圆锥曲线的常见题型及问题详解

1、圆锥曲线常见题型归纳、基础题a, b, c, e, p涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形 面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况；（3） 注意a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c,c2，2p, p,p2的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中c2 a2b2，双曲线中c2a2 b2，离心率e c a，准线方程xa2

2、 c ；例题：（1）已知定点Fi（ 3,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）2 2A- PFi PF 24 B. PFi PF 26 C. PFiPF2 10D PF1 PF212 （答：C）；（2丄.方程J（x 6）2 y2 7（x 6）2 y2 8表示的曲线是 （答：双曲线的左支）（3）已知点Q（2、2,0）及抛物线y上一动点P （x,y）,则y+|PQ|的最小值是 （答：2）11(答:(3, -)U(?2) 3)；(5)双曲线的离心率等于-，且与椭圆292y 1有公共焦点，则该双曲线的方程42卄 x (答: 4y2 1 )；(6)设中心在坐标原点_（答

3、: x2 y2O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e 2的双曲线C过点P（4, .10），则6）C的方程为二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离 有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用 平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定 理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由精彩文档向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理;圆锥曲线的几何性质：2（1）椭圆（以笃a范围：

4、 a x a, b对称性：两条对称轴2y_ ib2 1y b ；0,yb 0 ）为例）：2 a，短轴长为2b ；焦点：两个焦点（c,0）；一个对称中心（0,0），四个顶点（a,0）,（0, b），其中长轴长为2ac准线：两条准线xC，椭圆a2 2例：（1）若椭圆-L5 m（3）抛物线（以y22px(p0）为例）：离心率：e0 e 1， e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。1的离心率e凹，则m的值是（答：3或孕）；5_3（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 _（答:2 2）2 2（2）双曲线（以笃* 1（ a 0,b 0 ）为例）：a2 b2范围：

5、xa或x a,y R ;焦点：两个焦点（c,0）；对称性：两条对称轴x0,y 0 , 个对称中心（0,0），两个顶点（a,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2 b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k, k 0 ；a2b准线：两条准线x；两条渐近线：y - x。ca离心率：e -，双曲线 e 1，等轴双曲线e ：2，e越小，开口越小，e越大，开口越大;a例：（3）双曲线的渐近线方程为y= ±3x/4,则双曲线的离心率为 范围：x 0,y R ;焦点：一个焦点（-p,0），其中p的几何意义是：焦点到准线的距离;对称性：一条对称轴y 0，没有对称中心，

6、只有一个顶点（0,0）;准线：一条准线x-；离心率：e22 2（4）点 P（X0,y°）和椭圆 21 （ aa b-，抛物线 e 1。ab 0）的关系：（1 ）点P（x°,y°）在椭圆外2 2Xq北12, 21a b2）点P（xo,y。）在椭圆上221 ； （ 3）点 P（Xo,yo）在椭圆内a b2 2例：（6） 1设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为25 16-2 2xo yo 1 72 1 a b（答：（0沽）; （答：35）； 3y2 8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3

7、，则点P到右准线的距离为（8）已知抛物线方程为等于_；（9）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为(答:7,(2,4)；2(10)点P在椭圆252仝1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为9三、直线与圆锥曲线的关系题（1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y kx b的形式，但随后应对斜率k不存 在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；（2 ）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y,得到方程ax2 bx c o 或 ay2 by c o ，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。（3）当方程或的二次项系

8、数a 0时，方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况 是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）（4） 当方程或的二次项系数a 0时，判别式厶0、 0、 0，与之相对应的是，直线与圆0来求斜率k的范围;锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用例题:(1)(2)过点(2,4)作直线与抛物线y2 2过点(0,2)与双曲线y9168x只有一个公共点，这样的直线有1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为4.5、T );(3)

9、2x直线y-kx=0与椭圆21恒有公共点，则mm的取值范围是(答：1 , 5) U (5,+ OO2 2B两点，若IAB丨二4,则这样的直线有(4 )过双曲线 y 1的右焦点直线交双曲线于A、1 2条(答：3);(5)直线与圆锥曲线相交成弦(前提a 0，0 )，记为 AB，其中 A(X1,yJ，B(X2,y2)，AB 的坐标可由方程或求得，一般是由方程求出X1,X2，再代入直线方程求y1, y2，或由方程求出y1,y2，再代入直线方程求X1,X2。(6)涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程ax2bX c 0 求出 x1 x2,x1x2，A(X1,yJ， B(X2,y2)在直线 y kx b上，二

10、 y13 b， y kx? b，y1 y k(x1 X2),： AB(X1 X2)2 (y1y2)2. (1 k2)(x1X2)2(1 k2)(x1X2)2 4x1X2(1 k2) 丁请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去X，得到ay2 by c 0，继而用韦达定理，求出2)，AB (X1 x2)2 (y1 y2)212(1 k2)(y1 y2)11 、”、21 厂(1k2)(y 2)4 y1 y 2 (1 k2)ay1 丫22，x1 x2 1(y1k(6) 若抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦为AB，A(X1, yj, B(X2,y2)，则| AB |捲 化 p :2X-|X2P2旳2P

11、4(7)若OA、OB是过抛物线寸点(2p,0)2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒经过定(7) 涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程ax2 bx c 0 求出xi X2，设弦A( Xi, yi) B( X2, y2)的中点为M(Xo,y°)，则X。 xi ?X2 , M点也在直线y kx b上，二y° kx° b。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标(Xi, yi) ,(X2,y2)直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有(xiX2)、(xiX2)、(yiy2)、(yiy2),这些都与弦中点坐标和

12、弦的斜率k有关。(点差法)(8) 弦AB满足有关的向量的条件，如OA OB 0 ( O为原点)，则xx yi y? 0，yi kxi b，22y2kx2b，xix2(kx!b)(kx2b) (ik )xix2kb(xix2)b0.又如过椭圆x2 2y2 2的右焦点Fi的直线I与该椭圆交于M,N两点，且| FiM F2M 2巨6'3，求直 线I的方程。特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0!例：(i)抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为(答：2);2 2(2) 如果椭圆i弦被点A (

13、 4， 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 (答：369x 2y 80);2 2(3) 已知直线y= x+i与椭圆务占i(a b 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L:a bx 2y=0上，贝吐匕椭圆的离心率为 (答： 号);2 2 2 2(1) 双曲线笃与i的渐近线方程为笃 Z 0 ；a ba b人2 222(2) 以y -x为渐近线(即与双曲线 罕 莓i共渐近线)的双曲线方程为 笃电 (为参aa2 b2a2 b2数，工0 )。2如(4)与双曲线92 _Z 1有共同的渐近线，且过点(3,23)的双曲线方程为16 4x221的右焦点F2作倾斜角为30。的弦AB，2 y(5) 经过双

14、曲线x3(1)求 |AB|(2 )求二角形F1 AB的周长，(F1是左焦点)2(6).已知抛物线y x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点(1)求证：OA OB(2 )当Soab 10，求k的值。2 2x y(7)已知动直线y k(x 1)与椭圆C :1相交于A、B两点，已知点5537uur LULTM ( -,0)，求证：MA MB为定值.32 2解：将 y k(x 1)代入 牛 1 中得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 5055336k4 4(3k2 1)(3k25)48k2200，6k23k25X1X22，为只23k2 13k21uur UULT7777所以MA MB(X13,yg

15、3，y2)(X13)(X23) yy(X13)(X2k2(x!1)(X21)(1k2 )x1x2(3k2)(x1X2)49k2(1.2、3k257, 2、“6k2、49, 2k )(kk亠.21)( 2 .)3k33k 1949一 923k2 2(8)过椭圆16七1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。四、关于圆锥曲线的最值(1) 圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标M(Xo,y。)，用两点间的距离公式表 示距离d，利用点M的坐标(Xo, yo)满足圆锥曲线方程，消去y (或消去Xo)，把d2表示成x° (或y) 的二次函数，因为xo (

16、或yo )有一个取值范围(闭区间或半开半闭区间)，所以问题转化为：求二 次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。(2) 圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所 求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：(1)椭圆xA2/3+yA2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离;五、求动点的轨迹方程(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;B2y C2 o，1 的法向量为：n1 (AnBJ，注意:不重合的两条直线1 : Ax B° C1 o与2 : A2X方向向量为 e1（ BA）（1,k

17、J，12A1A2B1B21 /2A1B2 B1A2且 A C? C1A2;(2)求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y) 0 ;(1)已知动点P到定点F(1,O)和直线x 3的距离之和等于4，求P的轨迹方程(答:y212(x 4)(3 x 4)或 y2 4x(0 x 3)； 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件 确定其待定系数。(2)线段AB过x轴正半轴上一点 M (m， 0) (m 0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x 轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (答：y2 2x)； 定义法

18、：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B,/APB=60 0，则动点P的轨迹 方程为 (答：x2 y24);(4) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线I： x 5 0的距离小于1，则点M的轨迹方程是(答：寸 16x);(5) 一动圆与两圆O M : x2 y2 1和O N : x2寸8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为 _ (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x°,y°)的变化而变化，并且Q(x°,y°)又在某

19、已知曲 线上，则可先用x,y的代数式表示x°,y°，再将x°,y°代入已知曲线得要求的轨迹方程；动点P是抛物线y 2x2 1上任一点，定点为A(0, 1)，点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程 为(答：y 6x21);3(7) AB是圆0的直径，且|AB|=2 a，M为圆上一动点，作MN丄AB，垂足为N，在OM 上取点P， 使|OP| |MN |，求点P的轨迹。(答：x y a|y|);(8) 若点P(X1,yJ在圆x2 y21上运动，则点Qd"*%)的轨迹方程是(答：2 1 、y 2x 1(|x|)；2(9) 过抛物线x2 4y的焦点F作直

20、线I交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是(答: x2 2y 2 )；(14全国卷)2x20.(本小题满分12分)已知点 A (0，-2 )，椭圆E:二ab21(a b 0)的离心率为F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为心，3O为坐标原点(I)求E的方程;(n)设过点 A的直线I与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程20.(本小题满分12分)解：(I)设F(c,O)，由条件知，得c J 3,c 3又C 3，所以 a 2,b2 a2 c21a 22x 2故E的方程为y 15分4(n)当I x轴时不合题意，故设l:y kx 2 ,P(xi, yi),Q(X2,y2)，将

21、y kx2x2代入一4y21得(12 24k )x 16kx 12216(4 k 3)0 ,即 k2-时，x1248k 2.4k2 34k2 1从而| PQ | k21 |治X2 |4、k2 1、4k2 34k2 1又点O到直线PQ的距离d，所以 OPQ的面积、k21S OPQS|PQ| 4产24k2 1设 4k23c4t 4S opq27t24 t 4t因为t 44，当且仅当tt2，即k辽时等号成立，且满足2所以当 OPQ的面积最大时,l的方程为y "x 2 或 y "x2 212分答案1.C2.双曲线的左支3 vy=xA2/4即 xA2=4y 二焦点 F 为(0,1 )

22、准线：y=-1过点 P 作 PM 丄y=-1 于 M a|PM |= |PF |y+|PQ|=|PM |+|PQ卜仁 |PF|+|PQ|-1当F,PQ三点共线时| PF |+|PQ|最小(I PF |+|PQ| ) mi n= v (2 v2)八2+1=3(y+|PQ| ) mi n= (I PF |+|PQ|-1 ) min=3-1=21 1X2224. ( 3,)U(,2) )；5. y 1 ;6.x y 62 24:1.2. 设焦点在x轴上，则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形，底边长为2c,面积最大时，底边上的高最大，即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上，即此时高为b,即2c*b/2=

23、1,bc=1,c=1/b而 cA2= aA2-bA2 =（1巾）八2即 aA2=匕八2 +（1巾）八2>2a>2 长轴 2a >23. (1)焦点在x轴上,渐近线y= 土(b/a)x二b/a=3/4 二 b=3t, a=4t 二 c=5t 二 e=c/a=5/4(2)焦点在y轴上,渐近线y= ±(a/b)x二a/b=3/4 a=3t, b=4t c=5t 二 e=c/a=5/3丄4. 4 或 45. e=c/a v2,2,( n- 9)/2 n/4, n/3,cos( n- B)/2=a/c 1/2,1/ v2,'n- 9 tt/2,2 n/3,B的取值范围

24、是n/3, n/2.6.(0)16a7.1、2 2.35344躬3,38.79.( 7,(2, 4)10.空12显然该抛物线焦点是（2,0 ）这个点在x=5上.解方程组x=5,y 2=8x ,则 x=5,y=2 V10. 该点坐标为(5,2 V10).用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为y=kx+a, 过（0,2 ）点，可得a=2y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点也就是方程组x2/9-y2/16=1; y=kx+2只有一组解将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1 得至U：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论: 当16-9k2=0时，方程只有

25、一组解，也就是k= ±（4/3）时，方程只有一组解 当16-9k2不等于0时，一元二次方程有且只有唯一解的条件也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值3:椭圆，二 且 ，直线恒过定点，欲使其与椭圆有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即:4. XA2 - YA2/2 =1c2=1+2=3F( V3,0)过F且垂直x轴的直线是x= v3代入则y2=4 y= ±2所以此时AB=2-(-2)=4所以这里有一条且AB都在右支时其他的直线则 AB都大于4所以AB都在右支只有1条直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时,顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是2<4所以

26、也有两条，关于x轴对称所以共有3条1. 22. x 2y 803.4.4x22L 129456、(1) 将 y=k(x+1)代入 yA2=-x,设 A (X1,y1 ) ,B(X2,y2)易得 X1+X2=-(2kA2+1)/kA2,X1*X2=1y1*y2=kA2(X1+1)(X2+1)=-10A 斜率 K1 为 y1/X1,0B 斜率 K2 为 y2/X2,所以K1*K2=-1得证)=40(2) 1/2(根 x1A2+y1A2* 根下 x2A2+yxA2)= 根 10(x1A2+yM2 ) * (x2A2+yxA22-(x1A2x2+x2A2x1)=40x1A2x2A2+(x1A2+y2A

27、2+x2A2y1A2)=40x1x2(x1+x2)=-38(2kA2+1)/-kA2=-38kA2=1/36k=-1/62 2x V227、7、解：将y k(x 1)代入1中得(1 3k )x5536k2x 3k2536k4 4(3k2 1)(3k25)6k2,X1X23k253k2 13k21uur LULT7777MA MB(为3'yg3，y2)(X1)(X233) W(洛3)(X2f)k2(x.1)(X2 1)(1k2 )x2(3kgX2) 499k23k257, 2、“6k2、49 , 2(1k2)2(k)(2)k23k133k 190，所以x-ix248k220423k 16k53k2 149 k298.设直线与椭圆的交点为A(x1,yj、B(X2,y2)M (2,1)为AB的中点x1x2 42 2 2 2又A、B两点在椭圆上，则xi 4yi16 , X24y? 16 2 2 2 2两式相减得(XiX2) 4(yiy2 ) 0于是(Xi X2)(Xi X2) 4(yi y2)