基于奇异值分解的MVDR谱估计

1、现代信号处理学 号：小 组 组 长：小 组 成 员及分工：任 课 教 师：教师所在学院： 信息工程学院2015年 11月论文题目基于奇异值分解的MVDR方法及其在信号频率估计领域的应用摘要：本文主要是介绍和验证MVDR的算法，此算法应用于信号频率估计的领域中。我们通过使用经典的MVDR算法验证算法的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了改进，在验证这种改进思想的方法可行性时，我们发现基于这种奇异值分解的MVDR方法在信号频率估计上具有提高检测精度的特性，这也说明了这种思想在应用信号频率估计时是可行的。关键词：MVDR算法 奇异值分解信号频率估计论文题目（English）MVD

2、R method based on singular value decomposition and itsapplication in signal frequency estimationAbstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of th

3、e algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in s

4、ignal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation.Key words: MVDR method Singular value decompositionestimationSignal frequency引言基于奇异值分解的特征提取算法在信号与图像处理等方面有着广泛的应用，国内外很多学者也对此进行了大量的研究。奇异值分解在小波图像边缘检测中的应用，使得离散小波变换的全局尺度选择更加容易。研究表明，奇异值分解具

5、有理想的去相关特性，基于奇异值分解的信号分析方法可以对信号进行重构，较好的从背景噪声中分离出有用信号的特征信息1。研究表明，基于奇异值分解的信号特征提取方法的关键在于奇异值特征阶数的选择，如何有效的选取特征值仍是一个有待研究的问题。在许多领域, 所研究的信号通常被认为是具有各态历经性的平稳随机信号, 很难用确定的数学关系式去描述。随机信号的功率谱能反映信号的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节律, 是非确定性信号的重要特征。因此, 可采用给定的N 个样本数据对相应平稳随机信号的功率谱密度进行估计,即功率谱估计(Power spectrum estimation)。近年来, 基

6、于特征分解功率谱估计方法已经在通信、雷达、导航、声纳、地震、射电天文和生物医学工程等科技领域中得到广泛应用。MVDR (minimum variance distortion response)是J.Capon于1969年研究地震波的空间谱时提出的也称为Capon谱。1971，Lacoss将该方法应用于单一时间序列谱估计, 并证明了该方法得出的估计是谱分量的最小方差无偏估计, 其思想是将正弦过程看成是频率未知的确定信号, 使该信号通过一个FIR系统,而噪声被尽量抑制, 该方法在自动语音识别(ASR)等领域已经得到广泛应用2。1997 年ManoharN.Murthi和BhaskerD.Rao

7、首次将其应用到语音信号的谱包络估计中, 解决了LP谱对基音周期较高的浊音信号的频谱估计不准的问题。和LP谱及FFT能量谱相比, MVDR谱具有更小的方差, 并且在保留语义信息的同时对说话人信息有一定的抑制作用, 这一特点令基于MVDR谱的MFCC（美尔频率倒谱系数）参数比传统的MFCC参数更加适合于关键词检出。（基于最小方差无失真响应谱的语音特征提取）由于奇异值分解的特征提取方法应用的领域越来越广阔，本文提出了一种将奇异值分解的思想应用到MVDR信号频率谱估计的算法，这种基于奇异值分解的MVDR算法与经典的MVDR算法相比较，具有明显提高精度的优点。在与经典的算法对比中，我们将观测矩阵进行了修

8、改，从而将谱估计的推导公式也进行了改变。通过实验仿真和验证，可以证明我们的这种方法是具有可行性的。第一章 相关知识及算法流程1.1名词解释MVDR的信号频率谱估计算法的英文全称是Minimum Variance Distortionless Response，中文全称是最小方差无失真响应，通常应用于信号频率估计。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。1.2奇异值分解的知识介绍1.2.1酉矩阵的定义定义：设ACnn，若A满足A

9、HA=AAH=I，则称矩阵A为酉矩阵。1.2.2奇异值的定义定义：设ACnn，且rankA=r(>0)。又设AHA的特征值为12 >=rr+1则称i=i=1,2, ,n)为A的奇异值。 式2-1=n01.2.3矩阵的奇异值分解定理r(>0)，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，定理：设ACnn，且rankA=使得UAV= H0， 式2-200其中=diag(1,2, ,r).而i(i=1,2, ,r)为A的正奇异值。将式2-2改写为0H A=U V， 式2-3 00则称式2-3为矩阵A的奇异值分解。1.2.4矩阵的奇异值分解定理的证明证：记AHA的特征值如式2-1所示，由于AH

10、A是Hermite矩阵，所以存在n阶酉矩阵V，使得2VAAV=diag(1,2, ,n)= 0HH0. 式2-4 0将V分块为V=(V1V2) (V1Cnr,V2Cn(n-r)， 式2-5 将式2-5带入式2-4中，可得V1HAHAV1=2, V2HAHAV2=0， 式2-6 于是进一步进行化简可得-1V1HAHAV1-1=Ir, AV2=0。 式2-7 记U1=AV1-1,由上式知U1HU1=Ir，即U1的r个列向量是两两正交的单位向量，取U2Cm(m-r)，使得U=(U1U2)为m阶酉矩阵，即有HHU2U1=0, U2U2=Im-r，则有U1HAV1U1HAV2U1HU100 UAV= H

11、 式2-8 = H= 。H00U2AV1U1AV2U2U10H至此，也就证明出一个任意的n阶方阵一定会有其对应的奇异值分解。1.3 MVDR谱估计知识介绍1.3.1 MVDR谱估计方法中常用到的标量函数关于向量的梯度公式H(cw)=0*w J(w)=2*(wHc)=2c 式2-9 wJ(w)=2*(wHRw)=2RwwJ(w)=21.3.2 MVDR滤波器原理考虑有M个权系数（抽头）的横向滤波器（transversal filter）(或称FIR滤波器)，如下图2-1所示。滤波器的输入为随机过程x(n)，输出为* y(n)=wx(-n )i 式2-10 ii=0M-1其中，wi表示横向滤波器的

12、权系数。定义输入信号向量和权向量分别为x(n)=x(n)x(n-1) x(n-M+1)Tw=w0则输出可表示为 w1 wM-1Ty(n)=wHx(n)=xT(n)w* 式2-11 信号y(n)的平均功率可以表示为P=E|y(n)|2=EwHx(n)xH(n)w=wHRw 式2-12 其中，矩阵RCMM为向量x(n)的M维自相关矩阵，即r(1)r(0)r(-1)r(0)H R=Ex(n)x(n)= r(1-M)r(2-M) r(M-1) r(M-2) 式2-13 r(0)图2-1 M抽头的FIR滤波器假设滤波器输入信号x(n)是复正弦信号加白噪声，为x(n)=ekk=1Kjwkn+v(n) 式2

13、-14其中，v(n)是加性白噪声，k和wk分别是第k个信号复幅度和角频率。复幅度k=|k|ej包含了正弦信号的振幅|k|和初始相位k。 k设感兴趣的期望信号是角频率为w1的复正弦信号，则选择滤波器权向量w应该遵循的原则是，使复正弦信号ejw1n无失真地通过滤波器，而尽量抑制其余频率的信号和噪声。设信号1ejw1n通过滤波器的响应为y1(n)，则y1(n)应为-jw1(M-1)*-jw1*y1(n)=1ejw1nw0+1ejw1nw1e+ +1ejw1nwMe-1 =1ejw1n(w+e*0-jw1w+ +e*1jw1(M-1)w*M-1) 式2-15定义向量a(w1)=1e-jw1 e-jw1

14、(M-1)T 式2-16 则y1(n)=wHa(w1)1ejw1n 式2-17 所以，当权向量满足wHa(w1)=1时，可使复正弦信号1ejw1n无失真地通过滤波器。同时考虑到要使其他复正弦信号和噪声尽量被抑制，滤波器权向量w应满足：（1）约束wHa(w1)=1，这是为了使1ejw1n无失真地通过滤波器。 （2）输出平均功率P=wHRw最小，达到抑制其他频率信号和噪声的目的。 在上面的讨论中，假定了感兴趣的期望信号频率为w1。考虑更一般的情况，设期望无失真通过系统的信号频率为w，且令a(w)=1e-jw e-jw(M-1)T，此时，滤波器权向量w应满足minwRw, st. wa(w)=1 式

15、2-18 wHH这是一个条件极值问题，应用拉格朗日乘子法，构造代价函数为J(w)=wHRw+(1-wHa(w) 式2-19 求梯度并令梯度J(w)=0，根据梯度的预备知识式2-9，可得J(w)=2Rw-2a(w)=0 式2-20 考虑到相关矩阵R是非奇异的，所以有w=R-1a(w) 式2-21 将上式代入到约束条件wHa(w)=1中，并考虑R的共轭对称性，可解得=1 式2-22 H-1a(w)Ra(w)于是，满足式2-18的最优权向量为wMVDRR-1a(w) 式2-23 =H-1a(w)Ra(w)此时，将式2-23代入式2-12，得滤波器的最小输出功率为PMVDR(w)=P(w)=1 式2-

16、24 H-1a(w)Ra(w)注意，aH(w)R-1a(w)是正实数。在上面的推导中，假设可以得到理想的信号相关矩阵R，而在工程实际中，。因此，用通常采用N个观测样本值x(0),x(1), ,x(N-1)得到相关矩阵的估计R替换R，则最优权向量的估计可以表示为 RMVDR w而MVDR谱估计为 -1a(w)R 式2-25 =H-1a(w)Ra(w)1 式2-26 H-1a(w)Ra(w) PMVDR(w)=在-内改变w，画出P,2, ,K)处，信号和MVDR(w)曲线。在wwl(l=1噪声都被滤波器抑制，曲线会出现很低的幅度；而当w=wl时，频率为w=wl的信号可以无失真地通过，因此曲线呈现出

17、一个波峰。在上面MVDR信号频率估计方法的推导中，为了叙述方便，引入了图2-1的滤波器结构，在实际进行信号频率估计时，无需构建滤波器，而直接计算式2-26就可以了。1.3.3MVDR信号频率估计算法流程MVDR信号频率估计算法的操作步骤如下： 。步骤一：由x(n)的N个观测样本x(0),x(1), ,x(N-1)估计样本相关矩阵R1 步骤二：在-,内改变w，画出P的曲线P=MVDR(w)MVDR(w)，H-1a(w)Ra(w)峰值位置对应的w就是信号角频率的相对强度。基于奇异值分解的MVDR信号频率估计算法的操作步骤如下： 步骤一：由观测信号x(n)构建观测矩阵A，其中观测矩阵并值得说明的是该

18、矩阵中的每一个元素均为一AH=u(m)u(m+1) u(N)，个M维的列向量。步骤二：对观测矩阵AH进行奇异值分解，得到对应的左奇异向量U、奇异步骤三：在-,内改变w，并计算出PMVDR(w)=值矩阵S及右奇异向量V。 1中对应需求H-1a(w)a(w)的数值，从而绘制出基于奇异值分解的MVDR信号频率估计算法的曲线。第二章 数据结果展示及分析2.1 课题题目概述及要求假设观测信号为x(n)=Akexp(j2fkn+jk)+v(n) 3k=12v其中，v(n)为零均值、方差=1的高斯白噪声，归一化频率分别是f1=0.1,f2=0.25和f3=0.27，k是相互独立并服从02均匀分布的随机相位。

19、3个复正弦信号的信噪比分别为SNR1=30dB,SNR2=30dB和SNR3=27dB。假设信号样本数为1000，FIR滤波器的抽头个数为4。请使用基于奇异值分解的MVDR方法进行信号频率估计的仿真实验，获得功率谱密度函数的估计。2.2程序流程图图3.1 基于奇异值分解的MVDR算法程序流程图2.3基于课题的研究仿真及结果通过选取滤波器权系数个数M，在w=2f,f-0.50.5内均匀选取2048个频率点，用MVDR频率估计算法和基于奇异值分解的MVDR方法画出估计的MVDR功率谱。（a）M=4时MVDR谱（b）M=4时svd的MVDR谱图3.2 抽头系数为4时，两种算法的信号频率估计图当我们按

20、照测试函数题目中的要求选取M=4时，两种方法画出的MVDR谱如图3.2所示。可以看出，两种方法的MVDR信号的频率估计分辨率效果很类似，只能够检测分辨出两个波峰。而从测试函数中对比，我们知道这样的分辨率是不符合要求的，理论数据中包含有三个正弦波，检测却只有两个。（a）M=10时MVDR谱（b）M=10时svd的MVDR谱图3.3抽头系数为10时，两种算法的信号频率估计图从第一组图样结果不合理的结论中，我们对滤波器的权向量阶数进行修改。 这组图样我们是采用改变滤波器的权向量阶数进行仿真得到的，阶数取值的依据有两个要求：1、基于奇异值的MVDR算法能够检测出3个正弦信号时的最小滤波器权向量阶数。2

21、、采用同阶数的滤波器，比较两种算法的检测效果。当滤波器权向量阶数M=10时，基于奇异值分解的MVDR信号频率估计的算法能够检测出三个波峰，两种方法绘制出的MVDR谱如图3.3所示。通过波形分析得出，两种方法的MVDR谱分辨率出现了不同。用经典MVDR频率估计算法画出的波形仍然只能分辨出两个波峰，而用奇异值分解的MVDR方法画出的波形可以分辨出三个波峰。这也就说明了基于奇异值分解的MVDR算法检测出被污染的测试信号中的所有期望信号的频率。（a）M=18时MVDR谱（b）M=10时svd的MVDR谱图3.4两种算法均检测出被污染信号中全部期望信号频率时估计图这组图样我们是采用改变滤波器的权向量阶数

22、进行仿真得到的，滤波器权向量的阶数取值的依据有两个要求：1、经典的MVDR算法能够检测出3个正弦信号时的最小滤波器权向量阶2、采用达到同样效果时的图样，比较两种算法的设计滤波器的阶数大小。 当选取M=18时，使用经典的MVDR频率估计算法画出的波形如图3.4（a）所示，此时可以模糊的分辨出三个波峰。而使用奇异值分解的MVDR方法时，如图3.4（b）所示，选取M=10画出的波形可以很清晰的分辨出三个波峰。通过以上三组比较，可以看出，基于奇异值分解的MVDR谱估计法比MVDR频率估计法要更好，分辨率更高。而且通过比较上图，可以发现，随着滤波器权系数阶数M的增大，两种方法的分辨率都在增大，但明显基于

23、奇异值分解的MVDR信号频率估计算法的分辨率更加精确。第三章 结束语信号的频率估计的意义在于：在一个被噪声污染的信号中，我们通过算法从中寻求到可能存在的期望信号的频率值。因此这种思想在现代信号处理过程中应用是具有意义的，毕竟大多数的随机信号环境不可能做到无噪声的环境，那么用信号的频率估计算法是具有实用性的需求。本文中提到的MVDR算法的核心思想就体现在滤波器权向量的设计，在这个算法提出的要求中：使得期望信号的无失真通过以及尽量的抑制其他信号和噪声。这就使得算法的实现能达到信号频率估计的目的。经典的MVDR算法提出，我们发现其要求的精度需求很高，而在奇异值的思想下，这种精度需求会下降，这也就使得

24、基于奇异值的MVDR算法在应用过程中能更加广泛。小组成员的分工参考文献1 段向阳，王永生等.基于奇异值分解的信号特征值提取方法研究J.振动与冲击,2009.28(11):30-31.2 程文波,李灿平.基于两种统计信号处理算法的噪声信号谱估计研究N.长春师范学院学报,2007,26(5):21-22.3 何心怡,黄海宁,叶青华等.波束域 MVDR 高分辨方位估计方法研究N.武汉理工大学学报,2003,27(2):201-203.4 何子述,黄振兴,向敬成.一种有效的 MVDR 波束形成期N.信号处理,2000,16(4):302-303.5 杨秀庭,孙贵青,陈新华.矢量水听器阵列 MVDR 形

25、成器的性能研究J.应用声学,2007,26(1):8-9.6 周浩,袁志勇.基于MVDR自适应波束的高分辨方位估计N.武汉理工大学学报,2009,31(9):108-110.7 李启虎.水声信号处理领域若干专题研究进展J.应用声学,2001,20(1):1-5.8 游鸿,黄建国,徐桂民.基于 MVDR 的阵列信号波束域预处理算法J.系统工程与电子技术,2008,30(1):64-65.9 王良,宋志杰,华洋.时域解析信号的MVDR自适应波束形成方法J.数据采集与处理,2009,24(3):318-319.10 孙荣光,马鑫,王易川.MVDR 自适应波束形成的一种智能算法J.声学技术,2010,29(3):340-341.11 付立.基于MVDR谱的语音通信干扰效果评估方法研究J.信息技术,2011,6:1-2.12 时洁，杨德森.矢量阵想干宽带 MVDR 聚焦波束形成N.系统仿真学报,2010,22(2):473-474.附录clear all;clc;M=14;N=1000;f=0.1 0.2