定积分的概念性质ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页5.1 定积分的概念与性质一、定积分问题举例 二、定积分定义三、定积分的性质 上页下页铃结束返回首页一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1.曲边梯形的面积 上页下页铃结束返回首页观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？上页下页铃结束返回首页niiixfA10)(lim 求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=x

2、i-xi1; 小曲边梯形的面积近似为f(i)i (i1ii); (2)近似代替: (4)取极限: 设maxDx1, Dx2, Dxn, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;niiixfA10)(lim 以直代曲上页下页铃结束返回首页2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 Siv(i)i ( i1 ii ); 物体在时间段T1, T2内所经

3、过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxDt1, Dt2, Dtn, 物体所经过的路程为 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim 以不变代变上页下页铃结束返回首页v定积分的定义在小区间xi1, xi上任取一点xi (i1, 2, n), niiixf1)(; 作和maxDx1, Dx2,Dxn; 记Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在区间a, b内插入分点: 设函数f(x)在区间a, b上有界. 如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间a, b上b

4、adxxf)( 的定积分, 记为niiibaxfdxxf10)(lim)( 即 二、定积分定义上页下页铃结束返回首页定积分各部分的名称 积分符号, f(x) 被积函数, f(x)dx 被积表达式, x 积分变量, a 积分下限, b 积分上限, a, b积分区间， niiibaxfdxxf10)(lim)( 二、定积分定义niiixf1)(积分和. v定积分的定义上页下页铃结束返回首页二、定积分定义根据定积分的定义 曲边梯形的面积为badxxfA)( 变速直线运动的路程为dttvSTT)(21 bababaduufdttfdxxf)()()( 说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而

5、与积分变量的记法无关, 即v定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)( 上页下页铃结束返回首页v函数的可积性v 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. niiibaxfdxxf10)(lim)( 二、定积分定义v定积分的定义上页下页铃结束返回首页例1 用定积分表示极限.11lim1ninnin解ninnin111limnninin11lim1iix

6、xxd110 x01ni 1ni二、定积分定义v定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)( 上页下页铃结束返回首页注: 设f (x)在0, 1上连续, 则有101)()(1limdxxfnifnnin二、定积分定义v定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)( ixi上页下页铃结束返回首页 这是因为baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibad

7、xxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值A定积分的几何意义 上页下页铃结束返回首页abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和定积分的几何意义 Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值A上页下页铃结束返回首页例2xx d1102求解421xyoxy11xx d1102例3 求极限).) 1(1(lim22222nnnnnn解原式) 1(1(lim22222222nnnnnnnnnninnin12)(11

8、limxx d1102.4101)()(1limdxxfnifnnin上页下页铃结束返回首页 (1)当 ab 时 0)(badxxf; v两点规定 (2)当 ab 时 abbadxxfdxxf)()( 三、定积分的性质上页下页铃结束返回首页badxxgxf)()(niiiixgf10)()(limniiiniiixgxf1010)(lim)(limbabadxxgdxxf)()( 这是因为badxxgxf)()(niiiixgf10)()(lim niiiniiixgxf1010)(lim)(limbabadxxgdxxf)()( 三、定积分的性质1 bababadxxgdxxfdxxgxf)

9、()()()( 性质1 上页下页铃结束返回首页三、定积分的性质1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()( 性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 注：值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立上页下页铃结束返回首页三、定积分的性质性质1 性质2 性质3 性质4 4 abdxdxbaba1 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 2 babadxxfkdxxkf)()( 上页下页铃结束返回首页badxxf0)(ab)

10、 推论1 如果在区间a b上 f (x)g(x) 那么 babadxxgdxxf)()(ab) 这是因为g(x)f(x)0 从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()( babadxxgdxxf)()( 所以如果在区间a b上 f (x)0 那么 性质5 上页下页铃结束返回首页即 babadxxfdxxf| )(|)(| 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以badxxf0)(ab) 推论1 如果在区间a b上 f (x)g(x) 那么 babadxxgdxxf)()(ab) 如果在区间a b上 f (x)0 那么 性质5 babadxxfdxxf| )(|)(|

11、(ab) 推论2 bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(| 上页下页铃结束返回首页推论1 如果在区间a b上 f (x)g(x) 那么 如果在区间a b上 f (x)0 那么 性质5 推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 那么 baabMdxxfabm)()()(ab) badxxf0)(ab) babadxxgdxxf)()(ab) babadxxfdxxf| )(|)(|(ab) 上页下页铃结束返回首页例4 试证:.2dsin120 xxx证明 设)(xf,sinxx则在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2

12、cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx上页下页铃结束返回首页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()( 积分中值公式 baabMdxxfabm)()()( 即 baMdxxfabm)(1 由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使badxxfabf)(1)( 两端乘以ba即得积分中值公式.上页下页铃结束返回首页)(f注:无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.baxxfabfd)(1)()(ba.,)(上的平均值在区间就是baxf 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()( 积分中值公式 上页下页铃结束返回首页例5 计算从0 秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度. 解 已知自由落体速度为tgv