高三数学课件：第六章 第七节 数学归纳法

1、第七节 数学归纳法数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的命题，可按以下步骤有关的命题，可按以下步骤: :(1)(1)(归纳奠基归纳奠基) ) 证明当证明当n n取取_(n_(n0 0NN+ +) )时命题成立时命题成立; ;(2)(2)(归纳递推归纳递推) ) 假设假设n=k(knn=k(kn0 0,kN,kN+ +) )时命题成立，证明当时命题成立，证明当_时命题也成立时命题也成立. .只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n n0 0开始的所有正开始的所有正整数整数n n都成立都成立. .第一个值第一个值n n0 0n=k+1

2、n=k+1【即时应用即时应用】判断下列各说法是否正确判断下列各说法是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”“”或或“”)”)(1)(1)用数学归纳法验证第一个值用数学归纳法验证第一个值n n0 0, ,则则n n0 0必定为必定为1. ( )1. ( )(2)(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( ). ( )(3)(3)应用数学归纳法证明凸应用数学归纳法证明凸n n边形的对角线为边形的对角线为 n(n-3)n(n-3)条时，第条时，第一步是检验一步是检验n n等于等于3. ( )3. ( )(4)(4)用数学归纳法证明用数学归纳法证明“1+2+2

3、1+2+22 2+2+2n+2n+2=2=2n+3n+3-1”-1”时，验证时，验证n=1n=1时时, ,左边式子应为左边式子应为1+2+21+2+22 2. ( ). ( )12【解析解析】(1)(1)错误错误. .有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是不是1 1，可能为，可能为2 2，3 3，4 4等等. .(2)(2)正确正确. .数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推第二步是归纳递推. .(3)(3)正确正确. .第一步检验第一步检验n=3,n=3,即三角形的对角线条数为

4、即三角形的对角线条数为0.0.(4)(4)错误错误. .验证验证n=1n=1时，左边式子应为时，左边式子应为1+2+21+2+22 2+2+23 3. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (4) (2) (3) (4) 热点考向热点考向 1 1 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式【方法点睛方法点睛】用数学归纳法证明等式的规则用数学归纳法证明等式的规则(1)(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据推依据.

5、 .(2)(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值并注意初始值n n0 0是多少是多少, ,同时第二步由同时第二步由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时要充分利用时要充分利用假设，不利用假设，不利用n=kn=k时的假设去证明，就不是数学归纳法时的假设去证明，就不是数学归纳法. . 【例例1 1】是否存在常数是否存在常数a,b,ca,b,c，使得等式，使得等式(n(n2 2-1-12 2)+2(n)+2(n2 2- -2 22 2)+n(n)+n(n2 2-n-n2 2)=an)=an4 4+bn+bn2 2+c

6、+c对一切正整数对一切正整数n n都成立？若存在，都成立？若存在，求出求出a,b,ca,b,c的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由. .【解题指南解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得存在，利用特值求得a a、b b、c c的值，而后用数学归纳法证明的值，而后用数学归纳法证明. .【规范解答规范解答】假设存在假设存在a a、b b、c c使得所给等式成立使得所给等式成立. .令令n=1,2,3n=1,2,3代入等式得代入等式得 解得解得以下用数学归纳法证明等式以下用数学归纳法证明等式(n(n2 2-1-12 2)

7、+2(n)+2(n2 2-2-22 2)+n(n)+n(n2 2-n-n2 2) ) 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立. .(1)(1)当当n=1n=1时，由以上可知等式成立时，由以上可知等式成立; ; abc016a4bc3 ,81a9bc181a41b.4c0 4211nn44(2)(2)假设当假设当n=kn=k时，等式成立，即时，等式成立，即(k(k2 2-1-12 2)+2(k)+2(k2 2-2-22 2)+k(k)+k(k2 2-k-k2 2) ) 则当则当n=k+1n=k+1时，时，(k+1)(k+1)2 2-1-12 2+2+2(k+1)(k+1)2 2-2-22 2

8、+k+k(k+1)(k+1)2 2-k-k2 2+(k+1)+(k+1)(k+1)(k+1)2 2-(k+1)-(k+1)2 2=(k=(k2 2-1-12 2)+2(k)+2(k2 2-2-22 2)+k(k)+k(k2 2-k-k2 2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)由由(1)(1)、(2)(2)知，等式对一切正整数知，等式对一切正整数n n都成立都成立. .4211kk ,444242k k111kk(2k1)44211k1k1.44【反思反思感悟感悟】1.1.对于开放式的与对于开放式的与n n有关的等式证明问题，一般有关的等

9、式证明问题，一般是先假设结论成立，利用是先假设结论成立，利用n n的前几个取值求参数，而后用数学归的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明纳法证明. .2.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假归纳假设设”已经成了已知条件，已经成了已知条件，“n=k+1n=k+1时结论正确时结论正确”则是求证的目标，则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳

10、假设后的式子进行变形、证明归纳假设后的式子进行变形、证明. .【变式训练变式训练】已知已知nNnN+ +，证明：，证明：【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边= =右边右边= = ，等式成立，等式成立; ;(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN+ +) )时等式成立，即有时等式成立，即有: :那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，左边左边= =111111111.2342n12nn1n22n 11122，12111111111,2342k12kk1k22k 111111112342k12k2 k112(k1) = =右边右边, ,所以当所以当n=k+1n=k+1时

11、等式也成立时等式也成立. .综合综合(1)(1)、(2)(2)知对一切知对一切nNnN+ +，等式都成立，等式都成立. .11111()k1k22k2k12(k1)111111k2k32k2k1k12 k11111k11k12k1kk1(k1) 热点考向热点考向 2 2 用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)(1)当遇到与正整数当遇到与正整数n n有关的不等式证明时，应用其他办法不容有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法易证，则可考虑应用数学归纳法. .(2

12、)(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由n=kn=k成立，推证成立，推证n=k+1n=k+1时时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差差( (求商求商) )比较法、放缩法等证明比较法、放缩法等证明. . 【例例2 2】(2012(2012大纲版全国卷大纲版全国卷) )函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-3,-2x-3,定义数列定义数列xxn n 如下如下:x:x1 1=2,x=2,xn+1n+1是过两点是过两点P(4,5)P(4,5)、Q Qn n(x(xn n,f(x,f(xn

13、n)的直线的直线PQPQn n与与x x轴轴交点的横坐标交点的横坐标. .(1)(1)证明证明:2x:2xn nxxn+1n+13;3;(2)(2)求数列求数列xxn n 的通项公式的通项公式. .【规范解答规范解答】(1)(1)用数学归纳法证明用数学归纳法证明2x2xn nxxn+1n+13.3.当当n=1n=1时时,x,x1 1=2,=2,直线直线PQPQ1 1的方程为的方程为令令y=0,y=0,解得解得x x2 2= = 所以所以2x2x1 1xx2 23.3. f 25y5x424，114，假设假设n=kn=k时，结论成立，即时，结论成立，即2x2xk kx xk+1k+13,3,直线

14、直线PQPQk+1k+1的方程为的方程为令令y=0y=0，解得，解得x xk+2k+2= =由归纳假设知，由归纳假设知，x xk+2k+2= =k 1k 1f x5y5x4x4，k 1k 134x.2xk 1k 134x2xk 1k 1k 1k 2k 1k 155443,2x233x1xxx0.2x即即x xk+2k+2x xk+1k+1. .所以所以2x2xk+1k+1x xk+2k+23 3，即当即当n=k+1n=k+1时，结论成立时，结论成立. .由知，对于任意的正整数由知，对于任意的正整数n,2xn,2xn nx xn+1n+13 3成立成立. .(2)(2)由由(1)(1)及及x x

15、n+1n+1= =设设b bn n=x=xn n-3-3，则，则数列数列 是首项为是首项为 公比为公比为5 5的等比数列的等比数列. .所以所以即数列即数列xxn n 的通项公式为的通项公式为nn34x.2xn 1nn 1n15111115()bbb4b4，n11b434 ，n 1n1135b44 ，nn 14x3.3 51【变式训练变式训练】证明不等式证明不等式【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1,=1,右边右边=2=2，不等式成立，不等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN+ +) )时，不等式成立，即时，不等式成立，即那么当那么当n=k+1n

16、=k+1时，时，11112nnN.23n 11112k.23k 1111112k.23kk1k1 方法一方法一: :分析法分析法要证要证因为因为0 01 1显然成立显然成立, ,所以所以212k2k1,k12kk112 k1 ,2kk12k14k k12k101只 需 证12k2k1.k1方法二：综合法方法二：综合法( (放缩法放缩法) )122k2kk1k1k122kk1k2k1k2kk1k(k1k )2k2k1k2k1,12k2k1.k1方法三方法三: :综合法综合法( (基本不等式法基本不等式法) )这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时，不等式也成立时，不等式也成立. .由由(

17、1)(1)、(2)(2)可知，原不等式对任意正整数可知，原不等式对任意正整数n n都成立都成立. .2212kk112kk1k1kk11k12 k12k1,k112k2k1,k1111112k1.23kk1 归纳归纳猜想猜想证明类问题证明类问题【方法点睛方法点睛】归纳归纳猜想猜想证明类问题的解题步骤证明类问题的解题步骤(1)(1)利用数学归纳法可以探索与正整数利用数学归纳法可以探索与正整数n n有关的未知问题、存在有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是性问题，其基本模式是“归纳归纳猜想猜想证明证明”，即先由合情推，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性理发现结论，然

18、后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. .(2)“(2)“归纳归纳猜想猜想证明证明”的基本步骤是的基本步骤是“试验试验归纳归纳猜猜想想证明证明”. .高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题. . 【例例】(2012(2012南京模拟南京模拟) )已知数列已知数列aan n 满足满足S Sn n+a+an n=2n+1.=2n+1.(1)(1)写出写出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,并推测并推测a an n的表达式；的表达式；(2)(2)用数学归纳法证明所得的结论用数学归纳法证明所得的结论. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用S Sn

19、 n=a=a1 1+a+a2 2+a+an n, ,且且S Sn n+a+an n=2n+1,=2n+1,代入代入n=1,2,3n=1,2,3得得a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，从而猜想，从而猜想a an n. .(2)(2)应用数学归纳法证明时，要利用应用数学归纳法证明时，要利用n=kn=k的假设去推证的假设去推证n=k+1n=k+1时成时成立立. .【规范解答规范解答】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3分别代入可得分别代入可得(2)(2)由由(1)(1)得得n=1n=1时，命题成立；时，命题成立；假设假设n=kn=k时，命题成立，即时，命题成立，即那么当那么当n=k+1

20、n=k+1时，时，a a1 1+a+a2 2+a+ak k+a+ak+1k+1+a+ak+1k+1=2(k+1)+1,=2(k+1)+1,123nn37151a,a,a,a2.2482猜 想kk1a2,2且且a a1 1+a+a2 2+a+ak k=2k+1-a=2k+1-ak k, ,2k+1-a2k+1-ak k+2a+2ak+1k+1=2(k+1)+1=2k+3,=2(k+1)+1=2k+3,2a2ak+1k+1=2+2- ,a=2+2- ,ak+1k+1=2- ,=2- ,即当即当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立. .根据、得根据、得, ,对一切对一切nNnN+ +,a

21、,an n= = 都成立都成立. .k12k112n122【互动探究互动探究】若本例中若本例中S Sn n+a+an n=2n+1=2n+1变为变为S Sn n+a+an n=2n=2n，其余不变，又，其余不变，又将如何求解将如何求解? ?【解析解析】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3分别代入已知可得分别代入已知可得猜想猜想(2)(2)当当n=1n=1时，时，a a1 1=1,=1,猜想显然成立猜想显然成立; ;假设当假设当n=k(k1n=k(k1且且kNkN+ +) )时，猜想成立时，猜想成立, ,12337a1,a,a.24nnn 121a.2即即那么那么, ,当当n=k+1n=

22、k+1时，时，当当n=k+1n=k+1时猜想也成立时猜想也成立. .综合、知，当综合、知，当nNnN+ +时猜想成立时猜想成立. .kkk12kkk 121a,Saaa2ka ,2 k 1k 1kk 1kaSS2 k1a2ka,kk1k 1kk1k2122a212a,222【反思反思感悟感悟】“归纳归纳猜想猜想证明证明”是不完全归纳法与数学是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求a an n,S,Sn n时更是应用时更是应用频繁

23、频繁. .【变式备选变式备选】数列数列aan n 中，中，a a1 1=1, (n2)=1, (n2)，求求a a3 3,a,a4 4, ,猜想猜想a an n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想. .【解析解析】因为因为a a1 1=1=1， (n2)(n2)，所以所以 同理可求得同理可求得a a4 4= ,= ,归纳猜想，归纳猜想， 下面用数学归纳法证明猜想正确下面用数学归纳法证明猜想正确. .(1)(1)当当n=1n=1时，易知猜想正确时，易知猜想正确. .n2n1nn1 a1a,a4na且n2n1nn1 a1a,a4na且2321a14a12a724

24、，110n1a.3n2(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN+ +) )时，猜想正确，即时，猜想正确，即那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，即当即当n=k+1n=k+1时，猜想也正确时，猜想也正确. .由由(1)(1)、(2)(2)可知，猜想对任意正整数都正确可知，猜想对任意正整数都正确. . k1a,3k2kk122k1k1(k1)k1 ak13k23k2a13k2k1ka3k2k1k3k23k2k111.3k1 (k1)3k13 k121.(20121.(2012南阳模拟南阳模拟) )用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=1+2+3+(n+3)= (nN (nN+ +) )时，第一步验证时，第一步验证n=1n=1时，左边应取的项是时，左边应取的项是 ( )( )(A)1 (B)1+2(A)1 (B)1+2(C)1+2+3 (D)1+2+3+4(C)1+2+3 (D)1+2+3+4【解析解析】选选D.D