解析几何与微分几何SECTION9

1、§9空间曲线9 / 6曲线的基本概念与公式曲线的方程与正向曲线的正向曲线方程的形式F(x,y,z)=O®(x,y,z) =0x= x(t) 参数式y = y(t)或y = y(s)z = z(t)z = z(s)(t为任意参数，s为曲线的弧长)矢量式r = r ( t )或r = r ( s )交面式丿X =x(s)t （或s）增加时，曲线上一点运动的 方向訓法绞图 7.18(r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t, s 同上)活动标架的三个单位矢量t为单位切线矢量， 方向与曲线的正向一致；n为单位主法线矢量，它指 向曲线的凹方；b为单

2、位副法线矢量，b=t n.t,n,b构 成右手系（图7.18）.这三个矢量称为曲线在点 M的 活动标架（或叫动标三面形、伴随三面形，也叫活动 标形）.活动标架所在直线和平面的方程设M为 （xo,yo,zo）（图 7.18）.1°切线 过曲线上两点N,M的直线NM，当 N-； M时的极限位置.其方程为参数式口0二口0二口0（以t为参数）XoyoZo. d x.式中xo表示一在点M（xo,yo,zo）处的值，等等.参数t可以取为弧长s，这时用冷表示X。，等等.d t矢量式r=ro+ r （以t为参数）d r式中ro表示一在点M（xo,yo,zo）处的值，为另一个参数.dt交面式X Xoy

3、 一 y。yoFzoFzFx勺AozoXo_ Z-ZoFxoFyoxoyo:F式中FXo表示在M点的值，等等.ex2°法面 与切线垂直的平面（通过 M的法面上一切直线都称为曲线在 M的法线）其 方程为参数式 Xo （x-xo）+ yo （y-yo）+ z （z-zo）=O （以 t 为参数）式中也可取弧长s为参数.矢量式(r- ro) r=0（以t为参数）交面式X - X。Fx0y - y° z - z°Fy°Fz0尬住zz0-0yo3°密切面通过曲线上三点在密切面上）.其方程为M,P,N作一平面，当N,P > M时，平面的极限位置（切线

4、参数式x - X0y - 丫0z - zX0y0Z0X0y0Z00=0 （以t为参数）d2 xt也可取为弧长s.式中X0表示今在M点的值，等等，参数dt2矢量式（r-r°）心心）=0 （以t为参数）4°主法线 法面与密切面的交线.其方程为参数式式中x -x°y。 z°m ny -y°z0 X°n I=Z _Z°X0y°lm（以t为参数）X0表示X x°X0'y -y°IFFy0=Z z0¥z0（以S为参数）d x荷在点M的值，等等.矢量式r=r 0+ 飞(r 0r°)

5、（以t为参数）y。Z0Z0X0X0y°,m=,n=y0Z0Z0X0X0y0r=r 0+ r（以s为参数）式中'为另一个参数.5°副法线垂直于密切面的直线.其方程为参数式（以t为参数）x - X0 _ y - y()_ z - z°lmn式中l,m,n如（1）式定义.矢量式r0=r°+'( r°r°)（以t为参数）6°从切面通过切线与副法线的平面.其方程为xX。yy°zZo参数式（以t为参数）（以s为参数）XoyoZo= 0lmnXo(x-xo) y°(y - y°) zo(z-Z

6、o) =0矢量式(r-r°) ro(r° r°)=O(以 t 为参数)(r -ro) ro(以s为参数)曲率与挠率的定义与公式公式与意义曲率曲率半径Vtd tMNdsk珂叫kk表示包含点M的部分曲线偏dbd s(a)离直线的程度，也是切线方向对于弧长的转动率挠率5MN挠率半径'表示包含点M的部分曲线偏离平 面曲线的程度八=o的曲线是平面曲 线卜|是曲线在点M挠率的绝对 值，它等于副法线方向对于弧长的 转动率挠率的符号：当点M沿曲线的正向移动时，矢量与n反向，ds则瓷取正号，反之取负号（图（b）表中t, b 分别表示t,b对s的导数.曲率与挠率的计算公式1&

7、#176;曲率参数式矢量式k=(x2 y2 z2)(x2 y2 z2) _(xx yy zz)2 (以 t 为参数)(x2 y2 z2)3k= x 2 y 2 z*2 2 2（以s为参数）k= 2 - 2r r -(rr)k= r2 r（以t为参数）（以s为参数）2°挠率的绝对值参数式y zxyzxyz2 2 2k (x+yFFxyFTPxyPFFTxy22 °（以t为参数）z2)3F z¥ z（以s为参数）xy- z矢量式(rrr)k2 r或(rrr)(r r )2（以t为参数）(rrr )（以s为参数）d b n=dsk2表示对t求导.式中s为弧长，t为任意参

8、数，“”表示对s求导， 雪列-弗莱纳公式（或基本公式）d t n dn tb d s " ds ?式中t,n,b为活动标架的三个基本单位矢量，'为曲率半径，为挠率半径这组公式的特点就 是基本矢量t,n,b关于弧长s的导数可以用t,n,b的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称 方阵：ol这组公式与ds=t合并起来描述了点m在曲线上移动时活动标架的运动规律把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕 动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为-t 亠 “b这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.

9、它仅分解为两个矢量- t和 - b,因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于t,按转动速度的定义, 它绕着方向为 t的轴转动；另一个绕着方向为 b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意 义：曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量最后，由二tb可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是d tds dn d s db d s这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义基本定理与自然方程在一闭区间as乞b上给定任意两个连续函数k(s)和(s),其中 k(s)>0，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s为弧长，可k(s)为曲率, '(

10、s)为挠率.方程组 k=k(s), - = ' (s)称为空间曲线的自然方程.螺旋线的方程与图形一般螺旋线与柱面母线的交角为定角()的空间曲线称为一般螺旋线(或定倾曲线)这种曲线具有性质：1°曲率与挠率的比等于常数(k= tan:).2°切线与一固定方向的交角为定角G ).3°主法线与一固定方向垂直.4°副法线与一固定方向的交角为定角 一- I.<2丿圆柱螺旋线一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等 速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线（图7.19）,其参数方程为Lx = a cos 6* y = a sin 9z = 士6 = ±aT cot P2n式中- t，为角速度，h称为螺距，称为螺旋角，式中对右螺 旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长 s为参数，其方程为图 7.19sx = a cos(a2 +b2s*y = asin .vab2bsz =± l=,la2 +b2曲率与挠率都是常数：k= ,半a2+b2a2+b2圆锥螺旋