变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索_张解放

1、第53卷第11期2004年11月1000-3290 2004 53(11 3652-05物 理 学 报AC TA PHYSIC A SINICAVol. 53, No. 11, November, 20042004Chin. Phys. Soc.变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索张解放12*1徐昌智12何宝钢1 2(浙江师范大学非线性物理研究所, 金华 321004(金华教育学院物理系, 金华 321000(2003年7月24日收到; 2004年1月2日收到修改稿把变量分离法应用于(1+1 维非线性物理模型, 构建了色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程的一类新的孤子解. 作为特例, 也

2、得到了常系数非线性薛定谔方程的包络型孤子解, 只是解的形式有点变化.关键词:变量分离法, 变系数, 薛定谔方程, 孤子解PACC :0340, 0230某些精确解. 本文旨在把变量分离法应用于(1+11 引言维变系数非线性物理系统, 作一些有益的探索.变系数非线性薛定谔方程在众多物理领域, 如等离子体物理、流体动力学、非线性光学、固体物理, 尤其是纤维光学中有着极其重要的地位, 在实际光纤通讯中传播信息的孤子一般变系数非线性薛定谔方程为2(z tt + (z | | =i (z , (2 2其中 (z , (z , (z 分别为纵向距离缓变的二阶色散、非线性系数和光纤的损耗因子, (z, t

3、为待求i z +函数. 本文用变量分离法对方程(2 进行了研究, 在此基础上构建了二类色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程的精确解.物理系统的数学建模常常导致非线性演化方程, 其中非线性薛定谔方程i z +2tt +| | =02(1就是一个在物理学特别在光学、流体力学中相当重要和基本的非线性范例, 由它本身及对它的修正形式在物理学许多领域具有重要应用价值. 不过由于方程(1 是高度理想化的, 如果考虑更实际的条件, 就得到其他具有变系数的非线性演化方程. 而要得到实际非线性方程的精确解非常困难, 虽然有不少求解非线性偏微分方程的方法, 但对于变系数非线性偏微分方程, 目前的研究手段主要在数值求

4、解或近似微扰求解1, 2. 许多学者对变系数非线性偏微分3 72 变系数非线性薛定谔方程的孤子解为了方便方程(1 的求解, 先作如下变换:(3 x =2 (z d z , t =t ,方程也进行了深入研究, 并提出多种方法. 在线性物理中, 变量分离法和Fourier 级数展开法是两个重要方法. 逆散射方法被认为是非线性物理中的Fourier 级数展开法的推广, 但直到最近, 变量分离法才在非线性物理中得到拓展, 得到了一大类(2+1 维非线性演化方程的通解, 给出了丰富的局域相干8 16结构和相互作用性质. 不过变量分离法对(1+1 维非线性物理模型的推广, 仍存在一定的困难. Zhadno

5、v17则方程(2 变为2i , x + u +V (x | | =i V 1(x 其中(4把(1+1 维非线性偏微分方程分离为平18, V 1(x =.因此可从方程(4 出发进行讨论, 而方程(2 的解,V (x =经反变换就可得到.为了利用变量分离法, 现做如下B cklund 变换:凡的微分方程. Qu 等人用对称约化分离变量法获得(1+1 维非线性扩散方程和其他一类方程的*(:11期张解放等:变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索36532=+ 0,f(5p 3p 3tt -p 3t =0.从(18 式可得p 3=expp 0(x (a 1t +l 1 ,数, 则由(13 式可得(

6、18 (19其中g (x , t , f (x , t 分别为复函数和实函数, 0(x , t 为方程(4 的一个任意的已知解. 在(5 式的变换下方程(4 可写为双线性形式2-1*2(i D x +D t gf +g f V (x gg -D t ff +V (x 2 +g 0+(g 0 0gg 0+g -i V 1(x gf =0,符号D 为Hirota 意义下的双线性算符D x D t g f ( x - x ( t - t g f |(x =为了方便讨论, 把种子解 0设为0=0,f =p 1(x +p 2(x p 3(x , t ,(8 (9 (10其中p 1 p 1(x , p 2

7、 p 2(x , g 1 g 1(x , q 1 q 1(x , q 2 q 2(x 为变量x 的任意函数, p 3 p 3(x , t , g 2 g 2(x , t , q 3 q 3(x , t 为变量x , t 的任意函数. 把(8 (10 式代入(6 式, 并令等式的虚部与实部分别为零, 得f -g 1g 2(q 1x +q 2x q 3+q 2q 3x +g 1g 2tt -g 1g 2q 2q 3t +f (g 1g 2p 2p 3tt -2g 1g 2t p 2p 3t +g 1g 2-2p 1p 2p 3tt -2p 2(p 3p 3tt -p 3t +V (x g 1g 2

8、=0,f (-2p 2p 3t q 2q 3t g 1g 2-p 1x g 1g 2-p 2x p 3g 1g 2-p 2p 3x g 1g 2 +f g 1g 2x +g 1x g 2+2g 1g 2t q 2q 3t +g 1g 2q 2q 3tt -g 1g 2V 1(x =0.i 22222222mnmnx , t =t *2*其中p 0(x 为关于x 的任意函数, a 1, l 1为任意常2a 1p 0p 1p 2p 3g g =,V (x 2122220 f (6 .2(20引入一个任意常数 0, 则从(20 式可分离出g 1= 1a 1 0p 0p 1p 2, g 2= 2V (

9、x 20p ,(21(72其中 1= 2=1. 把(21 式代入(14 (17 式, 则可得2222-q 1x +a 1p 0-q 2x q 3-q 2q 3x -q 2q 3t =0,4经过深入运算, 发现系统(6 拥有如下变量分离解:g =g 1(x g 2(x , t expi q 1(x +i q 2(x q 3(x , t ,(22p 1x +p 2p 32a 1p 0q 2q 3t +p 2x+p 0x (a 1t +l 1 =0, p 2(23V (x x p 0x p 1x p 2x -2V (x +p +2p +2p +2p 0x (a 1t +l 1012+a 1p 0q

10、2q 3t +q 2q 3tt -V 1(x =0.(24从方程(22 (24 可知, 如果V (x , V 1(x 确定, 则可求出p 0, p 1, p 2, q 1, q 2, q 3的解. 而方程(4 的解可以写成 (x , t =a 1p 0p 1p 2p 3expi(q 1+q 2q 3 . V (x p 1+p 2p 3(25下面以具体的系统模型为例进行讨论.1 第一类色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程19(11(12令(11 , (12 式中f (i =0, 1, 2 前的系数分别为零,可得g 1g 2-2p 1p 2p 3tt -2p (p 3p 3tt -p +V (x g

11、 g =0,g 1g 2p 2p 3tt -2g 1g 2t p 2p 3t =0, -g 1g 2(q 1x +q 2x q 3+q 2q 3x +g 1g 2tt -g 1g 2q q =0,-2p 2p 3t q 2q 3t g 1g 2-p 1x g 1g 2-p 2x p 3g 1g 2-p 2p 3x g 1g 2=0,g 1g 2x +g 1x g 2+2g 1g 2t q 2q 3t +g 1g 2q 2q 3tt -V 1(x g 1g 2=0.(, (, 可设p 3(17 (162223t 21222223t为2exp(- z tt +| | =0. i z +2(26(1

12、3 (14 (15Ruan20已用推广的对称群和相应的有限变换, 研究了方程(26 , 给出了方程的精确解. 对于方程(26 , 具体的变换关系可给出x =-exp(- z -x 0, t =t , 2(27 (28V (x =-0 , V 1(x =0,其中 为常数参量, x 0为任意常数.把(28 式代入(24 式, 则从非线性微分方程 (243654物 理 学 报53卷(c 1-1 +a 1c 2q 1=c 0-,4(x +x 0 q 2=4(x +x ,0q 3=t +2t +c 1, p 1=a 2, p 2=c 3exp p 0=c 2,(x +x 0c 2a 1-c 2l 1,x

13、 +x 0222(29 (30 (31(32其中c 0, c 1, c 2, c 3, a 1, l 1, a 2为任意常数.把(19 , (29 (32 式代入(25 式, 可得到第一类色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程经变换方程(27 , (28 后的精确解2a a 2c c 3 c 2a 1exp x +x 0 2(x +x 0 (t +1 c 2a 1a 2+c 3exp (t +1x +x 02212图1 =0 04, c 30=-20, c 2=25, a 1=-1时G =| (x , t |的图像程21为i z +21- tt +exp(- 2z | | 21(36(x , t

14、=-, R d zt +2t +1-a 1c 2i c 0+4(x +x 0如果取c 3=a 2e xp(2c 30 , (33 式可变为1(x , t =22a 1c 2exp(2c 30 (x +x 0. (33其中R (z 为光纤的有效半径. (36 式描述了皮秒脉冲在色散缓变单模光纤中孤子效应压缩过程的数学模型, 文献19用数值计算进行了研究. 对于方程(36 , 具体的变换关系可给出( 1-z x =-x 0, t =t , 4 12c 2a 1sech (t +1 +c 302(x +x 0 t +2t +1-a 1c 2i c 0+x +x 0222(37V (x =. (341

15、exp- 2z (x ,1-z (x 2 1.1R d z(38V 1(x =-利用(26 式进行反变换, 则色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程(26 的孤子解为z sech-c 2a 1 exp( z (z , t = a 1c 2 exp2(t +1 +c 30i c 0- (t +2t +1-a 1c 2222按同样方法可获得第二类色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程(36 的精确解为 (z , t 2 1c 2a 1a 1a 2c 2c 3 1exp xp -2z e (t +1 2( 1-z ( 1z 4 1c 2a 1a 2+c 3exp -(t +1( 1-z 222exp( z

16、2(35=.从(35 式可见, 光孤子在色散缓变光纤中传输时, 其幅值和脉宽都与传播距离有关, 其幅值与传播距离呈指数增加, 脉宽与传播距离呈指数衰减, 这种效应正好与光纤损耗的影响相反, 所以适当地选择光纤色散变化率可以完全补偿光纤损耗的影响, 从而维持孤子无变形传输. 为了更清楚地了解孤子解(35 式的物理意义, 可用Mathematica 软件画出其摸变量G =| (x , t |随空间z 和时间t 演化图. 图1正好说明以上结论.2 1(t +2t +1-a 1c 2i c 0-( 1-z . (39如果取c 3=a 2exp(2c 30 , (39 式可变为 (z , t = 4a

17、1c 2sech - 1exp(2c 30 exp 2z2( 1-z 2 1c 2a 1(t +1 +c 30( 1-z 2221(t +2t +1-a 1c 2i c 0-( 1-z . (4011期张解放等:变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索3655光纤的有效半径R (z 为2(41 z ,2其中A 0为积分常数, c 30为任意常数. 从(40 , (41R (z =A 0( exp -1-z 1(z , t =c 2(a 1t +l 1 -a 1c 2c 3z a 1a 2c 2c 3a 2+c 3expc 2(a 1t +l 1 -a 1c 2c 3z expa 1c 22

18、-c 4z +c 4t 422式可见, 光孤子在色散缓变光纤中传输时, 其幅值和脉宽都与传播距离有关, 其幅值与传播距离呈指数增加, 脉宽与传播距离呈指数增加(即展宽 , 光纤的有效半径与传播距离呈指数缓慢衰减.3 常系数非线性薛定谔方程(1 为了统一起见, 仍然作如下变换:x =, t =t ,2V (x =2, V 1(x =0.(22 (24 22a 1c 22q 1=c 0+-c 4x ,4c 4q 2=, q 3=xt , (44xp 1=a 2, p 2=c 3exp(-2a 1c 2c 4x , p 0=c 2,(45其中c 0, c 2, c 3, c 4, a l , l 1

19、, a 2为任意常数. 把(19 , (44, (45 式代入(25 式, 并经反变换, 可得常系数非线性薛定谔方程(1 的精确解(42 (43i c 0+2 (z , t =. (46如果取c 3=a 2, (46 式可变为a 1c 2sech c 2(a 1t +l 1 -a c c z 222123221a 1c 22 e i c 0+. ( 47 -c 4z +c 4t 24这就是常系数非线性薛定谔方程包络型的孤子解.把(43 式代入(24 式, 则从非线性微分方程3 结语本文把变量分离法应用于(1+1 维非线性物理模型, 讨论了一般变系数非线性薛定谔方程, 构建了色散缓变光纤变系数非

20、线性薛定谔方程二类模型和常系数非线性薛定谔方程的变量分离解. 由于变系数非线性偏微分方程求解的复杂性, 相信用变量分离法求解变系数物理模型不失为有效的途径, 值得继续探讨. 今后将进一步研究, 以使有益于把变量分离法推广于一大类(1+1 维非线性物理模型, 寻找其变量分离解.1234567891011Bordon E E and Anderson W L 1989J . L i ght wave Tec hnol . 19566Kivshar Y S and Konotop V V 1989J . Quantum Ele ctron . 7353Xu W C et al 1994Acta Op

21、t . Sin . 14287(in Chinese 徐文成等1994光学学报14287Zhang J F and Chen F Y 2001Acta Phys . Sin . 501648(i n Chinese 张解放、陈芳跃2001物理学报501648Liu S K e t al 2002Acta Phys . Sin . 511923(i n Chi nese 刘式适等2002物理学报511923Zhu Z N 1995J . Phys . A :Math . Gen . 285673Lou S Y and Ruan H Y 1992Ac ta Phys . Sin . 41182(i

22、n Chinese 楼森岳、阮航宇1992物理学报41182Zhen Y K and Chan W L 1989J . Phys . A :Math . Gen . 22441Tang X Y, Lou S Y and Zhang Y 2002Phys . Re v . E 6646601Lou S Y 2002Phys . Sc r . 657Lou S Y 2000Phys . L e tt . A 27794Ruan H Y and Chen Y X 2001Acta Phys . Sin . 50586(i n Chinese 阮航宇、陈一新2001物理学报50586Zhang J F

23、 2002Commun . Theor . Phys . 37277121314151617181920Zheng C L et al 2003Chin . Phys . 1211Zhang J F e t al 2002Ac ta Phys . Sin . 512676(in Chinese 张解放等2002物理学报512676Ruan H Y and Chen Y X 2003Acta Phys . Sin . 521313(in Chinese 阮航宇、陈一新2003物理学报521313Zhang J F 2002Chin . Phys . 11651Zheng C L et al 20

24、03Chin . Phys . 12472Zhadnov R Z 1994J . Phys . A :Math . Gen . 27291Zhang S L, Lou S Y and Qu C Z 2002Chin . Phys . Lett . 191741Qu C Z, Zhang S L and Liu R C 2000Physica D 14497Wen S C e t al 1997Sci . China A 271300Ruan H Y and Chen Y X 2000Ac ta Phys . Sin . 49177(in Chinese 阮航宇、陈一新2000物理学报49177

25、Ruan H Y, Chen Y X and Lou S Y 2001Commun . The or . Phys . 3564121Cao W H et al 1994Acta O pt . Sin . 14119(i n Chi nese 曹文华等1994光学学报141193656物 理 学 报53卷The variable separation approach and study on solving the variable -coefficient nonlinear Schr dinger equation *Zhang Jie -Fang 1 Xu Chang -Zhi 1 2 He Bao_Gang1 21(In stitute o f Nonlin ea r Ph ysics , Zh e j ia n g Norma l Un ive rsity , Jin hua 321004, Ch ina 2(Departmen t o f Ph ysic s , Ji