曲线的凹凸性与拐点

1、1 / 4复习函数的单调性的定义，函数的极值。引入由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。讲解新课曲线的凹凸性与拐点1曲线的凹凸定义及判定法定义1如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的(如图(1) 所示)，如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的(如图(2) ).y = f( x)(i)(2)还可以通过二阶导数来描述Ox因为函数的二阶导数x是描述一阶导数的单调性的。从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随x的增大而增大，由导数的几何意义知f(X)随x的增大而增大，即函数的 一阶导数是单调增加

2、的，所以 (x);同样，如果曲线是凸的，切线的倾斜 角随x的增加而减少，就是f(x)随x的增大而减少，即函数的一阶导数是单调 减少的，所以f (x) < 0。反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹凸性的判定定 理。定理1设函数y = f(x)在a,b内连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内，f”(x)0,则曲线曲线y = f(x)在a,b上是凹的( 2) 若在（a,b）内,f （x） : 0 ,则曲线曲线y二f（x）在a,b上是凸的.例1判定曲线y =1 nx的凹凸性. 1 1 解：函数y = ln x的定义域为（0,：），且f （x） =, f （x） - -

3、2 .xx因为在（0, ：）上f （x）恒为负，所以曲线y = lnx在其定义域内是凸的.例2判定曲线丫=丄的凹凸性.x解：函数y二一的定义域为（：,0）（0, ：）,x2 且 y J2, y 二 3 .xx因为当 x : 0 时，y ” ： 0 ；当 x 0时 y ” 0 ,所以曲线在（-：,0）内是凸的，在（0,七）内是凹的，2曲线的拐点及其求法定义2把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点.定理2（拐点的必要条件）若函数y= f（x）在x处的二阶导数（X。）存在，且点（x0,f （x）为曲线y二f （x）的拐点，则f （x0H 0。如何来求曲线的拐点呢？由于拐点是曲线的凹凸部分的分界点，

4、所以拐点左右两侧近旁的f （x）必然异号，因此，曲线拐点横坐标 Xo只可能是使f （x） =0的点。女口科仝 中，点3 1（0，0）就是曲线y =x的拐点，但在y二中，虽然点x = 0的左右近旁f （x）x异号，但由于在点x =0处曲线不连续，故不能说点（0，0）是曲线y二丄的拐x点。函数二阶导数不存在的点，在曲线上相应的点也可能是拐点.如函数yX的二阶导数在x = 0处不存在，但点（0，0）却是曲线的拐点.综上所述，判定曲线y二f(x)的凹凸与拐点的一般方法为:(1) 确定函数f(x)的定义域(2) 求函数f (x)的二阶导数.(3) 求出满足f”(x)=O的所有点及二阶导数不存在的点.(4

5、) 以(3)中找出的所有点，把函数的定义域分成若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区间的符号，从而判定曲线在各部分区间的凹凸性与拐点.例4求函数y =3x4x3 1的凹凸区间和拐点.解：函数的定义域为，2且 y =12x3 -12x2， y =36x2 -24x =36x(x)，2令 y = 0，得 Xi = 0, X2 二一.3列表:x(-°°,0)02(0,3)232(-畑)(3'丿F y+0一0+y有拐点c有拐点2由表可知，当Xi =0,X2时，曲32 11线有拐点A(0,1)和B(2,11)，表中一表3 27示曲线是凹的，厂表示曲线是凸的.函数的图像如图(3)所示.练习1.判定下列曲线的凹凸性.24(1) y =4x -x , (2) y =x ，(3)小结 1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导 数符号与曲线形态特征相