待定系数法在一类数列求通项问题中的应用

1、待定系数法在一类数列求通项问题中的应用数列问题是高中数学中极为重要的一个内容，从以往高考来看， 数列往往作为大题的第四题或最后一题出现， 是高考数学中一个较为 困难的考点。在高考中数列的大题往往包括 2-3问，主要考察已知数 列的前n项和或已知数列的递推公式求数列的通项公式，求出通项公式后，求解数列的前n项和。无论是考点为以上问题中的哪一类，求 解数列通项公式是其中的必由之路，其基本类型为：一、已知数列的前n项和满足的表达式，求数列的通项。1、已知Sn=f(n),(n N )(其中f(n)表示的是一个以n为自变量的 函数)，对于此类问题只需要用an=Sn-Snd求解，即可得到数列可 的通项公式

2、。2、 已知Sn二f(an),( nN )(其中f(%)表示的是一个以为自变 量的函数)，对于此类问题仍只需要用an二Sn -Sn_i求解，即可得到数 列an的通项公式或者数列的递推公式。3、已知Sn二f(an,n),(n N )(其中f (an,n)表示的是一个以an ,门为 自变量的二元函数)，对于此类问题仍只需要用a sn -snJ求解，即 可得到数列 an的通项公式或者数列的递推公式。对于以上问题，利用 為二Sn -S-1求解，如果得到了通项公式， 问题既得到解决，如果得到的为数列的递推公式(第2、3两种情况)， 就需要利用已知递推公式，求解通项的方法进行。二、已知递推公式，求通项公式

3、。如果题目条件给出的是数列的递推公式，或者为上述的第2、3 两种情况得到的递推公式，我们根据递推公式的不同，求解策略也有 所不同。根据历年高考数列大题来看，已知或求解出的递推公式不外乎为 以下6中情况。1、递推公式为an -an=d(n_2,N )其中d为常数，既得到数 列为等差数列。2、递推公式为 五二q(n_2,N ,q=1)其中q为常数，既得到数an A列为等比数列。3、递推公式为an -an二f(n)(n_2,nN )，此时可用叠加法得到 数列的通项公式。4、递推公式为an = f(n)(2,N )，此时可用叠乘法得到数列an 4的通项公式。5、递推公式为a* = pa*q(n _2,

4、 N )其中p， q为非零常数， 此时可将数列转化为等比数列来求解。6、递推公式为an = pan4 ' f (n)(n_2,n N )其中p为非零常数，此 时可将数列转化，然后利用叠乘法进行求解。对于以上这6中情况，1-4种的解法，学生较容易掌握，第 6种 虽然较为困难，但高考中几乎未曾出现，倒是第 5种情况，在近几年 的高考中，出现的频率很高，但学生在求解过程中，掌握方法上还有 所欠缺。下面本人就自己在求解第 5种问题中的一些观点做一介绍。对于递推公式为an = pan4 q(n 一 2,n N )其中p, q为非零常数的问题，很多资料以及教师的讲解要么采用配凑，要么直接给出变形的

5、公式让学生进行求解，但本人认为，配凑的方法没有什么规律性，学 生求解起来具有一定的偶然性，公式法尽管可以直接得到结果，但很 多学生记不住，尤其在考试中更容易忘记。公式法是将an = panq变形为an = p(anJ)然后转化为1 -p1-p等比数列进行求解，为什么这样变形，或者说变形的过程很多学生理 解不了。本人认为在此采用对应系数相等的待定系数法思想，通过假设未 知量可以使变形的过程很清晰，利于学生理解。方法如下：对于递推公式为an二pan. q(n _2, N )的数列，可以进行如下 假设，既设原式可化为an -X二p(ani -x)其中x为未知量，将该式展开得到， an二pan-(1

6、- p)x，将其与an二panq做比较，按照对应系数相等的 原则，可得x = 带入an - x = p(an- x)中即可将其转化为等比数列1 -p进行求解。举例说明：已知数列an对任意的n_2均满足，a3ai 5成立，其中 ai =1，求数列的通项公式。解：设 an - x 二 3(an 4 -x)，展开得 an = 3an4 -2x 与 an = 3an5 按对 应系数相等，可得X5，所以，原式可化为，an 九©5)2 2 2令 bn 二 an 5，则 an 5 二 3(an 4 5)变形为 bn =3bn_1，既可得2 2 2bn = d * 3n，又 bi = ai 5 ,印=1，所以 bi = 72 2bn =7*3n，所以 a-*3nJ-52 2 2通过此题，可以看到，待定系数法求解这类数列问题，思路较为 清晰，对于学生理解较为容易。如果本题采用配凑法，则不少学生就 较为困难，采用记忆公式的方式，可能会出现部分学生记不住的问题。 当然对于比较简单的问题，如：an =2an_i 1等，由于配凑可以直接看 出结果，此时就可采用配凑的方式，将原式变形为an -仁2(an1),也是较为简单的方式。总之，对于递推公式为an = panq(n_2