第1章(1.1)通信信号和系统的特性与分析方法

1、第1章 通信信号和系统的特性与分析方法1.1 信号的正交表示 引言：1. 研究噪声中数字信号的最佳接收利用信号正交性分析最佳接收机信道 M元 n(t) y 或 （书写形式），联合PDF 根据最佳接收准则，导出最佳接收机结构的数学处理中，须将分解为N个独立的一维概率密度函数（PDF，Probability Density Function）的乘积，即亦即，须将N个独立的随机变量.方法：用适当的正交函数集表示接收信号，从而将接收信号分解成相互正交又相互独立的N个分量。2 正交调制、多址技术和信道复用也是建立在信号正交性基础上。 如：QAM，QPSK 正交调制 OFDM，TDMA，CDMA 利用正交

2、性实现信道的复用和多址。Quadrature 正交（主要指相位正交） Orthogonal 正交（广义）数学基础：N维信号向量空间下面，分三小节进行讨论信号的正交表示：1.1.1 N维空间（数学基础）1.1.2 白噪声中信号正交表示1.1.3 非白噪声中信号正交表示1.1.1 N维空间一、 N维向量空间1、实数域N维向量空间 欧氏空间 内积定义：x,y 为实向量 为基底上的投影分量以内积可以表示三个向量性质：l 正交性： l 向量长度（范数）： （表示信号的能量）l 两向量的距离：（两向量差的长度），欧氏距离（Euclidean distance）若在中，以标准正交基 为基底向量 则，该空间的

3、任一实向量可以表示为正交形式 式中，,2、复数域N维向量空间 酉空间 内积定义：x,y 为复向量 （复数）为基底上的投影分量以内积可以表示三个向量性质：l 正交性： l 向量长度（范数）： （表示信号的能量）l 两向量的距离：酉空间也可用标准正交基作为为基底向量 则酉空间的任一复向量也可以表示为正交形式，其形式同实数域。二、 N维信号空间设：复信号 复向量 x,y 信号空间 酉空间定义内积： 若以标准正交基，为信号空间基底，则 式中， Kronecker delta函数则，内积可以表示为 其中，,为在标准正交基上的投影分量。 以内积可以表示信号的如下性质：l 信号的正交性： l 信号向量的长度

4、： （能量）l 两信号向量的距离（误差向量）： 均方误差1.1.2 白噪声中的信号正交表示引言： 1、分析方法：先分解信号，再分解噪声2、信号正交表示方法：波形抽样正交法施密特正交法一、波形抽样正交法1、对信号波形抽样根据抽样定理对频谱受限的时间函数，在有限时间内，按抽样定理进行抽样时，可以用有限项正交函数和的近似式表示：式中， 为正交基，满足正交条件：信号能量（向量长度）：式中，为正交基上投影分量。 2、对白噪声波形抽样 （白噪声）白噪声波形时间、频率无限的平稳高斯过程，抽样在任意两个不同时刻的样值都是不相关的，同时也是独立的高斯随机变量，其均值为0，方差为，即 Rn()= () 0 在（0

5、，T）内抽样N次，得到一组相互独立的高斯变量则，接收信号的抽样值：是相互统计独立的高斯变量，即 二、 施密特正交法（Gram-Schmidt） 引言 1、 信号波形正交化发送信号为M元：设其中N个波形（）是线性无关的，作为信号空间基底向量（注：非正交基向量）。Schmidt正交化法：在一个N维欧氏空间中，从一个给定的基底出发，求出标准正交函数集的过程。具体包括两个过程：，其中由可将正交化：第k个信号：M元信号施密特正交化过程：求及正交展开求及正交展开 若，则求及正交展开 上述过程一直进行到第M个波形。在求正交基过程中，有的正交基向量可能为零。因此，。即 2、 白噪声的正交化过程以信号波形正交化

6、为基础N维空间 基底与正交 n0(t)的各分量与j(t)正交 其余其中，可以通过相关的方法消除正交于N维空间的分量。（插图）在N维空间中，的N个分量相互正交，即，且均值，方差为（见*证明）；又为高斯变量，所以相互统计独立。即， 且独立 所以， 统计独立高斯变量由下一节分析可知，白噪声以任意正交基展开，它们的分量都是相互独立的高斯变量，即，。*证明：方差为，即证明：因为， 所以，1.1.3 非白噪声中的信号正交表示引言：1、 上面，白噪声中信号正交表示（抽样法，施密特正交法）：白噪声N个样值（或分量）相互统计独立接收信号N个样值（或分量）相互统计独立2、 非白噪声中的信号正交表示（低通型）l 若

7、用抽样法，必须严格按奈氏速率抽样，其样值才是不相关和独立的。 Rn() 零交点： 0 l 用施密特正交法，一般也不能得到相互统计独立随机变量。采用新的正交化方法：Karhunen-Loeve(K-L)展开式，使展开式的各项系数互不相关。一 Karhunen-Loeve(K-L)展开式（证略）随机过程（平稳或非平稳）以标准正交函数集在区间上展开成级数式中，满足正交条件（标准正交基）：要使系数是不相关的集合，必须满足以下条件：满足积分方程的正交条件其中，为特征函数，为特征值。 的方差：，则 均值为0。那么，的正交性等价于不相关性。若是高斯过程，即为高斯变量，则的不相关等价于独立。特例：是白噪声过程

8、，功率谱为N0，均值为0。则，代入积分方程，得可见，在这种情况下，(即，白噪声各个正交分量的方差相同）。而且，可选任意的标准正交函数集，都能满足K-L展开式的系数不相关的要求（以上三个条件）。结论：高斯白噪声过程可以用任意标准正交函数集来分解，而且不管正交函数集如何选择，展开式的系数都是相互统计独立的。（因为均值为0，不相关等价于独立。）二、非白噪声与信号波形的正交表示（先分解噪声，后信号）等效低通模型M元 r(t) z(t)为信道衰减因子，为附加相移1、的K-L展开式为零均值低通复高斯过程。在N为信号空间中，用K-L展开式将在（0,T）区间上展开成级数：标准正交基是满足积分方程 的特征函数且，则系数是正交的，即且等价于互不相关的，也是相互统计独立的高斯变量。故有：2、的级数表示在N维信