据。其实，这里做一个对比实验，分别出现白色球多和黄色球多的现象，并组织学生进行对比分析、阐述理由，效果会更好一些，而且还可以更充分地体现教师“组织者、引导者、合作者”的地位。）（以颜色为内容的数学活动过程，是一个数学方法的体验过程和数学概念的感知过程。从全部倒出就知道、逐一拿出也知道，到“拿出-放回-再拿”也可知

8、道的过程，就是一个生活方式解决生活问题到数学方式解决生活问题的过程，是问题解决逐步数学化的过程，也是一个体验性学习的过程。数学活动中“数学化”的过程是有难度的过程，潘老师却能做到水到渠成，顺利成章。）第二层次（定量刻画生活事件）师：同学们，下面我们来看游戏出示：（问题是学生探索性学习的平台，教师进一步给出开放性的生活问题一个虚拟的生活问题，以增强学生对“可能性”的感性认识。同时，也再一次证明了数学活动是一个数学问题解决的过程。）一只纸袋，装有6只分别标号为1、2、3、4、5、6的球。游戏规则：甲乙两人，轮流从口袋中摸球，每次摸出一球。摸出球的号码大于3，甲得1分；摸出球的号码小于3，乙得1分；

9、摸出3号球，甲乙都不得分。甲乙各摸10次后，得分高的获胜。如果你来参加这个游戏，你将选择：当甲；当乙；甲或乙都可以。问题出示后，同学各自认真地思考着（“思考”是开展有效交流的基础，“交流”的有效性表现在解决问题策略的不断丰富和相互的启发思考。潘老师让学生“各自认真地思考”，就是为学生提供充分的思考时空，对交流的内容作适当的疏理，为交流做好准备），之后，教师让同学们用打手势的方式将自己的选择表示出来。结果，同学中出现了三种不同的选择，其中的大多数同学选择当甲。这时，教师让同学前后4人进行交流，说说各自的选择理由。然后，进行组际交流（国际比赛，是指国家与国家之间的比赛，显然，组际交流，应该是组与组

10、之间进行交流，而不是组内交流。现实生活中，许多场合，对“组际”的理解都有问题。）生1：我选择当甲。因为甲摸到4、5、6号球都可以得分，而乙摸到1、2号球都可以得分，甲得分的概率高，获胜的可能性就大。生2：甲摸出4、5、6号球得分，乙摸出1、2号球得分，这样当然甲得分的可能性大；当乙摸出4、5、6号球的时候，甲也可以得分，甲摸出1、2号球的时候，乙也可以得分，因为题目中并没有规定甲自己摸出4、5、6号球才能得分，也没有规定乙自己摸出1、2号球才能得分，所以他们是可以帮着摸的，但是，仍然是甲得分的可能性大。师：是呀！规则中没有说甲摸出1、2号球时，乙是不能得分的；也没有说当乙摸出4、5、6号球的时

11、，甲不能得分。这样，甲乙也可以帮着对方摸球，乙摸出4、5、6号球的时候，甲得分；甲摸出1、2号球的时候，乙得分。结果还是甲得分的可能性大。同学们，你们觉得*同学分析的怎样？同学之间进行着评价，并指出游戏规则不公平。师：我也觉得分析得很好！好在审题认真，考虑问题全面，分析得很有道理。确实，甲得分的可能性比较大。你能用一个数来表示出甲得分的可能性到底是多少吗？（激活学生原有的数学经验，并引导学生开始由定性把握到定量刻画的过渡。）同学们独自思考着，调动已有的知识尝试着用一个数来表示出可能性的大小。生1：甲得分的可能性是60%，乙得分的可能性是40%。生2：甲得分的可能性是50%，乙得分的可能性是33

12、%。生3：甲得分的可能性是60%，乙得分的可能性是30%。生4：甲得分的可能性是50%，乙得分的可能性是40%。此时，教师让同学在小组内交流自己的思维过程。然后，引导学生共同分析。让同意“甲得分的可能性是50%，乙得分的可能性约是33%”的同学说说理由，并结合回答，完成下面的填空：摸出一球，可能的结果：1、2、3、4、5、6，共有6种结果。号码大于3的结果有：4、5、6，共有3种结果；号码小于3的结果有：1、2，共有2种结果。号码大于3的可能性为，号码小3的可能性为。师：同学们有什么想法？特别是原先不是这个答案的同学有什么想法？生：原来我想能得分的球只有5个，甲占有3个，乙占有2个，所以甲得分

13、的可能性是60%，乙得分的可能性就是40%（这就是一种数感，但，这时候数感发生了错误，正确的数感是在不断经历错误的过程中形成）。现在我发现错了。因为在摸球时也有可能摸出3号球的，摸到3号球的可能性是，号码大于3的可能性为，号码小于3的可能性为。师：同学们善于思考，用数学知识有力地说明了比赛规则的不公平。那么，怎样修改才能使比赛公平呢？学生独立思考后，纷纷提出自己的建议（修改规则的过程是一个数学地思考过程，是一个数学知识的综合应用过程，也是体验数学价值的过程）。生1：乙摸到1、2、3号球得分，甲摸到4、5、6号球得分。师：按这样的规则，甲乙两摸到的可能性各是多少？生2：他们摸到的可能性各是，也就

14、是各占一半。生3：再添上一个7号球，甲摸到5、6、7号球得分，乙摸到1、2、3号球得分，摸到4号球两人都不得分。师：按这样的规则，甲乙两人摸到的可能性各是多少？生3：甲乙两人摸到的可能性都是，是相等的。生4：还可以把6号球去掉，然后，甲摸到4、5号球得分，乙摸到1、2号球得分，摸到3号球两人都不得分。这样也是公平的，每人摸到的可能性是都是。师：如果按照同学们修改后的规则去进行比赛，我想，输与赢的结果已是不重要要了，谁赢那就只能说明一些学生回答：“说明谁的运气好”。师：是呀，对于比赛，重要的是要保证其公平！先前的不公平的规则没能躲过我们大家敏锐的眼睛，而且大家又提出了合理的建议，真行！（什么时候

15、可以运用这个规则，什么时候又不可以运用这个公平的规则，让学生体会数学的应用是有局限的，例如：用这种公平的摸球方式可以决定比赛的胜负，但更多的时候是要让实力作证。）第三层次（解决生活问题）师：同学们下过棋吗？平时两个人下棋时，用什么方法来决定由谁先下？生：用“石头、剪子、布”，决出胜负，然后由赢的先下（这是贴近学生生活的数学问题）。师：谁想与老师来玩“石头、剪子、布”，比比谁赢？同学们踊跃举手，一女同学勇敢地与老师比了起来，课堂气氛一片热烈（这是一种表面的气氛，不能过分地宣扬，因为，数学活动的特色，更多的应该是理性的思考）。师：如果用下面这种掷骰子的方法（这是虚拟的，而且是不公平的，对学生来说是

16、陌生的有距离的，甚至是不合理的，但只有这“陌生”、“距离”和“不合理”，才能逐渐地提升学生的数学水平），你认为如何？出示：小光和小亮下棋，他们用掷骰子决定谁先走。小光用红色骰子，上面是1、6、8点各两面，小亮用黄色骰子，上面是3、5、7点各两面。掷一次，朝上一面的数谁大，谁就先走。同学们经过独立思考后纷纷发表自己的意见生1：我认为是公平的。生2：我认为是不公平的。师：我们要以理服人，你能说出公平的理由吗？生1：因为小光掷出1，小亮掷出3，小光比小亮少2；小光掷出6，小亮掷出5，小光比小亮多1；小光掷出8，小亮掷出7，小光比小亮多1。这样就正好抵消了，所以是公平的。（这就是学生根据自己的生活经验

17、对数学的理解，当然，他的“可加性”是一种经验性思维，上升为科学的结论，还需要努力，以下的交流将为他提供帮助。）生2：我认为小光先下的可能性大，因为1、6、8与3、5、7比较，15，87，小光可以赢2次，而小亮只能赢1次。（这位学生策略是好的，结论是对的，过程是有问题的。教师给出陈述、解释、交流的机会，让学生充分显露个人原有数学经验的局限性，以决定数学活动的进展方向，“列举出输赢的情况进行分析”列举分析是一种很好的方法，引导学生继续关注这种方法。）师：列举出具体输赢的情况进行分析的方法是好的，这确是一种很好的思考方法。生3：虽然列举输赢的情况进行分析的方法是好的，但他还漏了许多种情况。我是这样想

18、的：当小光掷出1，小亮掷出的有可能是3，也有可能是5或者是7，有3种可能的情况；当小光掷出6，小亮掷出的有可能是3，也有可能是5或者是7，有3种可能的情况；当小光掷出8，小亮掷出的有可能是3，也有可能是5或者是7，有3种可能的情况；一共有9种不同的情况，其中小光赢的可能性是，小亮赢的可能性是，比赛是不公平的。结合回答，教师进行板演：小光111666888小亮357357357（新课程关于“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的理念得到了充分体现。理解、掌握、丰富、发展解决问题的策略是数学课程关于知识与技能方面的重要目标之一，教师能够及时地发现并将其书写在黑板上，说明教师具有良好的价值观和敏锐的观察力，为“课后，同学们可以继续探索”提供了方法上的支持。）师：同学们，他们回答得怎样？大家都说“说！”师：好在哪里呢？同学之间小声地议论着。师：是呀，他们都进行了非常有序的思考和分析，让人清楚地看出输赢的可能性各是多少。师：由此看来，用这样的方法决定谁先棋是不合理的，那用什么方法才是合理的呢？生：用“石头、剪子、布”的方法是公平的（这是学生的生活经验，也是数学活动中的直觉思维，是合情推理能力的重要成份。）师：也许是吧（懂装不懂，把决策的权利交给学生，充分展现师生在数学学习过程中的平等地位），因为你的爷爷小时候，你的爸爸小时候在玩游戏时都