新课预习讲义选修双曲线双曲线的几何性质教师版

1、新课预习讲义选修2- 1：第二章§ 2.3双曲线（三）§ 2.3.2双曲线的简单几何性质（2）学习目标1掌握直线与双曲线的位置关系.2掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题.3了解双曲线的第二定义及其焦点弦、焦半径等问题4. 了解与双曲线有关的应用问题 .学习重点：直线与双曲线的位置关系及其弦长、中点等问题是本节的重点学习难点1双曲线的第二定义、焦半径公式及其应用.2. 本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能 出现.一、自学导航知识回顾：复习1 :说出双曲线的几何性质 ？复习2 :怎样求已知双曲线的渐近线方程？已知双曲线的

2、渐近线方程怎样求双曲线方程？预习教材： 第59页一一第63页的内容。自主梳理：1、预习教材P59例5. （1）结合椭圆的第二定义，归纳双曲线的第二定义（2 ）结合椭圆的焦半径公式，导出双曲线的焦半径公式2、预习教材P60例6,总结直线与双曲线的位置关系的相关问题 预习检测：b、221.过点P - 1,-的直线I与双曲线x2-y?= 1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶a丿a b点，则双曲线的实半轴长等于（）B. 4C. 1 或 2D. 2 或 4解析： 依题意知，过点P的直线I与双曲线相切或与双曲线的渐近线ax平行，所以a = 1或解得a= 1或a= 2.所以实半轴长等于1或2,

3、故选C.2. 如图，ax- y + b= 0和bx2 + ay2= ab（ab丰0）所表示的曲线只可能是 （）2 222XVbx + ay = ab 可化为一+ 古=1.a b若ab>0,则A中曲线错误，B中曲线不存在.若ab<0，贝U D中曲线错误，故选 C.3. 若直线y= kx+ 2与双曲线x2 y2 = 6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是x2- y2= 6解析：，y= kx+ 2x2 (kx+ 2)2= 6, (1 k2)x2 4kx 10= 0 有两个不同的正根.= 40 24k2>0,4kxi + X2=>0,15贝U1 k解得一二vkv 1.10

4、X1X2=>0.L1 k答案：町一 124. 已知双曲线x2 y3 = 1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点若P为AB的中点,3(1) 求直线AB的方程；(2) 求弦AB的长.解析：(1)易知直线AB的斜率存在.设A(X1, y”、B(x2, y2)，代入双曲线方程 3x2 y2= 3，得2 2 2 23x1 yi= 3,3x2 y2 = 3,两式相减得： 3(x1 X2)(X1 + X2) = (y1 y2)(y1+ y2),y1 y2 y1 + y2 即 = 3.X1 X2 X1 + X2所以直线AB的斜率8 / 18X1 + X2yi y2xi X23 xi + X23

5、 X 2yi + y2yi + y23X 2=6.所以直线 AB的方程为6x y 11 = 0.将 y= 6x 11 代入 3x2 y2= 3，得 33x2 132x+ 124 = 0.由弦长公式 |AB|= “1 + k2|x1 - X2|2x1 + X2 4X1x21322 4 33 124得|AB|=1 + 36 X332所以 |AB|= 33 2 442.问题与困惑：二、互动探究问题探究：探究1:由教材第59页例5,可导出以下结论：a2（1） 双曲线的第二定义：若动点 M（x, y）与定点F（c,O）的距离和它到定直线l : x的距离的比是cMF常数e（en1），则动点M的轨迹是一个双

6、曲线，即 =e （其中，d是双曲线上任意一点到双曲线的d2a准线x的距离，e是双曲线的离心率.）c2 2（2） 双曲线的准线方程：若焦点在x轴上，则左准线是 X - -红；右准线是X二色；cc（3）双曲线上任意一点 M （X0，y。）的焦半径（其中，F1为左焦点，F2为右焦点）：MF =ex0+ a , MF2 =exo _a（注意：动点到相应焦点的距离比上到相应准线的距离；注意与椭圆的焦半径公式的不同.）探究2 :由教材第60页例6,可导出直线与双曲线的位置关系 .：（1）直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l: y= kx+ m（m丰0）2 2双曲线C：予= 1（a>0 , b>

7、;0）把代入得(b2 a2k2)x2 2a2mkx a2m2 a2b2= 0.(D当亠a2k2= 0，即k= ±时，直线1与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点(ii)当 b2 a2k2 0,即卩 2 圭时，a2 、22 2 2-2 22t 2X= ( 2a mk) 4(b a k )( a m a b ).A>0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；A= 0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切;<0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.(2 )弦长公式斜率为k(kz0)的直线1与双曲线相交于 A(xi, yi), B(x2

8、, 丫2)，则|AB|= 1 + k2|xi x?|=1 + kxi + X2 4xiX2=11+申1y22i + y2 4yi y2.典例导析：题型一、直线与双曲线的位置关系例1、已知直线y= kx 1与双曲线x2 y2= 4.(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围;(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围.|y= kx 1,解题过程(1)联立方程组消去y|x2 y2=4,得方程(1 k2)x2 + 2kx 5= 0,由题意得，此方程有两个不等的正根.2 24k + 20(1 k >0,2k>0,1 k2即 k>1 或一1<k<0,I

9、.k>1 或k< 1.解得1<k<y= kx 12 2由 22 得(1 k2)x2 + 2kx 5 = 0(*)x y = 4易知此方程无解.得或k< 三5,1 k2 工 0 由$A= 4k2 + 20 1 k2 <0则k的取值范围为k或k< 一-.题后感悟直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元次方程，要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐 标间的关系，结合根与系数的关系求解.变式训练：21已知双曲线x2 4= 1过点P(1,1)的直线I与双曲线只有一个公共点，求直线

10、I的斜率k的值.解析：当直线1的斜率不存在时，1: x= 1与双曲线相切，符合题意;当直线I的斜率存在时，设I的方程为y= k(x 1) + 1, 代入双曲线方程得(4 k'jx? (2k 2k?)x一 k + 2k 5= 0.当4 k2 = 0，即k = ±.时，I与双曲线的渐近线平行，I与双曲线只有一个公共点;当4 k20时，令= 0,所以k= |.5综上所述，当k= 5或k= 或斜率不存在时满足题意.题型二、弦长问题2例2、过双曲线 x2-= 1 的左焦点F1，作倾斜角为f的弦AB,求|AB|的长.思路点拨写出直线方程，代入双曲线方程消去y得x的一元二次方程，禾U用根与

11、系数的关系和弦长公式求得.规范作答双曲线焦点为F1( 2,0)、F2(2,0),将直线AB的方程丫=于&+ 2)代入双曲线方程，得8x24x 13= 0.设 A(X1, y1)、B(x2, y2),1，X1+ X2= 2,X1x2= 13 |AB|= " 1 + k X1 + X2 $一 4x1x2题后感悟如何求解与弦长有关的问题?(1)列直线方程与曲线方程构成的方程组;(2)化为一元二次方程后，据韦达定理求出X1 + X2, X1X2的表达式；据弦长公式 |AB| = p(1 + k2 1(X1 + X2 4x1x2求解.变式训练：2 22.已知斜率为2的直线被双曲线X3

12、纟=1所截得的弦长为4,求直线I的方程.解析： 设直线I方程为y= 2x+ m2 2设l与双曲线X3 y = 1的交点为A(xi, yi)B(x2, y2)得 10x2 + 12mx+ 3(m2+ 2) = 06mXi+ X2= ,Xi X2 =ABE，1 + 22 X1+ X2 2 4X1X2所求直线I的方程为y= 2x土 ；10.题型三、中点弦问题例3、已知双曲线方程为2x2 y2= 2过定点P(2,1)作直线交双曲线于 P1，P2两点，当点的中点时，求此直线方程.思路点拨P(2,1)是弦 P1P2x轴上，不可能解题过程若直线斜率不存在，即 P1P2IOX,则由双曲线的对称性知弦P1P2中

13、点在 是点 P(2,1),所以直线I斜率存在.故可设直线I方程为y 1 = k(x 2)，即y= kx 2k + 1.2x2 y2= 2,由消 y并化简，得(2 k2)x2+ 2k(2k 1)x 4k2+ 4k2 3 = 0.y= kx 2k+ 1设直线I与双曲线的父点P1(X1, y”，P2(X2, y2),当 2 k20,o2k(2k 1即k2 2时，有冷+ X2=2 k2k(2k 1 )又点P(2,1)是弦P1P2的中点，一 = 2,解得k= 4.2 k2222当 k = 4 时，= 4k (2k 1) 4(2 k )( 4k + 4k 3)= 56X 5>0 ,当k2= 2，即k

14、=±. 2时，此时，与渐近线的斜率相等，即k= ± 2的直线I与双曲线不可能有两个交点. 综上所述，所求直线方程为y= 4x 7.题后感悟如何解决中点弦问题？(1)与弦中点有关的问题： 中点弦所在直线方程问题，如本例； 弦中点轨迹问题. 如何处理弦中点问题？(不需求 用待定系数法.设直线方程与双曲线方程，联立解方程组，化为一元二次方程后，据韦达定理出方程的根)，结合中点坐标公式，求出待定系数，这也是解决直线与曲线位置关系问题常用方法. 用“点差法”求斜率.即设该端点坐标，代入双曲线方程，通过作差，分解因式，结合中点坐标，可求yi y2斜率k=这是解决与中点有关问题的简便而有

15、效的方法.求弦中点轨迹问题，此方法依然有效.X1 - X2(3)注意：待定系数法要考虑k不存在和k= ± 2情况，用点差法求出了k,但要检验是否正确.变式训练:3. 过点P(8,3)的直线与双曲线 9x2 - 16y2= 144相交于A, B两点，求弦 AB中点M的轨迹方程.解析： 设动点 M(x, y),弦 AB 端点 A(X1, y”，B(X2, y2),X1 + X2y1 + y2则 =X, = y,即 X1 + X2= 2x,9x2- 16y1= 144,1+ y2= 2y.且229x2 16y2= 144.两式作差，得 9(x1 X2) 16(y1 y2)= O,9(X1

16、+ X2)(X1 X2) 16(y1 + y2)(y1 y2) = 0.y1 y2当 X1 X2 时，9(x1 + X2) 16(y1 + y2) = 0.X1 X2又弦AB过点P(8,3)，且中点为 M(x, y).可得9 X 2x 16X 2y 口 = 0.x 8化简(x-4f1227=1,4=149 / 18当X1= X2时，弦AB中点M(8,0)满足方程要求.综上，弦AB中点M的轨迹方程为x-42y-21227直通高考题：1. ? （2012年高考四川卷理科 21）（本小题满分12分）如图，动点M到两定点A（_1,0）、B（2,0）构成MAB，且.MBA =2 MAB，设动点M的轨迹为

17、C。（I）求轨迹C的方程；（n）设直线y = _2x m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且| PQ |：| PR |, 求的取值范围.|PQ|【解析】（1）设讪的坐标为（“），显然有x>0.iy 0当 ZMBA=90W» M 的坐标两（2, , ±4当三江工99时；MBA=22 tan Z.MABZ.MABy I，即 x-322 / 18化简得：3x;-<*3=0l而又经过（2,上知综上可Mb轨迹C的方程为3x2-yL-3=0 （x>l）5分（II）由方程可得 x2 4mx+m2 +3 0 由题意，方程（丫）有两根且均在（L +00）内，设/（z）

18、 = x2-4wx + w3 +3所農二F 4桝十搐？ +3>0A = (-4w)a-4(wa + 3)>0解得，且m工2设g、r的坐标分别为（鬲，必）,心必）,由幺< 1戸別有= -14-心=2擁+'-1)人=2m (3(肿一 1)所以电L空=|尸0| 可2梯羽（桝彳一 1）1<-1 +<7+4 J3,且一 1 +所以PRPQ的取值范凰是17<1乙7+4筋)【考点定位】本小题主要考察直统、双曲线、轨迹方程的求法等基曲知识，考痉思维能力、运算能力.着察函数、分类与整合等思想，芥着察思维的严谨性22xy2. ?已知椭圆 G :二2ab=1(a>

19、b>0)与双曲线 C1 : x2-1有公共的焦点， C2的一条渐近线与以4G的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若G恰好将线段AB三等分，则(A) a【答案】2 13-2C(B)a22=13(C) b(D) b2 =2【解析】由双曲线x24 = 1知渐近线方程为 "，又椭圆与双曲线有公共焦点,椭圆方程可化为b2x2 + b2 5y2 = b25 b2，联立直线与椭圆方程消y得,2 b 5b x5b220又 C,将线段AB三等分，、122b25 b25b2202a3解之得b2二丄2解法二、【解析】由C恰好将线段x 1AB三等分得一3Xa =3x，由Xay =2xx2y2Xa =-a

20、. X 二5a,15宇a)在椭圆上,¥)22十2又:a2-b2=5,"匕，故选题型四、双曲线的第二定义、焦半径及其应用例4、已知双曲线2 2务-占=1(a0,b0)的左、右焦点分别是 F1、F2，点P在双曲线的右支上，且a bPF, =4PF2，则此双曲线的离心率 e的最大值为4A.3思路点拨B. 53C. 2D. 731若设P（ x ,y。）,再由两点间的距离公式代入等式PF1 = 4pf2并代入双曲线方程联解求 P的坐标则解题较繁，解法不可取2若由双曲线的第二定义及焦半径公式，则只与P点的横坐标X。有关，使解题简化3得出X。的关系式后，再由X。的范围转化为不等式进而求最

21、值解析:PR2,a 、2 a=ex0 _（）=eX。+ cc2a= e（x。）=ex。ac2 a va .2 a vXQDXQcc同理pf2-e（x。2a 、）二 ex。- ac由题意 ex0 a =4（ex。a）二 5a = 3ex。二 x03e5a55-x。_ a，a即e .二e的最大值为，故选B3e33题后感悟凡涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形等问题，常常用第二定义及焦半径公式解决往往会更简 便变式训练：2 24双曲线芋器1的左、右焦点分别是R、F2，在双曲线的右支上求点P，使吓沁旺PF1=e 2（a、XQ（）=e2 .ax。+-cc二e（x。乞）=ex。a =§x。4c422c

22、laPF2 e x。=eaXQcc= e（x X。- 4455由 PFi =3PF2 得 X。 4 =3 （：x。一4）二X。325232322将x。代入双曲线方程得5y。二 P（马-3、39）55解析：5由题意 a=4 , b=3 , c=5，离心率 e.设 P （ xQ, y。）4直通高考题1. ? （2012年高考全国卷理科8）已知F1, F2为双曲线2 2C:x -y =2的左右焦点，点P在C上,|PF1| = 2|PF2|，则 cos F1PF2 =【答案】C【解析】双曲线的方程为丄-広二1，所以辽仝=皿二2,因为|PF十2PF：”所以2 2点F在双曲线的右支上，则直IPhHPF十餌

23、2血，所以解得 吧|二2旋，严十4血，所 以根据余弦宦理得ms片尸码=（2血尸+严）；14=2选匸2x2/2x4724【琴点宦位】本试题主要肴査了収曲线的定义的运用和性质的运用.以及余弦定理的运用. 苜先运用定丈得到两个爆半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可.2 22. ? （2011年高考四川卷理科）双曲线 =1上一点P到双曲线右焦点的距离是 4,那么点P到左准6436线的距离是.解析：由双曲线第一定义，|PFi|-|PF2 = ± 16，因|PF2|=4，故|PFi|=20, （|PFi|=-12舍去），设P到左准线的距20 10离是d，由第二定义，得，解得d =16.d

24、 8答案：163. ? （ 2010年高考全国卷I理科9）已知F1、F2为双曲线C:X2-y2=1的左、右焦点，点 p在C 上,/ F1p F2= 600，则P到x轴的距离为(A)(D)- 6【解析】不妨设点p （x0, y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得2 一 2 _| PR| = ex0 -)Haex0= V x2x),| PF?|= ex。一邑)=ex, -a2x。一 1.由余弦定理得cc,即 cos600(1 .2x。)2 上 2x。二 1)2 -(2、2)22(W2x)(Qx° -1)53: <6解得x0,所以y0 =x0-1 ，故P到x轴的距离为| y0 F

25、2 2 2【答案】B4. ?如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流PQ （曲线）上 任意一点到 A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线 PQ上选一处M建一座码头向B、C转运货物，经测算，从 M到B、C两地修建公路的费用都是 a万元/km，那么修建这两条公路的总费用的最低值是A、( 71)a 万元B、(2.7_2)a 万元C、2.7a 万元D、(, 7 - 1)a 万元【解析】以AB所在的直线为X轴，以AB的中点为原点建立坐标系 设曲线(河流)上任意一点P ( X， y )则由题意知，PA - PB =2 c|AB , 曲线是双曲线的右支，焦点

26、为2双曲线方程为x2_丄_1.3北A (- 2, 0), B (2, 0)实轴 2a =2连接CA贝U CA兰CM| +|MA ,而由双曲线的定义知，MA =2+|MB ,- CA兰CM| + MB +2,当且仅当A、M、C三点共线时，等号成立又，由题意可求得 C ( 3, J3) CM | + MB 的最小距离是 CA 2,而 CA = (3+2)2+(翻一0)2 =2*讦 CM|+|MB的最小距离等于272，修建这两条公路的总费用的最低值是(2万一2) a万元【答案】B疑难解读1. 如何理解直线和双曲线的位置关系以过原点的直线和过焦点的直线为例.2 2(1)设直线 y= kx,双曲线 字一

27、*= 1(a>0, b>0). 当b<k<b,直线和双曲线的两支相交，有两个交点.a a 当b w k或kw °时，直线和双曲线没有交点.aa2 2设过焦点F(c,0)的直线y= k(x c)，双曲线* y2= 1.a b 当时，直线和双曲线相交，有一个交点.a 当b<k<b时，直线和双曲线两支相交，有两个交点.a a 当k< ©或k>b时，直线和双曲线一支相交，有两个交点.a a2. 如何求弦长及中点弦的问题(1) 求弦长可采取两种方法一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式.(2) 中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率.

28、(3) 由于双曲线不同于圆或椭圆是封闭曲线，所有还必须用二次方程的判别式来检验中点是否存在(祥见下面误区警示，亦即教材第62页习题2.3 B组第4题)误区警示2给定双曲线x2 2 = 1，过点B(1,1)是否能作直线 m,使它与所给的双曲线交于两点Q!及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点？这样的 m如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由.【错解】假设存在m过B与双曲线交于 Qi、Q2，且B是Q1Q2的中点，当m斜率不存在时，显然 只与双曲线有一个交点；当 m斜率存在时，设 m的方程为y 1 = k(x 1),由彳y 1 = k x 122 y 1x 2 = 1得(2 k2)x2 + (2

29、k2 2k)x (k2 2k+ 3) = 0,设该方程的两根为 X1, X2.由根与系数的关系,22k 2k得 X1 + X2=2= 2，解得 k= 2.k2 2故存在 m,其方程为y 1 = 2(x 1),即卩2x y 1= 0.【错因】对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出 k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.【正解】假设存在直线 m过B与双曲线交于 Q1、Q2,且B是Q1Q2的中点，当直线 m的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y 1 = k(x 1),y 1 = k(

30、x 1 )由 Sy2知(2 k2)x2 + (2k2 2k)x (k2 2k+ 3) = 0,Ix2-2 = 1设该方程的两根为 X1、X2，由根与系数的关系,22k 2k得 X1 + X2= 2= 2，解得 k= 2.k 22 2 2 2当 k = 2 时，= (2k 2k) + 4(2 k )(k 2k+ 3) = 8v 0,因此不存在满足题意的直线三、巩固拓展必做：教材第62页，习题5、6 A组第3、4题，B组第3、4题补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)21.已知双曲线方程为x2 t = 1，过P(1,0)的直线1与双曲线只有一个公共点，则1的条数为(4)A .4B. 3C.2

31、D. 1解析：数形结合知，过点P(1,0)有一条直线1与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点.答案： B么此双曲线的离心率为()A. 2CV3+ 1C. 2B. ,35 + 12 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那2 2解析：设双曲线方程为X2 y2= 1(a, b>0)，不妨设一个焦点为F(c,O)，虚轴端点为B(0, b),贝U kFBa b又渐近线的斜率为£所以由直线垂直关系得-c 一1(-a显然不符合),即 b2= ac, 又 c2 a2= b2, 故 c2 a2 = ac,两边同除以

32、a2,得方程e2 e 1= 0,-J5 + 11 5解得 e= 2或 e= (舍).答案： D2 23. 已知双曲线 拿一斧1(a>0, b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有 且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A . (1,2B. (1,2)C . 2 ,+ )D . (2 ,+ )解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近/c2 a2.线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°= , 3,即£ > .3,则孑一= e2 1 > .3，故有e2 &g

33、t; 4, e> 2.故选C.答案：C2 24. P是双曲线X 16= 1的右支上一点，M、N分别是圆(x+ 5)2 + y2= 4和(x 5)2 + y2= 1上的点，贝V |PM|PN |的最大值为()A . 6B . 7C . 8D . 9解析：设双曲线的两个焦点分别是F1( 5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及 P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM| |PN|= (|PF11+ 2) (|PF2| 1) = 6+ 3= 9.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)2 2x2 + y2= a2的两条切线，切点分别为A,

34、 B，若x y5. 过双曲线 C:孑一=1(a>0 , b>0)的一个焦点作圆/ AOB = 120°0是坐标原点)，则双曲线 C的离心率为 解析：= 120° 厶OF = 60° ZAFO = 30°? c= 2a,：e= c = 2. a答案： 22 26. 已知双曲线 器丁 = 1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是解析：由题意知当过F点的直线与渐近线平行时， 满足与右支只有一个交点， 画出图形，通过图形可知，撐w kwf.答案:'-3 ' 3 一三、解答题(每小题10分，共20分)7. 已知双曲线3x2 y2= 3，直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°与双曲线交于 A、B两点，试问A、 B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.解析： v = 1, b= 3, c= 2,又直线I过点F2(2,0)，且斜率k= tan 45 = 1,'I的方程为y= x 2,y= x22由 22 消去y并整理得2