二重积分的变量代换

1、§3 二重积分的变量代换也有一种情形，函数f在D上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。例：，D=分析：f(x,y)=在D上几乎处处连续，有界函数=D是零测度集，fR（D）=or =计算不出来！fR（D），但化为二次积分后算不出来。说明我们的计算方法有问题。因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法。联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算

2、起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。1 极坐标交换先介绍极坐标变换： 。设D是中的有界闭区域，且是中的零测度集；再设f在D上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：fR（D）有意义的；它的值不因对区域D的分割方式不同而变化。在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线来分划区域D为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及=常数的一族过极点的射线来分划D（如左图示），得出若干个小块，这时小块的面积若极为，（）则Rieman和为 ，注意到=易见,当，充分小时，可近似地看成一个矩形，边长分割为：和，即 ，若有Riem

3、an和 中以 代替，并按极坐标交换： ，。当分割的精度0是，由上面分析知：。记 ，=即= 直角坐标下的二重积分化为极坐标系下的二重积分的公式）在x=,y= 交换下，调和函数， 区域说明：注意，虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分，在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之：情形1 若=， ，为，上的连续函数，则称之为型区域（如左图）。这时，类似于上节的x-y-型区域的取法，可将之化为下面形式：=情形2 若=，其中，C， （r-型区域），此时有=情形3 若极点O是积分区域的内点，则交换后的区域为：=此处=是的边界曲线，=情形4 若积分区

4、域的边界曲线=通过极点O时，应先求出极径，继使=0的两个角度，此时有：=何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为时，采用极坐标交换来计算往往简便得多。例1 ，D=例2 ，D为圆域例3求球面被圆柱面=Rx所割下的立体（成为维维安尼（Viviani）体）的体积。例4有一个形状为旋转抛物面的容器内，已经盛，的溶液，现又倒进的溶液，问液面比原来的液面升高多少?2 二重积分的一般变量替换计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。定理 设D有界闭区域，设，（*）。通过（*）把D变为，在D上有关于x,y的连续偏导数，并且交换（*）是一对一的，又设（在内不为0），则=。说明： 在定理中，假设J0，但有时会遇到这种情形。交换行列式在区域内个别点上等于0。或只在一小区域上等于0而在其他点上非0，此时上述结论能成立。特例： 此时=，根据 有=；在多个具体问题中，选择交换公式的