第四章数值积分与数值微分-(1)

1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院1第四章第四章 数值积分方法与数值微分数值积分方法与数值微分 badxxf)( 2 2个个研究对象研究对象: :1 1、 用数值用数值( (近似近似) )方法求定积分方法求定积分: 2 2、 用数值用数值( (近似近似) )方法求微分方法求微分: :nndxxfd)(上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院2 4 个个需要关心的问题：需要关心的问题：1 1、 为什么要用数值为什么要用数值( (近似近似) )方法？方法？2 2、 有哪些数值有哪些数值( (近似近似) )方法？方法？3 3、 数值数值( (近似近似) )方法的精度如何？方

2、法的精度如何？4 4、 如何实现这些数值如何实现这些数值( (近似近似) )方法？方法？上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院31 1 引引 言言 一、数值积分方法的基本思想一、数值积分方法的基本思想 二、代数精度的概念二、代数精度的概念 三、插值型求积公式三、插值型求积公式 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院4一、数值积分方法的基本思想一、数值积分方法的基本思想 baaFbFdxxf)()()(其中其中F(x)是是f(x)的原函数，即的原函数，即方法一：方法一：牛顿牛顿莱伯尼兹莱伯尼兹( (Newton-Leibniz) )公式：公式： badxxfI)( 研究对

3、象研究对象1 1：怎样求定积分：怎样求定积分 ？ 主要有两种方法：主要有两种方法：)()(xfxF 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院5 baaFbFdxxf)()()(存在的问题存在的问题：例：例： （1 1）原函数难求，无解析式！）原函数难求，无解析式！（2 2）f(x)仅提供样本值仅提供样本值,)(sin,sin)(22xexxxxf ., 1 , 0),(,(nixfxii 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院6方法二：数值积分公式方法二：数值积分公式 badxxfI)(, )(0 niiixfA优点：优点：普适性、在计算机上的可操作性普适性、在计算机上的

4、可操作性三要素：三要素：1 n求积节点数求积节点数nixi)1(0, 节点的分布节点的分布iA公式的系数公式的系数.10bxxxan 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院7 bafabdxxf )()()( )(xf对连续函数对连续函数，根据积分中值定理，存在，根据积分中值定理，存在,ba ，使得，使得 只要给出计算只要给出计算)( f的一种算法便相应地获得的一种算法便相应地获得一种数值求积方法一种数值求积方法. .举例：举例：1 1个节点的数值积分公式个节点的数值积分公式矩形求积公式矩形求积公式：)()(00 xfAdxxfIba 常取常取bbaax ,2 ,0 上一页上一页下

5、一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院8 baafabdxxf)()()( 左矩形求积公式左矩形求积公式 右矩形求积公式右矩形求积公式 中矩形求积公式中矩形求积公式 baabfabdxxf)2()()( babfabdxxf)()()(上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院9二、代数精度的概念二、代数精度的概念, )()( 0 bankkkxfAdxxf原则原则：恰当选取：恰当选取 ， ，使得，使得(1.1)(1.1)的代数精的代数精确度高。确度高。 kxkA （1.1）当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？m 1 mm定义定义1 1

6、如果求积公式（如果求积公式（1.11.1）对所有次数）对所有次数项式是精确的，但对项式是精确的，但对次多项式不精确，则称次多项式不精确，则称次代数精度次代数精度. . 的多的多（1.11.1）具有）具有.10bxxxan 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院10欲使求积公式（欲使求积公式（1.11.1）具有）具有m次代数精度，只要令次代数精度，只要令都能精确成立，这就要求都能精确成立，这就要求中的上下标中的上下标. . 它对于它对于 mxxxf, 1 ,abAk ,2122abxAkk .2111 mmmkabxAk（1.5）注：注：这里省略了符合这里省略了符合 nk 0上一页上

7、一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院11如何构造求积公式？如何构造求积公式？)()(2)(bfafabdxxfba ,10bxax )()()(1100 xfAxfAdxxfba 模式一模式一：给定节点，系数待定。给定节点，系数待定。方法方法：令令得到：得到：例：给定例：给定 badxab baxdxab)(2122则则.210abAA 精确成立，精确成立，xxf, 1)( 对对,10AA .10bAaA 梯形求积公式：梯形求积公式：构造求积公式构造求积公式上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院12模式二模式二：节点、系数全待定节点、系数全待定注：梯形公式和中矩形公式都具有注

8、：梯形公式和中矩形公式都具有1 1次次代数精度代数精度方法：方法：令令得到：得到： babafabdxxf)2()()(例：例： 构造构造中矩形求积公式：中矩形求积公式：,0 baAdxab baxfAdxxf)()(00 xxf, 1)( .)(210022 baxAxdxababAbax 00,2对对精确成立精确成立则：则：上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院13证明证明：(2) bankkkxfAdxxf0)()(考虑求积公式：考虑求积公式：定理定理1 1： 任给任给 个互异节个互异节 ，1 nbxxxan 10(1)kA1 n总存在总存在 个相应的求积系数个相应的求积系数

9、 ，使，使 （1 1）至少具有）至少具有n次代数精度次代数精度. . nixxfi, 2 , 1 , 0,)( nkbaiikkdxxxA0精确成立，精确成立，kA则得关于则得关于 的线性代数方程组：的线性代数方程组： 令（令（1 1）对）对niabiii, 1 , 0),(1111 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院14其系数行列式为范德蒙行列式其系数行列式为范德蒙行列式kA构成的构成的kA（2 2）有唯一解）有唯一解 。n （1 1）对所有次数）对所有次数 的多项式都是精确的的多项式都是精确的. . 显然显然，以此组，以此组nnnnnnnxxxxxxxxxxxxV21022

10、221202101111 njiijxx0)(. 0 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院15三、插值型求积公式三、插值型求积公式 kA0 1ixin, , ,定义定义：若（：若（1 1）中的）中的 满足（满足（3 3）、（）、（4 4），则称），则称求积公式（求积公式（1 1） 为插值型的。为插值型的。 kA bankkkxfAdxxf0)()( 求积公式求积公式： （1）求求（4 4） 将对应于节点将对应于节点kbanjjkjkAxlAdxxl 0)()(代入（代入（1 1），得：），得：（3 3） 的方法：的方法： nijjjijinixxxxxl0, 2 , 1 , 0,)(的的n次插值多项式基函数次插值多项式基函数 上一