曲线与方程求曲线的方程

1、第二部分(理科加试内容)15 / 920、曲线与方程20. 1曲线与方程 求曲线的方程【知识网络】1.巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的统一定义. 2体会曲线与方程的对应关系.3进一步感受数形结合的基本思想.【典型例题】例1 (1)圆心在抛物线2y =2x ( y 0 )上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()2 2 1A. x y-x-2y 0 B42 2C. x y -x-2y 1=0 dx2 y2 x -2y 1 = 02 2 1x y_x_2y0455(2)已知两点M (1, 4),n(-4,-4),给出下列曲线方程: 4x + 2y 仁0 x2 + y2=3x2

2、2 1 + y =122+ y2=12在曲线上存在点 P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是()A . B . C. D .(3) 条件A :曲线C上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B:以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线 C上则A与B关系是()A . A是B的充分不必要条件B . A是B的必要不充分条件C. A是B的充要条件 D . A既不是B的充分条件也不是 B的必要条件(4) 已知曲线 C: xy + 2x ky + 3=0 经过点(一1, 2),贝U k=.(5) 点(m,n)在圆x2+ y- 2x+ 4y=0夕卜，则 m n满足的条件是.例2求到两不同定

3、点距离之比为一常数入(入工0)的动点的轨迹方程.例3已知三点 A(-2-a,0), P(-2-a , t) , F(a,0),其中a为大于零的常数，t为变数，平面内动点 M满足PM AP =0,且IPM I = I MF I +2.(1) 求动点M的轨迹；(2) 若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点 S, T, 求证：C落在以S、T为焦点过F的椭圆上.例4已知点P(-3,0)，点A在y轴上，点 Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足-3PAAM=0,AM MQ2(1) 当点A在y轴上移动时，求动点 M的轨迹C的方程;（2） 设轨迹C的准线为I，焦点

4、为F,过F作直线m交轨迹C于G, H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线 n,且n I=E，试问点E, O, H（0为坐标原点）是否在 同一条直线上？并说明理由.【课内练习】1方程x-y2xy-1 2 =0表示的图形是（）A. 条直线和一条双曲线 B 两条双曲线 C 两个点D 以上答案都不对.2下列各组方程中表示同一曲线的是（）A x2=y 与 x= yB . y 2x + 1=0 与_ =2x-1,22y+1 2C. y=|x|与 x y =0 D y 1=与 y + x xy + 仁0x3. 到x轴y轴距离之积等于常数 k （k> 0）的点的轨迹所在象限是（）A. 、三象限 B

5、二、四象限 C 第一象限D 第一、二、三、四象限4长为m的一条线段 AB ,其两段分别在 x轴正半轴和y轴正半轴上移动，则线段的中点 轨迹是（）A 直线的一部分B 圆的一部分C椭圆的一部分D 一个以原点为圆心半径为m的圆.5. 到两定点（1 , 0）, （ 1, 0）的距离之比等于 2的点的轨迹方程是.6已知动抛物线以x轴为准线，且经过点（0, 1）,则抛物线的焦点的轨迹方程是.2 27椭圆11上一点到其左准线的距离是2，则到右焦点的距离等于.1698 .已知动点P到定点（一3, 0）的距离比它到直线x 仁0的距离大2，求动点P的轨迹方程.29.抛物线y =2px（p > 0）有一内接直

6、角三角形，直角顶点为原点，一直角边的方程为y=2x,斜边长为5 3,求抛物线的方程.2 210已知动点P与双曲线 -y 1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且2 31cos F1 PF2的最小值为-一.9（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知D（0,3） , M、N在动点P的轨迹上且 DM二，DN，求实数'的取值 范围.20. 1曲线与方程 求曲线的方程2 21方程1表示的图形是 ()|x| |y|A 一条直线B 两条平行线段C. 一个正方形D 一个正方形(除去四个顶点)2. 已知线段AB=2，动点M到A , B两点的距离的平方差是 10,则动点的轨迹是()A .一条直线B .一个

7、圆C. 一个椭圆D .双曲线3. 已知直角 ABC的斜边BC的两个端点分别在 x轴正半轴、y轴正半轴上移动，顶点A和原点分别在BC的两侧，则点A的轨迹是()A.线段 B .射线C .一段圆弧D .一段抛物线4 .抛物线y2=6x的斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是.5. 点Q是双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点 A (0, 4),贝U内分AQ所成比为扌的点P的轨 迹方程是.2 26. 已知动圆过点 Fi (- 5, 0)且与定圆x + y 10x 11=0相外切，求动圆圆心的轨迹方程.7.已知常数a 0,向量2 = (0,a),? = (1,0)。经过原点o以c J为方向向量的直线与经44

8、过定点A(0,a)以i -2<为方向向量的直线相交于P,其中R。试问：是否存在两个定点E、F,使得PE十PF为定值。若存在，求出 E、F的坐标；若不存在，说明理由。& A B是两个定点，且|AB|=8，动点M到A点的距离是10,线段MB的垂直平分线I交MA 于点P,若以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系.(I)试求P点的轨迹C的方程；(H)直线 mx-y 4m=0(mE R )与点P所在曲线C交于弦EF,当m变化时，试求 AEF的面积的最大值.1. 已知点P ( x,y)在以原点为圆心的的单位圆上运动，则点Q (x + y,xy)的轨迹是()A.圆 B .抛物

9、线C .椭圆 D .双曲线2. 点P与两定点F1 ( a,0),F2(a,0) (a>0)的连线的斜率乘积为常数k,当P点的轨迹是离 心率为2的双曲线时，k的值是()A. 3B.3C. 土 3D. 43. 方程J(x+2$ +(y _2丫 = x_y+3表示的曲线是()A.直线B .双曲线C .椭圆D .抛物线4. 过点M ( 2, 0)作直线I交双曲线x y =1于A, B两点，以OA OB为一组邻边作 口 OAPB则P点的轨迹方程是.5. 从直线y=x上一点P引抛物线y=x + 1的两条切线，切点分别为A, B,则弦AB中点的 轨迹方程是.6. 已知两个定点 A , B距离是6,动点

10、M满足/ MBA =2Z MAB求动点M的轨迹方程.7. 已知常数a 0,在矩形ABCD中，AB=4 , BC=4a, O为AB的中点，点 E、F、G分别BE cf dc在BC、CD、DA上移动，且，p为GE与OF的交点(如图)，问是否存BC CD DA在两个定点，使 P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由&已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆2 2的面积是nab.请针对椭圆 y 1 ,求解下列问题：2516(1 )若 m, n 是实数，且 |m|n| w.4 求点 P ( m, n)落在椭圆内的概率以及点P落在椭圆上的概率.(2)

11、若 m,n是整数，且|m| <, |n| w.4求点P ( m,落在椭圆外的概率以及点P落在椭圆上的概率.20. 1曲线与方程求曲线的方程n)【典型例题】1例1、D .提示：过抛物线的焦点(2, °)作x轴的垂线，与抛物线的交点即为圆心，半径 是1.(2) D .提示：看MN的中垂线与曲线有没有公共点.(3) D.提示：联想曲线方程的定义.1(4) - 2 .提示：坐标代入.(5) ni+ n2- 2m+ 4n>0.提示：(m,n)到圆心的距离大于半径.例2、以两不同定点 A, B所在的直线为x轴，AE的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. 设P( x,y )是轨迹上任一点

12、，A(-a,°) , B(a,°) , (a >0).由题设得PA = ” PB，即J(x +a 2 +y2 =?j(x _a 2 +y2 ,-(1 -人 f(x2 + y2 +a2 H(1 + 人2 2ax= 0当冬=1时,方程x=°表示一条直线.当 -1时,方程为x 1 - '2y2 二3a V2 a ，表示一个圆.所以当，=1时,点的轨迹是一条直线；当'=1时，点的轨迹是一个圆.例 3、(1) / PM AP =° PM _AP又丨 PM I =1 MF I +2 M在以F为焦点，x=-a为准线的抛物线上动点M的轨迹方程：y2

13、=4ax(2)证明：过S、T分别作准线x=-a的垂线，垂足分别为S、Ti，设S(xi,y 1) , T(x2,y 2)贝SF I + I TF I = I SS I + I TTi I = x i+X2+2a2 _4由 jy - ax得 x2+(2a-8)x+a(a+8)=0 xi+X2=8-2a(x -a 一4)2 +y2 =4 I SF I + I TF I =8即I SF I + I TF I = I CS I + I CT I C落在以S T为焦点，且过 F的椭圆上.例4、(1)设点M的坐标为(x,y)，则由AM=_3MQ得A(0,-上)2 2y3 2 .PA AM =0 得(3,)

14、(x,)=0. y=4x22所求动点M的轨迹C的方程：y2=4x(2)轨迹C的焦点为F (1, 0),准线为I : x=-1，对称轴为x轴， 当直线m的倾角为90o时，直线m的方程为x=1,代入y2=4x,得y=± 2,= H(1,2),G(1,-2),nn l=E(-1,-2), 显然E, O, H三点共线. 当直线的倾角不为 90o时，直线m的方程为y=k(x-1)，代入y2=4x，得y2-j!y-4=0k2 2设H G的坐标分别为(电，y1),(空，y2 )，则丫甲2=-4 .44 n l=E(-1,y 2)yj二 OE=(_1,y2), OH =(, y1)42/ -y 2-

15、 里 y2=-y 2+y2=04 E, O, H三点共线.【课内练习】1. C.提示：将问题转化成一个方程组.2. D .提示：注意：变量的取值范围.3. D .提示：取一个具体的 k=1，画图观察.4. B .提示：动点移动有范围.5. 3x2 + 3y2 10x + 3=0.提示：直接设动点坐标建立方程并化简.6. x2+ y2 2y=0(yz 0).提示：用抛物线定义.7. 8 -Z .提示：联想椭圆的两个定义.2&由已知动点 P到定点(一3, 0)的距离等于到定直线 x=3的距离，根据抛物线定义，P点的轨迹是以(一3, 0)为焦点，x=3为准线的抛物线.故P点轨迹方程为：y2=

16、 12x.I y =2x m x p9.由2 得 2 ,|y =2px 1L17 = P1V = xV - 2得交点坐标为(8p, 4,p),用勾股定理得y2 =2px2 12p=13,因p> 0，故抛物线的方程是13210. (1)由题意c =5，设| PF, | + | PF2 |= 2a ( a a < 5),由余弦定理,2得 cos F1PF2 二西得2|PF|P即|卩即2-|证|22a2-10 1 |PF|PFd又 |PF1 | | PF2 匡(| PF1 | PF2 |)2=a2当且仅当 |PR |=|PF2 |时,|PR I |PF2 |取最大值，此时cosRPF?取

17、最小值2a2 -10-1，令2a2 -102a-11-，解得9a? = 9 , c = . 5 , b2=4,故所求P的轨迹方程为21.4(2)设 N(s,t) , M(x,y),则由DM二 DN，可得(x,y -3) = (s,t -3)，故 x = s, y =3，(t -3), M、N在动点P的轨迹上，故s2 .t2 =1 且(s)2 .(t 3)2 =1 ,9494消去s可得(，t一3')2 一厲24=一2，解得 t=1,13人 一 51又|t|乞2 , | 135往2，解得丄乞 <5 ,6扎51故实数'的取值范围是,5.520. 1曲线与方程 求曲线的方程1.

18、D .提示：注意：字母的取值范围.2. A .提示：建立坐标系设动点的坐标，求轨迹方程.3. A .提示：用参数法.设角为参数.334. y=2(x>8).提示：参数法求轨迹.8 2x2(y-3)5. =1 .提示：用定比分点及坐标转移法.4 22 2G)2(2)23 36. 根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点.根据双曲线的定义， 可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程.故所求轨迹方程为:2計(")7. 根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.t

19、i = (1, 0), c= (0, a),c+ 入 i =(入，a), i 2 入 c= (1, 2 入 a).因此，直线OP和AP的方程分别为y二ax和y _a二-2 ax.消去参数入，得点p(x, y)的坐标满足方程y(y - a) - -2a2x2.2整理得-18a 2(y -才22 1 a 2(丿2因为a 0,所以得:(i)当 a=2时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点2E和F;(ii) 当0时，方程表示椭圆，焦点E(1题意的两个定点；(iii) 当a 时，方程也表示椭圆，焦点 12 ' 2 为合乎题意的两个定点-,|)和f(-2，, 2一孑,_2)为合乎E(0，f(aa

20、2 -；)和 F(0g (a；)& (I)以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，贝U A (- 4, 0), B (4, 0)|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 2a=10,2c=8, a=5,c=422 P点轨迹为椭圆=1259(n) mx y 4m=0过椭圆右焦点y =m(x-4).2 2x_.y_，1259x亠4m (2 2工1259/ m 0)(25+ 9 丄m)y 2+72 y 81=0m|y 1 y2|=、_(yi y2)2 4%y2 =x25m2 9m21m2 m为直线斜率可令 m=tan 0 ,代入上式得：|y 1 y2|=90si n2。9cos225si

21、n2 二(/ sin 0 > 0)sinT90s in r9 16sin2 二9016sin =15,43 15当且仅当 sin 0 = ,|y 1 y?| max=-4 4 - (S aef)1. B 提示：用参数法.2. A .提示：求出双曲线方程及其离心率(含 k),再用离心率计算公式.3. B .点(x,y)到定点(一2, 2)的距离与到定直线 x y + 3=0的距离之比是一2.4. x2 y2+ 4x=0(xM 0).提示：利用平行四边形对角线互相平分求解.5. y=2x2 x+ 2.提示：用法结合韦达定理.6. 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设出点的坐标,2 2用二倍角的正切公式得到方程，化简得：y=0( 3 v x v 3)或3x y + 6x 9=07. 按题意有 A ( 2, 0), B (2, 0) , C (2, 4a), D ( 2, 4a)BE CFDC设k(0丄k亠1),BC CDDA由此有 E (2, 4ak), F (2 4k, 4a), G ( 2 , 4