双曲线专题练习(一)

1、双曲线专题练习知识点归纳:1、双曲线定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F 的点的轨迹称为双曲线.即:_。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.2 3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.4、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程设为_2222=-by a x 0( 5、与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程设为122=-+k b y k a x达标练习一、填空题1.椭圆19222=+ky x 与双曲线1322=-y k x 的焦点相同,则k= 。2.双曲线14922=-x y 的渐近线为

2、 。3.已知12F F 、为椭圆的两个焦点,A 为它的短轴的一个端点,若该椭圆的长轴长为4,则12AF F 面积的最大值为 .4.过点(-6,3且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。5.过原点与双曲线 13422-=-y x 交于两点的直线斜率的取值范围是6、若双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是(0,3,则k 的值是 。7. 已知直线y=kx-2与双曲线122=-y x 交同支于两点,则k 取值范围 。8.点P 是双曲线13422=-y x 上一点,F 1、F 2是双曲线焦点,若F 1PF 2=120o , 则F 1PF 2的面积 。9.过点M(-2,0的直线L

3、 与椭圆x 2+2y 2=2交于P 1、P 2两点,线段P 1P 2的中点为P,设直线l 的斜率为k 1(k 10,直线OP的斜率为k 2,则k 1k 2的值为_.10.若对任意k R ,直线b x k y +-=2(与双曲线122=-y x 总有公共点,则b 范围 。11.若方程x+k-21x -=0只有一个解,则实数k 的取值范围是_。12.给出问题:F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点,点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的 距离等于9,求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由 |PF 1|-|PF 2|=8,即|9-|PF 2|=8,得|

4、PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确, 将正确的结果填在下面空格内. 。二、选择题13.平面内有定点A 、B 及动点P ,设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是 “点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”,那么甲是乙的 ( A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件14. 经过双曲线1222=-y x 的右焦点2F 作直线l 交双曲线与A 、B 两点,若|AB|=4, 则这样的直线存在的条数为 ( (A 4; (B 3; (C 2; (D 115.过点P(3,4与双曲线1169:22=

5、-y x c 只有一个交点的直线的条数为 ( A .4 B. 3 C.2 D. 116 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若3|1=PF ,则=|2PF ( A 1或5B 6C 7D 917.若k R ,则“k >3”是“方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线”的( A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件三、解答题18.已知动圆与圆C1:(x+52+y2=49和圆C2:(x-52+y2=1都外切,(1求动圆圆心P的轨迹方程。(2若动圆P与圆C

6、2内切,与圆C1外切,则动圆圆心P的轨迹是。若动圆P与圆C1内切,与圆C2外切,则动圆圆心P的轨迹是。若把圆C1的半径改为1,那么动圆P的轨迹是。(只需写出图形形状 19.已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。(1求a 的取值范围;(2若以A B 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值;(3是否存在这样的实数a ,使A 、B 两点关于直线x y 21=对称?若存在, 请求出a 的值;若不存在,说明理由。x 20(1椭圆 C: a 2 + 2 y2 b2 = 1 (ab0上的点 A(1, 3 2 到两焦点的距离之和为 4, 求椭圆的方程; (2设 K 是(1中椭圆上

7、的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN 时，那么 k PM × k PN 是与点 P 位置无关的 定值。试对双曲线 x2 a2 - y2 b2 = 1 写出具有类似特性的性质，并加以证明。 一、填空题 1 k= 2 5 。2 arccos 13 。 32 x 4 18 2 - y9 = 1 2 5 (-¥,- 3 È ( 23 2 ,+¥ . 6、-1 ì1 - k 2 &#

8、185; 0 ï 。7. í D > 0 ï x x >0 î 1 2 。8 3 。 9 - 1 . 10- 3 , 3 2 11 -1，1）È 2 12 |PF2|=17。 二、选择题 13. ( B 14 （ B ）15 （ B ）16C 三、解答题 2 2 2 2 17已知动圆与圆 C1:(x+5 +y =49 和圆 C2：(x-5 +y =1 都外切， （1）求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解： （1）从已知条件可以确定圆 C1、C2 的圆心与半径。 两圆外切可得：两圆半径和圆心距 动圆半径 r,依题意有 7r|PC1|,1r

9、|PC2|， 两式相减得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由双曲线定义得：点 P 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支。 x2 y2 - = 1 （x3） 9 16 （2）若动圆 P 与圆 C2 内切，与圆 C1 外切，则动圆圆心 P 的轨迹是 （双曲线右支） 若动圆 P 与圆 C1 内切，与圆 C2 外切，则动圆圆心 P 的轨迹是 （双曲线左支） 若把圆 C1 的半径改为 1， 那么动圆 P 的轨迹是 （两定圆连心线的垂直平分线） 。 18已知 M 是椭圆 y2 x2 + = 1 上的动点，N 是圆 ( x - 1 2 + y 2 = 1 的动点， 9 4 求|MN|的最小值

10、。 4 55 -1 2 2 19已知直线 y = ax + 1 与双曲线 3x - y = 1交于 A 、 B 点。 （1）求 a 的取值范围； （2）若以 A B 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值； （3）是否存在这样的实数 a ，使 A 、 B 两点关于直线 y = 请求出 a 的值；若不存在，说明理由。 解： （1）由 í 1 x 对称？若存在， 2 ì y = ax + 1 î3 x - y = 1 2 2 消去 y ，得 (3 - a x - 2ax - 2 = 0 （1） 2 2 依题意 í ì3 - a 2 ¹ 0

11、 即 - 6 < a < 6 且 a ¹ ± 3 （2） îD > 0 2a ì x1 + x 2 = (3 ï ï 3 - a2 （2）设 A( x1 , y1 ， B( x2 , y 2 ，则 í ï x x = - 2 ( 4 1 2 ï 3 - a2 î 以 AB 为直径的圆过原点 OA OB x1 x2 + y1 y 2 = 0 但 y1 y2 = a 2 x1 x2 + a( x1 + x2 + 1 由（3） （4） ， x1 + x 2 = (a + 1 

12、5; 2 2a -2 ， x1 x 2 = 2 3-a 3 - a2 -2 3-a 2 +a× 2a 3 - a2 +1= 0 解得 a = ±1 且满足（2） （3）假设存在实数 a ，使 A、B 关于 y = a× 1 1 x 对称，则直线 y = ax + 1 与 y = x 垂直 2 2 1 = -1 ，即 a = -2 2 直线 l 的方程为 y = -2 x + 1 将 a = -2 代入（3）得 x1 + x2 = 4 AB 中点的横坐标为 2 但 AB 中点 (2,-3 不在直线 y = 2 纵坐标为 y = -2 ´ 2 + 1 = -

13、3 1 1 x 上，即不存在实数 a ，使 A、B 关于直线 y = x 对称。 2 2 2 20. 已知双曲线方程为 2x - y = 2 与点 P(1,2, （1）求过点 P（1，2）的直线 l 的斜率 k 的取值范围，使直线与双曲线 有一个交点，两个交点，没有交点。 (2 过点 P（1，2）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 P 为弦 AB 的中点， 求直线 AB 的方程； （3）是否存在直线 l ，使 Q（1，1）为 l 被双曲线所截弦的中点？若存在， 求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。 解：(1当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l

14、 的斜率 存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x1,代入 C 的方程，并整理得 2 2 2 2 * (2k x +2(k 2kxk +4k6=0 ( (当 2k =0,即 k=± 2 时，方程( 有一个根，l 与 C 有一个交点 (当 2k 0,即 k± 2 时 =2(k 2k 4(2k (k +4k6=16(32k 当 =0,即 32k=0,k= 当 0,即 k 2 2 2 2 2 2 * 3 * 时，方程( 有一个实根，l 与 C 有一个交点. 2 3 3 ,又 k± 2 ,故当 k 2 或 2 k 2 或 2 k 时， 2 2 方程( 有两不等实根，l

15、与 C 有两个交点. * 3 * 时，方程( 无解，l 与 C 无交点. 2 3 综上知：当 k=± 2 ,或 k= ，或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点； 2 3 当 2 k ,或 2 k 2 ,或 k 2 时，l 与 C 有两个交点； 2 3 当 k 时，l 与 C 没有交点. 2 当 0，即 k （2）假设以 P 为中点的弦为 AB，且 A(x1,y1,B(x2,y2，则 2x1 y1 =2,2x2 y2 =2 两式 相减得：2(x1x2(x1+x2=(y1y2(y1+y2 又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2=y1y1 即 kAB= 2 2 2 2 y1 -

16、 y 2 =1 x1 - x 2 但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与有交点，所以以 P 为中点的弦为： y = x + 1 . (3假设以 Q 为中点的弦存在， 设为 AB， 且 A(x1,y1,B(x2,y2， 则 2x1 y1 =2,2x2 y2 =2 两式相减得：2(x1x2(x1+x2=(y1y2(y1+y2 又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2=y1y1 即 kAB= 2 2 2 2 y1 - y 2 =2 x1 - x 2 但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中 点的弦不存在. x 2

17、1(1椭圆 C: a 2 + 2 y2 b2 = 1 (ab0上的点 A(1, 3 2 到两焦点的距离之和为 4, 求椭圆的方程; (2设 K 是(1中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN 时，那么 k PM × k PN 是与点 P 位置无关的 定值。试对双曲线 解：(1 x4 + 2 x2 a2 - y2 b2 = 1 写出具有类似特性的性质，并加以证明。 y2 3 =1 2 (2设中点为(x,y, F1(-1,0 K(-2-x