计算机数学基础数值部分第五单元辅导

1、计算机数学基础数值部分第五单元辅导 14 常微分方程的数值解法一、重点内容1. 欧拉公式： 局部截断误差是O(h2)。2. 改进欧拉公式： 预报校正公式： 即 或表成平均的形式： 改进欧拉法的局部截断误差是O(h3) 3. 龙格库塔法 二阶龙格库塔法的局部截断误差是O(h3)三阶龙格库塔法的局部截断误差是O(h4)四阶龙格¾库塔法公式： 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)四阶龙格库塔法的局部截断误差是O(h5)。二、实例例1 用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2。计算过程保留4位小数

2、。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.8000当k1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(40.2×0.8)0.614 4 当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(40.4×0.4613)0.8000例2 用欧拉预报校正公式求解初值问题，取步长h

3、=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=yy2sinx欧拉预报校正公式为： 有迭代格式： 当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有 =0.52608 例3 写出用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。计算过程保留4位小数。解 此处f(x,y)=83y, 四阶龙格库塔法公式为 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+h

4、k3)本例计算公式为： 其中 k1=83 yk；k2=5.62.1 yk；k3=6.322.37yk; k4=4.2081.578yk当x0=0,y0=2, 例4 设初值问题，证明用梯形公式求解该问题的近似解为 证明 解初值问题的梯形公式为(k=0,1,2,n1) 整理成显式 ( k=0,1,2,n1)用k=n,n1,n2,1,0反复代入上式，得到例5 选择填空题：1. 取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题的计算公式是 答案：解答：欧拉法的公式 此处，迭代公式为2. 改进欧拉法的平均形式公式是( )(A) (B) (C) (D)答案：(D)解答：见改进欧拉法平均形式公式。三、练习题1.求解

5、初值问题欧拉法的局部截断误差是( ); 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格库塔法的局部截断误差是( )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)2. 改进欧拉预报校正公式是 改进欧拉法平均形式公式为yp= , yc= ，yk+1= 试说明它们是同一个公式。 3. 设四阶龙格库塔法公式为 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3) 取步长h=0.3，用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式是 。4.取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题5. 试写出用欧拉预报校正公式

6、求解初值问题的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过105。6. 对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报校正公式；(3)四阶龙格库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值。7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x=0.2,0.4,0.6处的近似值。8. 证明求解初值问题的梯形公式是 yk+1=yk+, h=xk+1xk (k=0,1,2,n1)， 四、练习题答案1. (A), (B), (D) 2. ; yk; 只需将yc, yp的表达式代入到yk+1中，就得到预报校正公式。3.提示：其中 k1=1yk；k2=0.85(1yk)；k3=0.8

7、725(1yk)；k4=0.73825(1yk)4.y1=1，y2=1.005 000，y3=1.010 025，y4=1.025 175，y5=1.045 679， y6=1.078 21，y7=1.103 976，y8=1.142 615，y9=1.188 320，y10=1.241 7945. 计算公式为 6.欧拉法：y(0.2)»1.000 00; y(0.4)»1.080 00 欧拉预报校正公式：y(0.2)»1.020 84; y(0.4)»1.042 40四阶龙格库塔法：y(0.2)»1.002 673 ; y(0.4)»1.021 7987. y