总结几何立体体积变型例题

1、体积变型例题9.如图所示水的体积是 珂4升水面高度正好是直径的r此时|水面是一正方形,求圆柱体的直径是多少？ ( 2dm )13.如上图所示：育一个瓶子,瓶底直径是10cm ,瓶中装一定显的液体.正着放相制放如上图斯示.求：(E)瓶子的瓶颈的离是多少厘米？(2)求瓶子的体积是多少？答案：6cm； 942立方厘米。孝点：几何.立体溶液体积.亀为亞力恳的长方烬中有一宜方时.水囲囱度比疋方議滋転新COr.咸ltrM 制章曲«0on,申Z*水rtlfVJt炖眄观度为应帕.换：F方魅葩味检为芬bTlr)240cm(UV)空rxsn；上单坤蟻&.眷穿也L-POr肮方巧耳.象呷尸MOcm机

2、如卜圉水湖 J撫 如果把此装匡倒放过来.水深罡參少琴T < L悟秦】ut【夸Q】立律几何.E3柱罔程/那I等积則移”t择解】按据立偉几何等我養捋稱话盼 的订阵中水的倖积是不克前（也可根霭禅子中仝气 部分体职是不燹的”僞设脈子寢面积为匸 妣过来柄（SUsfl分）为h,很振水体论不变可得：SX7slxsX6+SXH,聲得；H=5, 斜水探为旨停E【能度】*点林难廈不大厲要肾判灘口E拥圈柱与瞬術R之词的关系【例1】一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方 厘米？（冗=3.14）【解析】 从

3、图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积.（法1）这两个侧面都是长方形， 且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径.可知，圆柱体的高为50.24“ 3.14 22 i=4 （厘米），所以增加的表面积为 2 4 2 =16（平方厘米）；（法2）根据长方体的体积公式推导增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14 2=6.28厘米，所以侧面长

4、方形的面积为50.24亠6.28 =8平方厘米，所以增加的表面积为8 2=16平方厘米.【例2】（2008年”希望杯”五年级第 2试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图）,由图中的数据可推知瓶子的容积是 立方厘米.（n取3.14）610（单位：厘米）【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可 以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10-8=2厘米的圆柱, 瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：4 2n （工）（62） =3.14 32 =100.48（立方厘米）.2【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图已知它的容积

5、为 26.4 n立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？10 / 11【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体3积是空余部分体积的6“2=3倍所以酒精的体积为26.4 n62.172立方厘3+1米，而 62.172 立方厘米 =62.172 毫升=0.062172 升.【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，（如下图所示）,请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是.【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7 -5二2cm ,从而水与空着

6、的部分的比为4:2 =2:1 ,由图1知水的体积为10 4，所以总的容积为 40亠2 2 1 =60立 方厘米.【例3】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为 2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器 的水深是多少厘米？【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆2 2柱体在水中体积之和，因而水深为：-一 152 2 '卩二17.72 （厘米）.它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中.于是所求的水深便是17.72厘米.【例4】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20

7、厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问：这时乙杯中的水位上升了多少 厘米？【解析】 两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4 铁块在两个杯中排开的水的1 体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的-,即4120. 5厘米）.4【例5】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1,乙容器中水的高度是3锥高的2，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍?3【解析】r，高为h ,设圆锥容器的底面半径为则甲、乙容器中水面半径均为2r，则有3v容器=3n h，1 2V乙

8、水n ( r)33192、vn hv甲水_ 81V乙水一 82'乙水 n h812 8_ h =3811 21 /2、2 219V甲水n hn(一 r)h =3333811919，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的8【例6】（2008年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为 8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米.【解析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：'2°） - n g "Loo =8400冗（立方厘米），L辽丿12丿薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.0

9、4厘米，所以薄膜展开后的面积为8400 n ：- 0.04 =659400 平方厘米=65.94 平方米.另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积.由于展开前后薄膜的侧面的面积不变,展开前为=84 n （平方厘米），展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84 n - 0.06594厘米，所以展开后薄膜的面积为 6594 100 =659400平方厘米 =65.94平方米.【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴.已 知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面

10、积除以宽这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积.3.14100-90.04= 7143.5(厘米)因此，纸的长度纸卷侧面积3.14 102 -3.14 32'纸的厚度.004练习1. 一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm .把酒瓶塞紧后使其 瓶口向下倒立这时酒深 25cm .酒瓶的容积是多少？（ n取3）T1513025【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变.当酒瓶倒过来时酒深 25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高 5cm的圆柱,再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积酒的体积:瓶中剩余空间的体积(30 -25) n 10 1

11、0 =125 n ,2 2酒瓶容积【例7】375 n 125 n = 500 n =1500(ml)如图，ABCD是矩形，BC =6cm , AB =10cm，对角线 AC、BD相交O . E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以 EF为轴旋转一周，则白色部分 扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？（ n取3）【解析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图 形.1 2两个圆锥的体积之和为： n 3 5 =30n二90（立方厘米）；3圆柱的体积为 n 32 10=270（立方厘米），所以白色部分扫出的体积为 270 -90 =180（立方厘米）.【巩固】（2

12、006年第一届华杯赛决赛试题 ）如图，ABCD是矩形，BC=6cm , AB = 10cm , 对角线AC、BD相交O 图中的阴影部分以 CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出 的立体的体积是多少立方厘米？【解析】设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V，则V等于高为10厘米，底面半径是 6厘米的圆锥，减去 2个高为5厘米，底面半径是 3厘米的 圆锥的体积后得到.1 2 1 2所以，V n 6 10-2n 3 5 =90n（立方厘米），33那么阴影部分扫出的立体的体积是2V =180 n=540（立方厘米）.一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高为 1

13、米,底面边长 为15厘米的长方体铁块,这时,容器里的水深0.5米,现在把铁块向上提起 24厘米,那么铁块 露出水面的部分中被水浸湿的部分长多少厘米？（假设拿出24厘米水面不下降，就会有 24厘米铁块露出水面的部分中被水浸湿，但水面是会下降的，下降后铁块会有更多部分露出水面。所以总的被水浸湿部分长度还要在24厘米基础上加上水下降的长度。以下哪种方法对？（1 ）四棱柱铁棍腾出的体积 *方体底面积+ 24厘米（2 ）四棱柱铁棍腾出的体积 +（长方体底面积-四棱柱底面积）+24厘米 我理解的是第一种，老师却说是第二种，如果谁能详细解释第二种的原理，万分感谢。甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4 : 3

14、,甲容器水深7厘米，乙容器水深3厘米,再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这是水深多少厘米？【解析】：当两个容器中水深相等时，容器中水的体积比就等于两个容器的底面积之比 为：4 : 3。如果把甲容器中1厘米深的水量看作4份，则乙容器中1厘米深的水量就有3份。 甲容器中已有水量为：4X 7= 28 （份）乙容器中已有水量为：3X 3= 9 （份）假设后来注入两个容器中的水都是x份，由题意可得：（28+ x） : （9+ x） = 4 : 3解比例得：x= 48所求水的深度为：（28+ 48）- 4= 19 （厘米）。体积变型例题9.如图所示”水的体积是M14升,水面高度正好是直径的一半”

15、 此时水面是>正方形求圆柱体的直径是多少？（ 2dm ）13.如上图所示:肓一个瓶子（瓶底直径是10cm ,瓶中装一定显的液体”正著°放和倒放如上图所示.求：仁）瓶子的瓶颈的高是多少厘米？（2）求瓶子的体积是多少？菩案：6cm； 942立方厘米口 考点：几何，立协瀋液体积右一吓握置冲止方麻的恤靑体申塞旳亠赏廣.辽方H*术酣商虞忧丹忌讷崔鼻6<E.忒凱胃川加朗鼻盧为机SUF團水湖肌求工SQ果把1H唆国倒放过来和盛參少琴【例8】一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方 厘

16、米？（冗=3.14）【例9】（2008年”希望杯”五年级第 2试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图）,由图中的数据可推知瓶子的容积是_立方厘米.（n取3.14）（单位：厘米）【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图已知它的容积为 26.4 n立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？6【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，（如下图所示）,请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是.【例10】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将

17、一个底面半径为 2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器 的水深是多少厘米？【解析】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问：这时乙杯中的水位上升了多少【例11】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1，乙容器中水的高度是3锥高的2，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？3【例12】（2008年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为 8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.

18、04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米.【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴.已练习2.个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm .把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深 25cm .酒瓶的容积是多少？（ n取3）25【例13】 如图，ABCD是矩形，BC =6cm , AB = 10cm，对角线 AC、BD相交O . E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？（ n取3）【巩固】（2006年第一届华杯赛决赛试题 ）如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB =10cm， 对角线AC、BD相交O .图中的阴影部分以 CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出