《幻方问题中隐含的规律》教案

1、 幻方问题教案执教：杜羲传说公元前二千多年 ,在洛水里浮起一只大乌龟 ,它的背上有个奇特的图案 ,如图1 ,后来人们把它称之为洛书 ,实际上它是由九个数字排成一定的格式如图2 ,图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。许多人产生了这样的问题 ,图中的九个数字 ,有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格 ,是否也可以进行这样的填数游戏？   1、奇偶性规律：偶数是能被2整除的整数 ,如0、2、6、8等 ,奇数是指被2除余1的整数。奇偶数的加法具有以下性质：奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数+偶数2、数的整除规律：a

2、整除b ,且a整除c ,那么a整除b+c ,或a整除b-c。3、商和余数：整数a除以整数b时 ,商数是q ,余数是r ,必有等式a=b×q+r ,0r<b , 当r=0时 ,就说b整除a ,记为b|a。 如：30被7除余2 ,满足关系式30=7×4+2 ,又因为2<4 ,也可以说4除30余2。4、自然数分类：如果两个整数分别被a除 ,所得余数相同 ,那么我们说这两个整数对于a是同余的。如偶数对于2是同余的余数都为零 ,所有奇数对于2也是同余的 ,余数都是1。由同余 ,可以对整数进行分类 ,如整数可按3分成：被3除余0 ,被3除余1 ,被3除余2这三类 ,也可按4

3、分类 ,分成被4除余0 ,被4除余1 ,被4除余2 ,被4除余3这四类。5、自然数分拆：将一个自然数写成两个自然数的和 ,叫做自然数的二分拆 ,其中一个和的形式称为该自然数的一个分拆。如9写成2+7 ,4+5 ,1+8等就是对9的分拆 ,而2+7或4+5 ,1+8就是它的一个分拆。一个分拆的被加数和加数调换位置后得到的分拆视为同一个分拆 ,如2+7和7+2视为9的同一分拆。例1：将1-9这九个数 ,填入图3的方格内 ,使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。分析与解：假设图形中填入的数如图4所示 ,并设各边和对角线的三数之和为k ,那么解法的关键是找出中心数及各顶点的数。我们分三步来完

4、成：1求每行、每列三个数的和 ,即k值。2确定中心数 ,即b2=？3试填各顶点数及其它方格内数。a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+9=453k=45 k=15a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15 (a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=6045+3b2=60 3b2=15 b2=5试填a1 ,假设a1为奇 ,a1+c3=10 ,故C3为奇

5、 ,a2和a3也应同奇或同偶 ,假设a2、a3同奇 ,那么c2为奇 ,b3为奇 ,这样就出现了六个奇数 ,与1-9的自然数中只有5个奇数矛盾；假设a2和a3同偶 ,那么c2为偶 ,b3为偶 ,c1也为偶 ,这样共出现了五个偶数 ,与1-9的自然数中只有4个偶数矛盾 ,故a1不能为奇数 ,那么a1应填偶数 ,此时c1、a3、c3也只能取偶数 ,由于a1+c3=C1+a3=10 ,又2+8=4+6=10 ,故只需取a1=2 ,C3=8 ,a3=4 ,c1=6即可 ,其它各方格中的数须填a2=9 ,b2=3。C2=1 ,b1=7。如图5所示 ,这样就得到此题的一个解 ,假设取a1=4 ,c3=6 ,

6、a3=2 ,c1=8 ,须取a2=9 ,b3=7 ,b1=3 ,c2=1 ,根据对称轮换 ,答案是唯一的。说明：此题是引例中的问题 ,将1-9九个数 ,填入列3×3个方格内 ,使每行每列、每条对角线的和相等 ,这叫做三阶幻方 ,一般地 ,在n×n个方格内 ,填上n×n个连续自然数 ,并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等 ,那么称它为n阶幻方。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。例2：把1到6这六个数分别填在图7-a中三角形三条边上的六个圆圈内 ,使每条边上三个圆圈内的数的和都相等。分析与解：设填入顶点圆圈内的数分别为a、b、c ,其余三个圆圈内的数

7、分别是d、e、f。每条边上三个圆圈内数的和为k ,如图7-a。a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k又a+b+c+d+e+f=1+2+6=21(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k21+(a+b+c)=3k由上式可知：a+b+c最小时 ,k值也最小 ,a+b+c最大时 ,k值也最大 ,且k是整数 ,当a+b+c=1+2+3=6时 ,k=9 ,a+b+c=4+5+6=15时 ,k=12 ,所以k可取9、10、11、12四种情况。当k=9时 ,a+b+c=6 ,6只有一个三拆分 ,6=1+2+3 ,因此a=1 ,b=2 ,c=3

8、 ,其余三个圆圈内分别填4、5、6、 ,即e=4 ,f=5 ,d=6。这样就得到一个根本解如图8将这个解左、右旋转或适当调换后 ,可以得到其余的五个解。当k=10时 ,a+b+c=9 ,9有三种三拆分 ,9=1+2+6=1+3+5=2+3+4 ,当a、b、C为1 ,2 ,6时 ,以2、6为顶点的一边只能填2 ,如图9-a ,2重复了 ,故此解排除；当a、b、C为1、3、5时 ,其余边上的圆圈内约数填上2、4、6即可如图9-b；当a、b、c为2、3、4时 ,以3、4为顶点的一边只能填上3 ,如图9-c ,3重复了 ,故此解也排除。当k=11 ,12时 ,可仿照上面方法求出根本解。说明：这个数阵问

9、题中各条边是相互连接的 ,叫做封闭型数阵图。封闭型数阵图的解题突破口 ,是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数 ,采用的方法是建立有关的等式 ,通过以最小值到最大值的讨论 ,来确定每条边上的几个数之和 ,再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数 ,其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。例3、把1-9这九个数 ,分别填入圆10-a中 ,使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等。分析与解：由图10-a可知 ,计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数 ,因此确定中心数是解此题的关键。该中心数为 ,其余各数如图10-b所示 ,每条线段上的三数之和为k。+a1+a2=+b1+b2=+c1+c

10、2=+d1+d2=k(+a1+a2)+(+b1+b2)+(+c1+c2)+(+d1+d2)=4k (a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+)+3=4k又a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+=1+2+9=45 45+3=4k观察上式 ,k是整数 ,即45+3被4整除 ,而45+3÷4=45÷4+3÷4 ,45除以4的余数为1 ,那么3除以4的余数应为3 ,当=1、5、9时 ,3÷4的余数为3。当=1时 ,k=45+3×1÷4=12 ,12拆分成含有一个1的三个自然数的和有以下四种形式：12=1+2+9=1+3+8=

11、1+4+7=1+5+6这样就得到一个解如图11-a。当=5、9时 ,仿照上面方法可得到相应的解 ,如图11-b ,图11-c所示。说明：此题中的数阵图 ,称为辐射型数阵图 ,解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式 ,通过整除性的讨论 ,确定出中心数的取值 ,然后求出各边上数的和 ,最后将和自然数分拆成中心数的假设干个自然数之和 ,确定边上其他的数。例4、 ,如图12-a中 ,以为顶点 ,有四个小的等腰三角形和三个大的等腰三解形 ,将1-9这九个数 ,填入内 ,使每个三角形的三个顶点的数字之和相等。分析与解：设应填入的数如图12-b所示 ,观察可知 ,在计算每个小三角形和大

12、三角形各顶点数字和时 ,最中间的小三角形三个顶点分别用了三次 ,其中各顶点用了二次 ,设每个三角形的三个顶点数的和为k ,即：a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=ka+g+d=k,b+e+h=k,c+f+I=k(a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k即：a+b+c+d+e+f+g+h+i+(c+e+g)=7ka+b+c+d+e+f+g+h+I=3k又a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+9=45 3k=45k=15在1-9这九个数中 ,15的三拆分有以下几种情况：15=1+9+5=1+8+

13、6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6 ,在这些拆分中 ,2、4、5、6、8、出现过三次 ,其它数字出现过两次 ,所以C=2 ,e=8 ,g=5或c=6 ,e=4 ,g=5 ,再将其它数填入 ,这样就得到此题的两个解如图13-a ,图13-b所示说明：此题中的数阵图为复合型数阵图 ,解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。及时练习：1、用九个连续自然数构造一个三阶幻方 ,使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60。2、将1-9这九个自然数分别填入如图14的九个内 ,使三角形每边上的四数之和都等于19 ,且有一个顶点的数字为1。3、将1-7这七个数字填写到如图

14、15的小圆圈中 ,使每条直径上的三个数字之和都为10。4、把1-10这十个数分别填在如图16的五边形边上的十个圆圈内 ,使每条边上的三个圆圈内的数的和尽可能最小。5、把1-9这九个数分别填入如图17的大三角形中的九个小三角形内每个小三角形只填一个数 ,要求靠近大三角形三条边的每五个数相加的和相等 ,问怎样填才能使五个数的和尽可能地大一些 ,这五个数的和的最大值是多少？ 答案：1、解：先用1-9这九个自然数构造一个三阶幻方如图18-a ,这个三阶幻方的每行 ,每列之和为15 ,题目要求和为60 ,只需将每个数都加上15即可如图18-b2、设三个顶点数字之和为m ,每边三个数之和为k ,由于顶点的

15、数属于两边公有 ,所以将三条边的数字和加在一起 ,等于将1-9加了一遍 ,同时将三个顶点数多加了一遍 ,因为1-9九个自然数的和为45 ,故m+45=3k , ,由题目可知k=19 ,m=12 ,将12三拆分且含有1的结果是12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6 ,排除1、2、9 ,1、3、8 ,1、5、6 ,填入1、4、7。再填入其它各数。即得解如图19 3、解：设每条直径的三个数字之和为k ,将所有直径的数字相加 ,中心数加了三次 ,其它各数加了一次 ,设中心数为 ,那么 (1+2+7)+2=3k28+2=3k由题目可知k=10 ,那么=1 ,再填出其它各数。如图20所示。4、解：设各顶点数之和为m ,五边形每条边上的数字和为k ,将五条边的所有数字相加时 ,各顶点数加了两次 ,其余各数加了一次 ,那么1+2+3+10+m=5k55+m=5k当m=1+2+3+4+5=15时 ,k值最小 ,