二次函数与面积

1、;.二次函数与面积专题仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积.在以上问题的分析中研究思路 为：（ 1）分析图形的成因（ 2）识别图形的形状（ 3）找出图形的计算方法;. .;.注意：（ 1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.（ 2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）2分别在 y（12 分）（2013?玉林）如图，抛物线 y= （ x 1） +c 与 x 轴交于 A ， B （A ， B轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A （ 1， 0）（ 1）求点

2、 B 、 C 的坐标；（ 2）判断 CDB 的形状并说明理由；（ 3）求四边形 ABCD 的面积。2解：（ 1）点 A （ 1， 0）在抛物线y= （ x 1） +c 上，20= （ 1 1） +c，得 c=4，2抛物线解析式为：y=（ x1） +4，令 x=0 ，得 y=3 ， C（ 0， 3）；令 y=0 ，得 x= 1 或 x=3， B（ 3，0）（2） CDB 为直角三角形理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为（ 1， 4）如答图1 所示，过点 D 作 DM x 轴于点 M ，则 OM=1 ， DM=4 ， BM=OB OM=2 过点 C 作 CN DM 于点 N，则 CN=1

3、， DN=DM MN=DM OC=1 在 Rt OBC 中，由勾股定理得：BC=；在 Rt CND 中，由勾股定理得：CD=；在 Rt BMD 中，由勾股定理得： BD=222，BC +CD =BD CDB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）(3) 略;. .;.(2009 年牡丹江市 )如图二次函数 y x2bxc 的图象经过 A1，0 和 B 3，0两点，且交 y 轴于点 C （1）试确定 b 、 c 的值；D， MMCD（2）过点C作CD x轴交抛物线于点为此抛物线的顶点，试确定的形点状yA0B xC;. .;.2（ 2013 牡丹江） 如图，抛物线 y=x +bx+c 过点 A （ 4，

4、 3），与 y 轴交于点 B，对称轴是x= 3，请解答下列问题：（ 1）求抛物线的解析式（ 2）若和 x 轴平行的直线与抛物线交于C，D 两点，点 C 在对称轴左侧， 且 CD=8 ，求 BCD的面积2注：抛物线y=ax +bx+c （ a0）的对称轴是x= 222解：（ 1）把点 A （ 4， 3）代入 y=x +bx+c 得：16 4b+c= 3，c4b= 19，对称轴是x= 3，= 3， b=6 ， c=5，抛物线的解析式是（2） CD x 轴，点 C与点 D关于2y=x +6x+5 ；x= 3 对称，点 C 在对称轴左侧，且CD=8 ，点 C 的横坐标为 7，2点 C 的纵坐标为（7）

5、 +6×（ 7） +5=12 ，点 B 的坐标为（ 0， 5）， BCD 中 CD 边上的高为12 5=7 ， BCD 的面积 =×8×7=28;. .;.23、（ 2009 仙桃） 如图，已知抛物线y x2 bxc 经过矩形 ABCD的两个顶点 A、B，AB平行于 x 轴，对角线 BD与抛物线交于点P，点 A 的坐标为 (0 ，2) ， AB4(1) 求抛物线的解析式；(2) 若 S APO 3 ，求矩形 ABCD的面积2（ 2013 哈尔滨， 24， 6 分）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB ( 单位：米 ) ，现以AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的

6、对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知 AB =8 米，设抛物线解析式为y=ax2-4( 1)求 a 的值；( 2)点 C( -1,m) 是抛物线上一点，点 C 关于原点 O 的对称点为点D，连接 CD、BC、BD，求BCD 的面积1【答案】 解： ( 1) AB=8 ，由抛物线的对称性可知OB=4， B( 4,0) ， 0=16a-4， a=4112( 2) 过点 C 作 CE AB 于 E，过点 D 作 DF AB 于 F， a= ， y= x -4.44;. .;.令 x=-1， m=1×( -1)2-4=-15, C( -1,-15) .点C 关于原

7、点对称点为D， D( 1，15) ，4444CE =DF =15，S111151154BCD =SBOD+S BOC = OB·DF + OB·CE= ×4×+×4×=15 BCD 的面222424积为 15 平方米24（ 2013?佛山）如图，已知抛物线2y=ax +bx+c 经过点 A（ 0，3），B（3，0），C（ 4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分） 考点 ： 待定系数法求二次函

8、数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换分析：（ 1）把点 A 、 B 、C 代入抛物线解析式y=ax2+bx+c 利用待定系数法求解即可；（ 2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（ 3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解解答：解：（ 1）抛物线y=ax 2+bx+c 经过点 A （0， 3）， B（ 3， 0）， C（4， 3），解得，;. .;.所以抛物线的函数表达式为y=x 2 4x+3；（ 2） y=x 2 4x+3= （ x 2） 2 1，抛物线的顶点坐标为（ 2， 1），对称轴为直线

9、x=2；（ 3）如图，抛物线的顶点坐标为（2， 1）， PP=1，阴影部分的面积等于平行四边形AAPP的面积，平行四边形AAPP的面积 =1×2=2 ，阴影部分的面积=2 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（ 3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键如图 7，把抛物线 y= 1x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（ - 6，210）和原点 O（ 0， 0），它的顶点为2P，它的对称轴与抛物线 y=x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为_ 图 7;. .;.(2009 宁夏 )如图，抛物线 y1 x22 x