插值法及冶金

1、 插值法与冶金目录第一章 插值法算法描述- 2 -一、 插值法问题提出- 2 -二、 插值法数学描述- 3 -三、 插值法相关概念- 4 -四、 插值法相关理论- 4 -第二章 插值法算法研究- 6 -一、插值法种类- 6 -1. 拉格朗日插值- 6 -2. 牛顿（Newton）插值- 8 -3. 分段线性插值- 12 -4. 埃尔米特(Hermite)插值- 13 -5. 样条插值- 13 -二、插值法比较- 15 -第三章 插值法算法应用- 16 -一、拉格朗日插值主程序- 16 -二、牛顿插值主程序- 17 -三、拉格朗日插值程序设计举例验证- 18 -四、牛顿插值程序设计举例验证- 1

2、9 -第四章 插值法算法展望- 21 -一、插值法在冶金工程专业领域的应用举例- 21 -二、插值法在其他领域的应用举例- 24 -参考文献- 25 -第1章 插值法算法描述1、 插值法问题提出在科学研究和生产实践中遇到的函数y=f(x),虽然从原则上说它在某个区间a,b上存在，但是通过实验通常只知道在区间a,b上的一系列点的函数值，也就是说我们只知道函数的一张表。这对于研究物质的运动规律很不方便，更不能计算出未给出点的函数值。 这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 例如，某集团公司试图分析该公司的产量与生成费用之间的关系， 从所属企业中随机抽选了5个样本，

3、得到了如下数据：如果希望由这些数据合理的估计出它在其他产量时的生成费用，这就是一个典型的插值问题。2、 插值法数学描述表一 根据函数的已知数据表1求函数f(x)的近似解析表达式(x)的方法。 插值法的必要条件是误差函数或余项R(x)=f(x-(x)满足关系式R(x)=0，I=1，2，3，n，由于代数多项式是简单而又便于计算的函数， 因此经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。 多项式插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法和样条插值法等，其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f(x)近似解析表达式。3、 插值法相关概念插值法的定义设函数在区间上有定义，且已知在

4、点上的值，若存在一简单函数，使成立，就称为的插值函数(Interpolating Function)，点为插值节点(Interpolation Knot)，包括插值节点的区间称为插值区间(Interpolation Interval)，求插值函数的方法称为插值法(Interpolation Method)。若为次数不超过的代数多项式其中的为实数，就称为插值多项式(Interpolation Ploynomial)，相应的插值法称为多项式插值。若为分段的多项式，就称为分段插值(Piecewise Interpolation)。4、 插值法相关理论常用多项式插值公式构造一、拉格朗日插值多项式由表1

5、构造的n次拉格朗日插值多项式其中 为插值基函数，拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推导和形象的描述算法。 但是它也有一些缺点： 当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。 此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。二、牛顿插值多项式由数表1构造的牛顿插值多项式为：用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。 一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化， 在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替

6、， 就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。三、分段插值在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的次数必然增高，而高次插值会产生Runge现象，不能有效地逼近被插函数， 有学者提出用分段的低次多项式分段近似被插函数，这就是分段插值法。 构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再对基函数作线性组合。 它的优点在于只要节点间距充分小，总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响。四、Hermite插值分段线性插值的算法简单、计算量小，然而从

7、整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值， 而且要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite插值。第2章 插值法算法研究一、插值法种类 常用的插值方法：拉格朗日插值、牛顿插值、艾尔米特插值、分段线性插值和三次样条插值。经典的插值方法为拉格朗日插值和牛顿插值。1. 拉格朗日插值 1.1.1 插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数在区间上个不同点处的函数值，求一个至多次多项式 （1）使其在给定点处与同值，即满足插值条件 （2）称为插值多项式，称

8、为插值节点，简称节点，称为插值区间。从几何上看，次多项式插值就是过个点，作一条多项式曲线近似曲线。次多项式（1）有个待定系数，由插值条件（2）恰好给出个方程 （3）记此方程组的系数矩阵为，则 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当互不相同时，此行列式值不为零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。插值多项式与被插函数之间的差 称为截断误差，又称为插值余项。当充分光滑时，其中。1.1.2 拉格朗日插值多项式实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数 是次多项式，满足令 （4）上式称为次Lagrange

9、插值多项式，由方程（3）解的唯一性，个节点的次Lagrange插值多项式存在唯一。2. 牛顿（Newton）插值在导出Newton公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。1.2.1 差商定义：设有函数为一系列互不相等的点，称为关于点一阶差商（也称均差）记为，即 称一阶差商的差商 为关于点的二阶差商，记为。一般地，称 为关于点的阶差商，记为 容易证明，差商具有下述性质： 1.2.2 Newton插值公式线性插值公式可表成 称为一次Newton插值多项式。一般地，由各阶差商的定义，依次可得 将以上各式分别乘以，然后相加并消去两边相等的部分，即得 记显然，是至多次的多项式，且满足

10、插值条件，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。称为Newton插值余项。Newton插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即因而便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。由插值多项式的唯一性可知，Newton插值余项与Lagrange余项也是相等的，即：由此可得差商与导数的关系其中。1.2.3 差分当节点等距时，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，Newton插值公式的形式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示。定义：设有等距节点，步长为常数，。称相邻两个节点处的函数值的增量为函

11、数在点处以为步长的一阶差分，记为，即 类似地，定义差分的差分为高阶差分。如二阶差分为 一般地，阶差分为 ，上面定义的各阶差分又称为向前差分。常用的差分还有两种： 称为在处以为步长的向后差分； 称为在处以为步长的中心差分。一般地，阶向后差分与阶中心差分公式为 差分具有以下性质： （i）各阶差分均可表成函数值的线性组合，例如 （ii）各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下： 1.2.4 等距节点插值公式如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。设已知节点，则有 若令，则上式又可变形为上式称为Newton向前插值公式。3. 分段线性插值1.3.1 插值多项式的振荡用Lag

12、range插值多项式近似，虽然随着节点个数的增加，的次数变大，多数情况下误差会变小。但是增大时，的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当，在内并不能保证处处收敛于。Runge给出了一个有名的例子：对于较大的，随着的增大，振荡越来越大，事实上可以证明，仅当时，才有，而在此区间外，是发散的。高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。1.3.2 分段线性插值简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作，它满足，且在每个小区间上是线性函数。可以表示为 有良好的收敛性，即对于有，。用计算点的插值时，只用到左右的两个节点，计算量与节点个

13、数无关。但越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。4. 埃尔米特(Hermite)插值1.4.1 Hermite插值多项式如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite插值问题。本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite插值。设已知函数在个互异节点上的函数值 和导数值 ，要求一个至多次的多项式，使得 满足上述条件的多项式称为Hermite插值多项式。Hermite插值多项式为其中，。5. 样条插

14、值许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。1.5.1 样条函数的概念所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。三次样条插值就是由此抽象出来的。数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间的一个分划 如果函数满足： （i）在每个小区间上是次多项式；（ii）在上具有阶连续导数。则称为关于分划

15、的次样条函数，其图形为次样条曲线。显然，折线是一次样条曲线。1.5.2 三次样条插值利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。我们只介绍三次样条插值，即已知函数在区间上的个节点 上的值，求插值函数，使得（i）； （5）（ii）在每个小区间上是三次多项式，记为；（iii）在上二阶连续可微。函数称为的三次样条插值函数。由条件（ii），不妨将记为其中为待定系数，共个。由条件（iii） （6）容易看出，（5）、（6）式共含有个方程，为确定的个待定参数，尚需再给出2个条件。常用的三次样条函数的边界条件有3种类型：（i）。由这种边界条件建立的样条插值函数称

16、为的完备三次样条插值函数。特别地，时，样条曲线在端点处呈水平状态。如果不知道，我们可以要求与在端点处近似相等。这时以为节点作一个三次Newton插值多项式，以作一个三次Newton插值多项式，要求由这种边界条件建立的三次样条称为的Lagrange三次样条插值函数。（ii）。特别地时，称为自然边界条件。（iii），此条件称为周期条件。二、插值法比较 拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推导和形象的描述算法。 但是它也有一些缺点： 当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。 此时我们通常采用牛顿插值

17、多项式算法。最好的方法是牛顿插值法，它具有递推性,其组成很有规律,方便于实际计算,并能应用较少的已知数据达到应有的精度。拉格朗日插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上较为重要，但计算不太方便。基函数方法是将插值问题划归为在特定条件下容易实现的插值问题，本质上是广义的坐标系方法；牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值常用的方法，尤其是等距节点的差分插值公式最为常用。带导数条件的埃尔米特插值主要掌握构造插值多项式的方法及其余项表达式。由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值；常都使用分段低次插值，特别是三次样条插值，它具有良好的收敛性和稳定性，又有二阶光滑度，理论上和应用上都有重要意

18、义，在计算机图形学中有重要应用。第三章 插值法算法应用 插值法mathematica程序设计一、拉格朗日插值主程序X=x0,x1,x2,x3=10,11,12,13;y=y0,y1,y2,y3=2.3026,2.3979,2.4849,2.5649;A=TransposeTablex0j,x1j,x2j,x3j,j,0,3;MatrixForm%;AA=LinearSolveA,y/NX1=1,x,x2,x3;X1.AAN%/.x->11.75,10二、牛顿插值主程序x0,x1,x2,x3,x4=10,11,12,13,14;yk_:=LogxkTableyk,k,0,4/N;Matri

19、xForm%fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_:=(fj,k,l-fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0,0/N;MatrixForm%A=y0,y1,y2,y

20、3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4, 0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4, 0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1;a2=f0,1,2;a3=f0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*Product(x-xm),m,0,k-1,k,0,4/N;Expand%三、拉格朗日插值程序设计举例验证x0=1;x1=10;x2=11;x3=15;x4=16;wx=Productx-xi,i,0,4;l0x=wx/(Dwx,x/.x-

21、>x0)/(x-x0);l1x=wx/(Dwx,x/.x->x1)/(x-x1);l2x=wx/(Dwx,x/.x->x2)/(x-x2);l3x=wx/(Dwx,x/.x->x3)/(x-x3);l4x=wx/(Dwx,x/.x->x4)/(x-x4);y0=1;y1=2;y2=3;y3=4;y4=5;Lx_,n_:=y0*l0x+y1*l1x+y2*l2x+y3*l3x+y4*l4x;Lx,nExpand%四、牛顿插值程序设计举例验证x0=0.40;x1=0.55;x2=0.65;x3=0.80;x4=0.90;y0=0.41075;y1=0.57815;y2

22、=0.69675;y3=0.88811;y4=1.02652;fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%;fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%;fi_,j_,k_,l_:=(fj,k,l-fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%;fi_,j_,k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0

23、,0/N;MatrixForm%;A=y0,y1,y2,y3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4, 0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4, 0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1;a2=f0,1,2;a3=f0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*Product(x-xm),m,0,k-1,k,0,4/N;Expand%N%/.x->0.596,20第四章 插值法算法展望一、插值法在冶金工程专业领域的应用举例 例1 为研

24、究转炉炉衬在高温下被侵蚀的情况,需查明转炉炉衬工作层在作业时的温度沿其厚度的分布。在一150t转炉上约位于钢水面下30mm沿炉衬工作层15,75,132,172和600mm处埋设5支热电偶测温。对本问题而言,所关心的是:由测知高温范围而推断耐火材料软化带的厚度。由于工作层仅为600mm厚,以及测温条件的恶劣,故没有必要也不可能埋设更多的热电偶以获得较多点的温度。然而,既已获得5个试验数据,除满足本问题需要外,不妨用它们开发另一个功用,即由此建立表述炉衬工作层的温度分布的插值曲线方程,进而推算转炉炉衬工作层的热积蓄量(即焓值),以用于转炉热平衡。该转炉第6炉次的出钢前,由上述部位所测得的5个温度

25、读数,并取炉衬工作层表面x=0处的温度为1600e(等于钢液温度)作为补充读数可得6个数据,按前述稳定性的思路,拟分成二段各建立其牛顿插值函数: 解:将上表中上斜线行上的值代入式(1),经整理得到该炉衬二段各自的温度分布t=t(x)为t1= N2(x) =1600-18940x +178222.3x2 (0x0.075)t2= N2(x) =2630.1-27562.5x+119964.2x2-132776.7x3 (0.075x0.6)这样,工作层在出钢前单位体积的焓值Q为Q =QQ0.0750c1t1dx+Q0.60.075c2t2dx ,kJ#m-3式中 Q)工作层耐火材料的密度/kg#m-3c1和c2)作层耐火材料的(所在温度范围内)平均比热/kJ#kg-1#e-1例2某转炉氧枪本体内的导氧管,其内径D=86mm,长l=11.53mm,管流摩阻系数在阻力平方区内,且经计算出为K=0.0173;由该输氧管路的阻损计算,推算到导氧管的入口截面处M1=0.183,试计算其出口截面处的马赫数M2。所求的M2,即为氧枪喷头入口截面的马赫数,该数据为下步设计计算喷头所用。解:根据已知条件