函数的奇偶性与周期性精讲

1、函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用【复习指导】本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能重点解决综合利用函数的性质解决有关问题基础梳理1奇、偶函数的概念(1)设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数(2)设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做偶函数(3)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2判

2、断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称(2)考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)；若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数即非奇非偶函数3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x

3、)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法双基自测1(人教A版教材习题改编)下列函数中，其中是偶函数的是() Af(x)x Bf(x)x32xCf(x) Df(x)x4x3解析由奇、偶函数的定义知，A，B为奇函数，

4、C为偶函数，D为非奇非偶函数答案C2(2011上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为()Ayx2 Byx1 Cyx2 Dyx解析函数为偶函数，则f(x)f(x)，故排除掉B，D.C选项中yx2为偶函数，但在(0，)上单调递增，不满足题意故选A.答案A3“函数f(x)为奇函数”是“f(0)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D4(2011南昌调研)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析由已知，得b0，g(x)ax3cx.g(x)(

5、ax3cx)g(x)g(x)为奇函数答案A5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab_.解析依题意，得a，b0，ab.答案考向一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).审题视点 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断解(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得1x1.f(x)的定义域1,1)不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0

6、,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数 (1)首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(x)f(x)判断，有时需要先将函数进行化简(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练1】 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)log2(x)解(1)f(x)的定义域1,4不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)log2(x)log2log2(x)1log2(x)f(x)f(x)为奇函数考向二函数的奇偶性与单调性【例2】

7、(2012郑州模拟)(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x1，求f(x)的解析式；(2)设a0，f(x)是R上的偶函数，求实数a的值；(3)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围审题视点 (1)f(x)是一个分段函数，当x0时，转化为f(x)f(x)(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f(1)f(1)，再验证(3)可考虑f(x)在2,2上的单调性解(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，当x0时，x0，由已知f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)f(x)x2x1.f(x)(2)法一f(x)是

8、R上的偶函数，f(x)f(x)在R上恒成立即，(a21)(e2x1)0，对任意的x恒成立，解得a1.法二f(x)是R上的偶函数，f(1)f(1)，ae，e(a)0，(e21)0，a0.又a0，a1.经验证当a1时，有f(x)f(x)a1.(3)f(x)的定义域为2,2，有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.综合，可知1m1. (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反【训练2】 已知偶函数f(x)在区间0，)上

9、单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B. C. D.解析f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f|2x1|x.故选A.答案A考向三函数的奇偶性与周期性【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)审题视点 根据周期函数的定义证明；由函数的周期性与奇偶性综合解题；函数周期性的应用(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4

10、的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0，f(0)f(1)f(2)f(2 011)0. 判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是近年高考考查的重点问题【训练3】

11、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数，可以推知f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)答案D规范解答2如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性

12、质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f(x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(xT)与f(x)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】(本题满分12分)(201

13、1沈阳模拟)设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调增(或减)区间 第(1)问，先求函数f(x)的周期，再求f()；第(2)问，推断函数yf(x)的图象关于直线x1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出解答示范 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称(6分)又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示(8分)当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(10分)(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间4k1,4k3(kZ)(12分)