第一章第六节极限运算法则ppt课件

1、第六节第六节 极限运算法则极限运算法则 一、极限运算法则一、极限运算法则 二、求极限方法举例二、求极限方法举例 三、小结三、小结 思考题思考题一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则定理定理则则设设,)(lim,)(limBxgAxf BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)1(BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2(则则若若, 0)3( BBAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则定理定理则则设设,)(lim,)(limBxgAxf BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)

2、1(BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2(证明：仅证明结论证明：仅证明结论3），并考虑极限过程为），并考虑极限过程为由极限与无穷小的关系，要证明由极限与无穷小的关系，要证明 BAxgxf)()(0lim0 xx其其中中 BAxgxf)()(或或0 xx 则则若若, 0)3( BBAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(limBAxgxf )()(BABA )( BBAB,)( BBAB令令,)(lim0Axfxx ,)( Axf0lim0 xx其其中中,)( Bxg,)(lim0Bxgxx 又又0lim0 xx其其中中0)(limlim00 BBABxxxx只要

3、证明只要证明0)(lim0 ABxx有界即可有界即可仅需证明仅需证明)(1 BB证明：仅证明结论证明：仅证明结论3），并考虑极限过程为），并考虑极限过程为由极限与无穷小的关系，要证明由极限与无穷小的关系，要证明 BAxgxf)()(0lim0 xx其其中中 BAxgxf)()(或或0 xx ,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界。有界。, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 ,2| B 对对于于BAxgxf )()(BABA )( BBAB,)( BBAB令令0)(limlim00 BBABxxxx只要证明只要证明0)(lim0 ABxx有界即可

4、有界即可仅需证明仅需证明)(1 BB定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1则则为为常常数数而而存存在在如如果果,)(limcxf常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果,)(limnxf推论推论2 2).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(limnnxfxf 定理定理,)(lim,)(lim),()(bxaxxx 而而如如果果说明：说明： （1上述关于函数极限的四则运算法则上述关

5、于函数极限的四则运算法则对数列极限同样成立对数列极限同样成立.ba 则则有有证明：令证明：令)()()(xxxf , 0)( xf则则由极限的保号性有由极限的保号性有, 0)(lim xf而由极限的四则运算性质有而由极限的四则运算性质有)(limxf)()(limxx )(lim)(limxx ba ., 0baba （2上述运算法则可推广到多个函数的情形上述运算法则可推广到多个函数的情形.二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx5232

6、2 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110000limlim)(limnnnaxaxa 10100).(0 xf nnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00即当即当 f (x) 是一个关于是一个关于 x 的多项式时，有的多项式时，有)()(lim00 xfxfxx 其其中中设设,)()()(. 2xQxPxf )(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0

7、xf , 0)(0 xQ若若nnnaxaxaxP 110)(mmmbxbxbxQ 110)(0)(0 xQ且且则有则有注意：注意：则上述商的运算法则不能用则上述商的运算法则不能用.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先

8、约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 无穷小分出法无穷小分出法: :以分子和分母中自变量的最高次以分子和分母中自变量的最高次幂除分子幂除分子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再

9、求极限然后再求极限. .小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.解解,1,为为无无穷穷小小时时当当xx .sin是有界函数是有界函数而而x例例.sinlimxxx 求求. 0sinlim xxxxxysin xxxsinlim x

10、xxxsinlim1lim 0sinlim0 xx 不不存存在在因因为为xxsinlim 正解正解:, 01lim xx例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故)(xu 运算法则）设函数运算法则）设函数定理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim

11、0 xaxx 意义：意义：，即即时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当axaxxxx )(lim00 ，又又的的某某去去心心邻邻域域内内但但在在点点Aufaxxau )(lim)(0 ，时时的的极极限限也也存存在在当当则则复复合合函函数数0)(xxxf .)(lim)(lim0Aufxfauxx 且且例例7 7.11sinlim20 xxxx求求解解, 11sin)(,)(2 xxxxguuuf令令)11sin(lim)(lim200 xxxxgxx由由于于1 11sinlimlim020 xxxxx11sinlim20 xxxx所所以以uu1lim 11 复合函数极限运算法则的其它几种形式

12、：复合函数极限运算法则的其它几种形式：设设 y = f (u) , u = g(x)，,)(lim)1(0 xgxx若若则则而而,)(limAufu Aufxgfuxx )(lim)(lim0,)(lim)2( xgx若若则则而而,)(limAufu Aufxgfux )(lim)(lim三、小结三、小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题1 在某个过程中，假设在某个过程中，假设 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()