Matlab在状态变量分析法中的应用研究

1、武汉工业学院 毕 业 论 文论文题目:Matlab 在状态变量分析法中的应用研究姓 名 彭敏学 号院 (系 数理科学系专 业 电子信息科学与技术指导教师 吴 正 邦2011年 6月 11日目 录摘 要二阶线性系统应用非常广泛, MATLAB 语言是功能十分强大的工程计算及数值分析软件 , MATLAB 语言环境下的算法实现,比其它语言环境下的算法实现更简便、快速。它提供了高效 的信号处理工具箱。本文介绍了利用 MATLAB 语言对二阶线性系统进行时域和频域分析方法 , 采用了状态变量分析法, 尤其对系统稳定性的分析, 并给出相关的例子、 程序和相应的仿真结果。 在本文中还应用状态变量分析方法在

2、时域和频域对连续时间系统进行分析研究, 特别是通过一个 典型的二阶电路,应用 MATLAB 讨论其时域解和复频域解,并讨论其物理意义。结果表明:MATLAB 语言是集数值计算、 符号计算及图形处理等强大功能于一体的科学计 算语言,利用 MATLAB 分析简单灵活,加深对状态变量分析法和时域频域分析法的理解。 关键词 MATLAB 语言;二阶线性系统;时域;频域;状态变量分析法;稳定性;仿真AbstractThe linear system of two orders is widely applied to different fields. MATLAB language is an eng

3、ineering calculation and analyses software with an effective signal process tool box in it. MATLAB language environment of the algorithm, than the algorithm language environment is more simple and rapid. The paper introduces the method of the simulation and analysis of the linear system of two order

4、s through MATLAB in time and frequency domain, uses state variable analysis method specially analyses the stability of the system. The application gives out correlative instance, order and relevant figure. In this paper the state variable analysis is also applied in the time domain and frequency dom

5、ain analysis of continuous-time systems, in particular through a typical second-order circuits, application of MATLAB discussed in time domain and complex frequency domain, and discuss its physical significance.The results show that: MATLAB language is a set of numerical computation, symbolic comput

6、ation and graphics processing power in one of the scientific computing language. It is easy and flexible to analyze also deepened the concept of the linear system of two orders through MATLAB in time and frequency domain understanding.Key wordsMATLAB language ;linear system of two order ;time domain

7、 ;frequency domain 、 stability ;states variable analysis method; simulation前 言由于 MATLAB 具有友好的工作平台和编程环境、简单易用的程序语言、强大的科学计算机 数据处理能力、出色的图形处理功能、应用广泛的模块集合工具箱等优势,它广泛应用于信号处 理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面。MATLAB 是一套面向工程和科学运算的高性能软件。它具有强大的矩阵计算能力和良好的 图形可视化功能,为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境 , 它的出现使利用计算机辅助学 生完成 “ 信号与系统 ” 课程的

8、数值计算、信号与系统分析的可视化建模及仿真调试成为可能。经过 十几年的发展与完善, MATLAB 目前已成为科技界最流行的应用软件。通过撰写本论文熟练掌 握 MATLAB 及其应用特点,特别是应用在常见的二阶连续系统的分析与计算中,包括系统的模 拟,方程的求解,系统的稳定性分析、系统的频率特性、分析结果的物理解释和图形描述等。 MATLAB 在信号处理上的应用非常地突出,它可以实现对线性系统的时域或频域分析与仿 真,利用的就是其工具箱中丰富的信号处理函数,而这些函数大部分都是 M 文件,可以直接调 用。对于经典的连续系统,常用的分析方法有时间响应(阶跃响应、冲激响应、零状态响应、 频率响应、根

9、轨迹等,这些表示形式都能很方便地进行计算并能以图形的形式表达出来,具有非 常简单和直观的特点。本文通过对典型的二阶连续系统进行时域、频域及稳定性分析,很容易地 就可以应用到高阶系统。第 1章 MATLAB 语言及其操作的基本介绍1.1 MA TLAB 语言简述MATLAB 是矩阵实验室(Matrix Laboratory之意。除具备卓越的数值计算能力外,它还提 供了专业水平的符号计算,文字处理,可视化建模、仿真和实时控制等功能。MATLAB 的基本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似, 故用 MATLAB 来解算问题要比用 C 、 FORTRAN 等语言完全相同的事情

10、简捷得多。在新的版本 中也加入了对 C 、 FORTRAN 、 C+、 JAVA 的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实 用程序导入到 MATLAB 函数库中方便自己以后调用,此外许多的 MATLAB 爱好者都编写了一 些经典的程序,用户可以直接进行下载就可以用,非常的方便。MATLAB(Matrix laboratory,即 “ 矩阵实验室 ” 是集数值计算、 符号算法及图形处理等强大功能 于一体的科学计算语言。其编程效率高,扩充能力强,语句简单、易学 易用,是当今世界上最 优秀的数值计算软件,也是目前工程界最广的科学计算语言。在电路、信号与系统、数字信号处 理及自动控制原理等诸多方

11、面已被广泛应用。MATLAB 是由美国 Mathworks 公司于 1984年正式推出的, 从那时到现在已升级到 6.x 版本。 随着版本的升级,内容不断扩充,功能更加强大。特别是在系统仿真和实时运行等方面,有很多 新进展,更扩大了它的应用前景。MATLAB 的基础是矩阵计算,但是由于他的开放性,并且也吸收了像 maple 等软件的优点, 使 MATLAB 成为一个强大的数学软件。1.2 MATLAB 的主要功能1.数值计算和符号计算功能MA TLAB 以矩阵作为数据操作的基本单位,还提供了十分丰富的数值计算函数。 MA TLAB 和著名的符号计算语言 Maple 相结合,使得 MA TLAB

12、 具有符号计算功能。2. 绘图功能MATLAB 提供了两个层次的绘图操作:一种是对图形句柄进行的低层绘图操作,另一种是 建立在低层绘图操作之上的高层绘图操作。3. 编程语言MATLAB 具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特征 而且简单易学、编程效率高。4. MATLAB 工具箱MATLAB 包含两部分内容:基本部分和各种可选的工具箱。 MATLAB 工具箱分为两大类:功能性工具箱和学科性工具箱。1.2 MATLAB 的优势和特点1. 友好的工作平台和编程环境MATLAB 由一系列工具组成。 这些工具方便用户使用 MATLAB 的函数和文件, 其中许多工具采用的是

13、图形用户界面。包括 MATLAB 桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、 路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着 MATLAB 的商业化以及软件本 身的不断升级, MATLAB 的用户界面也越来越精致,更加接近 Windows 的标准界面,人机交互 性更强,操作更简单。而且新版本的 MATLAB 提供了完整的联机查询、帮助系统,极大的方便 了用户的使用 。 简单的编程环境提供了比较完备的调试系统, 程序不必经过编译就可以直接运行, 而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。2. 简单易用的程序语言MA TLAB 一个高级的矩阵 /阵列语言,它包含控制语句、函数、

14、数据结构、输入和输出和面 向对象编程特点。 用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步, 也可以先编写好一个较大 的复杂的应用程序 (M文件 后再一起运行。新版本的 MATLAB 语言是基于最为流行的 C +语 言基础上的,因此语法特征与 C +语言极为相似,而且更加简单,更加符合科技人员对数学表 达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。而且这种语言可移植性好、可拓展 性极强,这也是 MATLAB 能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。3. 强大的科学计算机数据处理 能力MATLAB 是一个 包含大量计算算法的集合。其 拥有 600多个工程中要用到的数 学运 算函数

15、,可以方便的实现用户所 需的各种计算功能 。函数中所使用的算法都是科研 和工程 计算中的最新 研究成果,而前经过了各种优化和 容错处理。在通常情况下,可以用 它来代 替底层编程语 言,如 C 和 C+ 。在计算要求相同的情 况下,使用 MATLAB 的 编程工作 量会大大减少 。 MATLAB 的 这些函数集包括从最简 单最基本的函数到诸如矩阵,特 征向 量 、快速傅立叶变换的复杂函数 。函数所能解决的 问题其大致包括矩阵运算和线性 方程组 的求解、微分 方程及偏微分方程的组的求解、 符号运算、傅立叶变换和数据 的统计分析、 工程中的优化 问题、稀疏矩阵运算 、复数的各种运算、三 角函数和其他

16、初等数学运算 、多 维数组操作以 及建模动态仿真等。4. 出色的图形处理功能MATLAB 自产 生之日起就具有方便的数据可 视化功能,以将向量和矩阵用图 形表现 出来,并且可以 对图形进行标注和打印。高层次的 作图包括二维和三维的可视化、图象处 理、动画和表 达式作图。可用于科学计算和工 程绘图。新版本的 MATLAB 对整个图形处 理功能作了很 大的改进和完善,使他不仅在一般数据可视化软件 都具有的功能(例 如二维 曲线和三维曲 面的绘制和处理等 方面更加完善, 而且对于一些其他软件所没有的 功能 (例 如图形的光照 处理、色度处理以及四维数据的 表现等, MATLAB 同样表现了出色 的处

17、 理能力。同时 对一些特殊的可视化要求,例如 图形对话等, MATLAB 也有相应的功 能函 数 ,保证了用户不同层次的要 求。另外新版本的 MATLAB 还 着重在图形用户界面(GUI 的制作上作了 很 大的改善,对这方面有特殊要求的用户也可以得到满足。5. 应用广泛的模块集合工具箱MA TLAB 对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说,他们都是由 特定领域的专家开发的, 用户可以直接使用工具箱学习、 应用和评估不同的方法而不需要自己编 写代码。目前, MA TLAB 已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用的诸多领域,诸如数据采 集、数据库接口、概率统计、样条拟合、优化算

18、法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信 号处理、图像处理、系统辨识、控制系统设计、 LMI 控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金 融分析、 地图工具、 非线性控制设计、 实时快速原型及半物理仿真、 嵌入式系统开发、 定点仿真、 DSP 与通讯、电力系统仿真等,都在工具箱(Toolbox 家族中有了自己的一席之地。6、实用的程序接口和发布平台新版本的 MA TLAB 可以利用 MA TLAB 编译器和 C/C+数学库和图形库, 将自己的 MA TLAB 程序自动转换为独立于 MA TLAB 运行的 C 和 C+代码。允许用户编写可以和 MA TLAB 进行交 互的 C 或 C +语言程序。

19、另外, MA TLAB 网页服务程序还容许在 Web 应用中使用自己的 MA TLAB 数学和图形程序。1.4 MATLAB 的应用MA TLAB 的一个重要特色就是他有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程 序。 工具箱是 MA TLAB 函数的子程序库, 每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的, 主要包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。 MA TLAB 的应用非常广泛 , 在电路、 信号与系统、 数字信号处理及自动控制原理等诸多方面已 被广为应用。MA TLAB 中的变量与常量都是矩阵 (标量可看做阶的矩阵 , 向量可看做或阶的矩阵

20、 , 其元素 可以是复数和任意形式的表达式 , 它具有元素群运算能力。 MA TLAB 的这些优于其他语言的特色 , 有利于分析计算电路的各种问题 , 并且使编程更简便 , 运算效率更高。第 2章 连续时间系统的基本内容2.1 系统概述1、定义:一般认为系统是指由若干个相互关联、相互作用的事物,按照一定的规律组合而成的 具有某种特定功能的整体。2、分类:系统按响应与激励的信号形式分为连续系统和离散系统。3、系统的数学模型:微分方程、差分方程。4、系统分析:主要研究对于给定的系统,在输入信号的作用下产生的输出信号,并由此获得对 系统的功能和特性的认识。它一般包括三个步骤:建模、求解、根据结果进行

21、分析,深化对系统 功能和特性的认识。具体介绍如何分析一个系统:(1 建立描述系统基本特性的数学模型(2 用数学方法求出它的解(3 对所得的结果赋予实际的含义5、系统的特性系统的特性表现为以下几点:(1线性一个系统既是齐次的又是可加的,即满足:设 1k 和 2k 是任意常数,若( ( (22112211t y k t y k t f k t f k T +=+,则称该系统是线性的。(2时不变性对一个系统,若激励在时间上有一个任意平移,都导致零状态响应在时间上有相同的平移, 则称该系统为时不变系统,即若 Tf(t=y(t,则 y(t-=Tf(t-;否则称为时变系统。(3因果性零状态响应不出现于激励

22、之前的系统 (或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输 入值,而与将来时刻的输入值无关 ,称为因果系统。(4稳定性若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的, 则称次系统为稳定系统。 也可以称为有界 输出(BIBO 稳定系统。上述定义可由以下数学表达式说明:导出稳定系统的充分必要条件是 +-M dt t h | (|, 式中 M 为有界正值。 或者说, 若冲激响应 h(t绝对可积,则系统是稳定的。1、系统分析就是建立表征系统的数学方程式并求解,还常称为时域分析法,此方法计算较复杂, 但物理概念清楚。2、 描述 LTI 系统的方法 :输入 输出法 (侧重于系统的外部特性, 适合于单输入单输

23、出系统 、 状 态变量法(侧重于系统的内部特性,适用于多输入多输出系统,特别适合于计算机分析3、变换域分析法是应用数学的映射理论,将时间变量映射为某个变换域的变量,使系统的动态 方程转换为代数方程,从而极大地简化了计算 。2.2 连续系统的时域分析法时域分析是指控制系统在一定的输入下,根据输出量的时域表达式,分析系统的稳定性、瞬 态和稳态性能。1、微分方程的经典解一般而言,如果单输入单输出系统的激励为 f (t,响应为 y(t,则描述 LTI 连续系统激 励与响应之间关系的数学模型是 n 阶常系数线性微分方程,它可写为:( ( ( ( ( ( ( (0 1(1 1(1 (0 1(1 1(1 (

24、t f b t f b t f b t fb t y a t y a t ya t y m m m m n n n +=+- 即: ( ( (0 (0t f b t y aj mj i i n i i =其中:m j n i =3. 2. 1, 3. 2. 1该方程的全解 由齐次解 (t y h 和特解 (t y p 组成,即 ( ( (t y t y t y p h +=。齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性, 而与激励的函数形式无关, 称为系统的自由 响应或固有响应。特征方程的根称为系统的 “ 固有频率 ” ,它决定了系统自由响应的形式。特解的 形式由激励信号确定,称为强迫响应。2、零

25、输入响应:指激励为零,仅由系统的初始状态所引起的响应,用 (t y zi 表示。在零输入条件下,微分方程式右端为零,化为齐次方程。若其特征根均为单根,则其零输入 响应为:t nj zij zi j e Ct y =1 (,其中 zij C 为待定系数。3、零状态响应:指初始状态为零,仅由激励所引起的响应,用 (t y zs 表示。零状态响应是若方程的特征根均为单根 , 则 ( (1t y e Ct y p t n j zsj j zs +=, 其中 zsj C 为待定系数。4、全响应系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应, 也可分为零输入响应和零状态响应, 两种分解 方式有明显区别。 虽然自由

26、响应和零输入响应都是齐次方程的解, 但二者系数各不相同, zij C 仅 由初始状态所决定,而 j C 要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时,零输入响应为零,但在激励信号的作用下,自由响应并不为零。也就是说系统的自由响应包含零输 入响应和零状态响应的一部分。1、冲激响应一个 LTI 系统,当其初始状态为零,输入为单位冲激函数 (t 时所引起的响应,简称为 冲激响应。用 h(t 表示,即冲激响应是激励为 (t 时的零状态响应。 2、阶跃响应一个 LTI 系统,当其初始状态为零、输入为单位阶跃函数时所引起的响应,称为单位阶跃响 应,简称阶跃响应。用 g(t表示。阶跃响应是 (

27、(t t f =时,系统的零状态响应。冲激响应 h(t 与阶跃响应 g(t的关系:因为 (dtt d t t =', (d t t-=, 所以,同一系统冲激响应及阶跃响应的关系为:h(t=dtt dg t g ( ('=, g(t=(d h t-LTI 系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积积分,即:d t g ft g t ft h t f t y zs ( ( ( ( ( ( (1(1(-=*=*=-2.3 连续系统的频域分析法频域分析法即傅里叶分析法,它是变换域分析法的基石。其中,傅里叶级数是变换域分析法 的理论基础,傅里叶变换作为变换作为频域分析法的重要数学工具。

28、具有明确的物理意义,在不 同的领域得到广泛的应用。一、频率特性的基本概念变换域分析的基本思想:将复杂信号分解为基本信号之和或积分的形式, 再求出系统对基本信号的响应,从而求出系统对给定信号的响应(零状态响应。 图 2-1任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数 jwt e wt wt , cos(, sin(之和。 具有一定幅度和相位, 角频率为 w 的虚指数函数 jwt Fe 作用于 LTI 连续系统时, 所引起的响应 (零 状态响应是同频率的虚指数函数,可表示为:jwtjwtFejw H Ye= (系统的影响表现为频率响应函数 H(jw,它是信号角频率 w 的函数,而与时间

29、 t 无关,用于 系统分析的独立变量为 w ,故称之为频域分析。可推出:Y(jw=H(jwF(jw。频率特性有三种图示法:1、幅相频率特性:可以表示成代数形式或极坐标形式。 极坐标图 Nyquist 图(奈奎斯特图、简称奈氏图。设系统或环节的传递函数为11011. . (a sa sa b s b sb s G n n nn m m m m +=-(jV w U ew A jw R jw C jw G w j +=(A (w 幅频特性; G (jw 的模(w 相频特性; G (jw 的幅角 U (w 实频特性; G (jw 的实部 V (w 虚频特性; G (jw 的虚部都是 w的函数,之间的

30、关系用矢量图来表示 图 2-22、对数坐标图(伯德图简称伯氏图3、复合坐标图(尼克尔斯图,简称尼氏图一般用于闭环系统频率特性分析的 例:无源 RC 网络,如图 2-2所示,输入:r(t=Asinwt 图 2-3解:电容 C 的等效复阻抗为Cj 1,则输出量:Cj i c =式中:CjR r i 1+=电路输出电压与输入电压的复数比:(1111+=+=jT RCj rcj G(RC 这就是无源 RC 网络的频率特性。第 3章 应用 Matlab 在时域中分析二阶连续时间系统 3.1 概述及求解方法二阶连续时间线性非时变系统(LTI 可以用如下的线性常系数微分方程来描述:2 ( ( ( ( ( (

31、0'1'' 0'1'' 2+=+-m t f b t f b t f b t y a t y a t y a m m ,其中系统的初始条件为 . 0(, 0(, 0(' ' ' -y y y系统的响应一般包括两部分, 即由当前输入所产生的响应 (零状态响应 和由历史输入 (初 始状态所产生的响应(零输入相应。对于低阶系统,一般可以通过解析的方法得到响应。但 是,对于高阶系统,手工计算比较麻烦,也比较困难,这时 MATLAB 强大的计算功能就能比较 容易地确定系统的各种响应,如冲激响应、阶跃响应、零状态响应、零输入响应和全响

32、应等。在 此只是从二阶系统开始应用 MATLAB 来进行时域分析,然后可以扩展到高阶系统。 涉及到以下 MATLAB 函数:1、 impluse 函数:计算并画出系统的冲激响应。 2、 step 函数:计算并画出系统的阶跃响应曲线。3、 lsim 函数:计算并画出系统在任意输入下的零状态响应。3.2 状态变量分析法状态变量分析法是分析电路与电系统的一种系统化的方法。系统的状态是指一个系统的过 去。现在和将来的状况。从抽象的意义上讲,状态变量是指一组描述系统状态的最少独立变量 x(t=(Tn t x t x t x t x , , , , 321 它具有以下的两个特点:(1 在任何初始时刻 0t

33、 ,状态变量 x (Tn t x t x t x t x t 00302010, , , , =确定了系统的初始状态,此处 T 表示转置。(2 若已知系统的初始状态 (0t x ,当 t 0t 后,系统施加的输入为 u(t,则可以完全确定系 统的未来的性能变化。例 3-1 研究图 3-1所示的电路,试建立该网络的状态方程。 图 3-1解 :如图 3-1所示,电路中有两个储能元件,可选取电感电流 2i 和电容电压 c u 为状态变量,记 为 x 1=2i , c u x =2,在节点 B 处列写 KCL 方程:Cdtdu c +3i 2i =0 (3-1a 在该图中间的回路 中列出 KVL 方程

34、(在图中所示的规定的正方向下0_552=+R i u dtdi L c (3-1b 式(3-1a 和(3-1b 是两个描述电路性能的基本微分方程,也是我们导出状态方程的出发 点。将元件参数代入(3-1a 可得021132=-+x i x此处, 3i 为非状态变量,可以进一步找到它与状态变量 2x 的关系32433x R R u i c =+=故有0321122=-+x x x (3-2从式(3-1b 有02521=-+i x x (3-3此处 5i 又是一个非状态变量,我们设法将其用状态变量 21, x x 表示(12122122152x x x t v i R R v dt di Lt v

35、i i i s cs -=-+-=-=将上式 5i 代入(3-3有(0212121=-+x x x t v x x s (3-4于是我们从式(3-2和(3-4可整理得到下列一阶微分方程组:(t v x x x s 21211+-=212322x x x -=写成规范化得状态方程为Bu Ax x +=式中A=-2211B=02 u=(t v s从这个例子中可以看出, 在建立状态方程中较困难的一步是如何地将非状态变量用状态变量来表示。例 3-2 已知系统的状态方程为 u b dtdu b dtu d b y a dtdy a dty d 012220122+=+ (3-5,试建立该系统的状态方程。

36、解:设第一个状态变量为 x u b y 21-=则 y=x1+b2udtdu b dtdx dtdy 21+=dtu d b dtx d dty d 2221222+=(3-6将式(3-5带入上(3-6得u b dtdu b dtu d b u b a x a dtdu b a dtdx a dtu d b dtx d 0122220102111222212+=+即得(u b a b dtdu b a b x a dtdx a dtx d 0002111011212-+-=+令第二个状态变量为 (u b a b dtdx x 21112-=则(u b a b x dtdx 21121-+= (

37、3-7a(dtdu b a b dtdx dtx d 2112212-+=(3-7b将式 (3-7a和 (3-7b代入式(3-6,加以整理得(u b a b a b a b x a x a dt从 (3-7a和式(3-8便可导出规范型的状态方程,即有( uB x A xu b a b a b a b b a b x x a a dt dx dt dx-+-=本例中状态变量 1x 是取 y 与 u 的线性组合, 2x 是取 的 与 u , u y 线性组合,即u b y x 21-=(u b a b dtdu b dtdy u b a b dtdx x 211221112-=-=因此,状态变量的

38、选取有多种多样的方式,当选取不同的状态变量后,所导出的状态方程也 互不相同。1、系统微分方程到状态方程的转换MATLAB 提供了了一个 tf2ss 函数,它能把描述系统的微分方程转化为状态方程,调用形式 如下A.B,C,D=tf2ss(num,den其中 num,den 分别表示系统函数 H(s的分子和分母多项式, A , B , C , D 分别为状态方程的 矩阵。例 3-3一系统的微分方程为 (t f t y t y t y =+10 (5 (' ' ' 解:该系统的 H(s为 H(s=105s 12+s由 A.B,C,D=tf2ss(1, 1 5 10可得A=11

39、05- B=01C=0 1 D=0所以系统的状态方程为=21x x (t f x x +010110-5-21(=2110x x t y 2、系统状态方程系统函数矩阵 H(s的计算利用 MATLAB 提供的函数 ss2tf ,可以计算出由状态方程得到的系统函数矩阵 H(s,调用 形式如下:num,den=ss2tf(A,B,C,D,n;其中 A,B,C,D 分别表示状态方程的矩阵; n 表示由函数计算的与第 n 个输入相关的系统函 数,即 H(s的第 n 列。 num 表示第 n 列的 m 个元素的分子多项式, den 表示 H(s公共的分母多 项式。例 3-4已知某连续时间系统的状态方程和输

40、出方程为(+=t f t f t x t x t x t x 21212101101032(+-=t f t f t x t x t y t y 21212101011011 用 MATLAB 计算该系统的函数矩阵 H(s。 解:由A=2 3; 0 -1; B=0 1; 1 0; C=1 1; 0 -1; D=1 0; 1 0; (; 1, , , , 211D C B A tf ss A B =,(; 2, , , , 2, 22D C B A tf ss A B =可得Num1= 1 0 -1 1 -2 0 den1= 1 -1 -2num2= 0 1 10 0 0 den2= 1 -1

41、-2所以系统函数矩阵 H(s为 (-+-=0211221222ss s s s s s H =+-+012121s ss s s3、用 MATLAB 求解连续时间系统的状态方程连续时间系统的状态方程的一般形式为(t Df t Cx t y t Bf t Ax t x +=+=首先由 sys=ss(A, B , C , D 获得状态方程的计算机表示模型,然后再由 lsim 函数获得其状 态方程的数值解。 Lsim 函数的调用形式为(0, , , ,x t f sys lsim x toy =Sys 表示由函数 ss 构造的状态方程模型; t 表示需计算的输出样本点, t=0:dt:tfinal;

42、 f(:,n表 示系统第 n 个输入在 t 上的抽样值; 0表示系统的初始状态(可缺省; y(:,n表示系统的第 n 个 输出;To 表示实际计算时所用的样本点; x 表示系统状态。 例 3-5用 MATLAB 计算例 3-4的数值解。 解:A=2 3 ; 0 -1; B=0 1; 1 0;C=1 1; 0 -1; D=1 0; 1 0;120-=x ;dt=0.01; t=0:dt:2;f (; 1, 1t length ones =:,(; *3exp 2:,f t -=sys=ss(; , , , D C B A y=lsim(0, , , sys x t f ; subplot(2,1

43、,1; plot (; ' ' , 1:, r y t ylabel (; ' ' 1t y xlable (; t subplot(2,1,2; plot (:,2f t, ; ylabel (; y 2 t xlable (; t 其数值解如图 3-2所示 图 3-2 连续时间系统状态方程的数值描述电路或系统的动力学方程都具有统一的规范化的表达形式,即状态方程可以表示为Bu Ax x +=,输出方程可以表示为 y=Du Cx +的形式;(1 从本质上讲,它是一种时域分析法,因为状态方程和输出方程均为一阶常微分方程组,而求取它们的解析解和数值解均有成熟的方法可

44、供使用;(2 状态变量 分析不仅揭示了网络和 系统中的响应和激励 之间的关系,而且还揭 示了 系统内部的各 种物理量(各个状态变量的变化 规律,或者在 n 维空间中反映系 统的一种 特有规律 ,从而使人们对系统的 性能有更深入与本质的理解 ,并能够采取一定的 措施来改 善系统的性能 ;(3 状态变量 分析法是统一的分析方 法,它可用复频域的 方法和时域的方法来分 析和 处理连续或离 散系统。可控制性与可观测性是线性系统的两个基本问题,它与系统的稳定性一样,从不同侧面反映 系统的特性。系统的可控制性反映着输入对于系统状态的控制能力;可观测性反映着系统的状态对于输出的影响能力。 对于一个线性时不变

45、系统而言, 如果其输 入能够激发出系统的所有固有频率,就称它是可控制性的;如果其输入为零,在零输入响应,它 的全部固有频率项在输出中都可以观察到,则称为可观测的。3.3 简单实例例 3-3 求系统的冲激响应和阶跃响应MATLAB 程序如下:a=1 6 8;b=3 9;t=0:0.1:10;sys=tf(b,a;y1=impulse(sys,t;subplot(2,1,1;plot(t,y1;xlabel('时间 (t'ylabel('y1(t'title('单位冲激响应 'y2=step(sys,t;subplot(2,1,2;plot(t,y2

46、;xlabel('时间 (t'ylabel('y2(t'title('单位阶跃响应 '程序运行结果如图所示: 图 3-3例 3-4 求系统 0 0( 0( (cos ( (' ' ' =+y y t t t y t y , 的全响应。 MATLAB 程序如下: a=1 0 1; b=1; t=0:0.1:10; x=cos(t;sys=tf(b,a;y1=lsim(sys,x,t; %求系统在正弦激励下的零状态响应 subplot(2,2,1; plot(t,y1;xlabel('时间(t ' ylabel

47、('Yzs(t' title('零状态响应 'zi=-1,0;y2=lsim(sys,x,t,zi; %求系统的全响应 subplot(2,2,2; plot(t,y2;xlabel('时间(t ' ylabel('Y(t' title('全响应 '运行结果如图 3-4所示: 图 3-43.3 二阶电路时域分析如图 3-4 所示为一个 LC 二阶低通滤波网络。 图 3-5电路在信号处 理过程中,电路参 数的选择相当重要 ,它决定了信号处理的正确性 和质 量好坏,从数 学角度上来看,信号处理过程其 实是微分方程求解转

48、化为差分 方程的过程, 而模拟信号是 一个物理过程,可以等价于微分 方程,首先对 LC 二阶低通滤波网 络输入与 输出信号之间 的关系进行了数学建模 ,得到了一个带初始条件 的微分方程,然后 对微分方 程进行变换, 得到了 LC 二阶低通 滤波网络信号的传递函数,基 于 MATLAB 对 它 的时域 进行仿真和分 析。1、 LC 二阶低通滤波网络数学建模 由321i i i +=dtt dy Cdtdq c (i 2=(i 3t y R =(q t y C c =( (u t x t y L =+dtdi LL 1u =则 dtdy R dty d Cdtdi dtdi dtdi 122321

49、+=+=所以x y dtdy R L dty LC=+22d若初始时刻,电路两端无电荷积累,即:0 0(y =0|dy 0=t dt则 LC 二阶滤波网络可以归结为一个带初始条件的二阶微分方程:xy dtdy R L dty LC=+22d 10|dy C dtt = 2 0(y C =2、 LC 二阶低通滤波网络传递函数的获得先对微分方程作拉普拉斯变换得:( ( ( (2S X S Y S SY RL S Y LCS =+传递函数:LCC RC SLC S X S Y S H 111( ( 2+=(令 S=jw 则11 jw (2+-=jw R L LCwH而 Qw RCLCc =1w 12

50、c 则222w (cc c w S Qw SS H +=3、 利用 MATLAB 对 LC 二阶低通滤波网络的时域进行仿真分析, 分别得到了当 c w =5 时的单位 阶跃曲线(阻尼响应曲线; c w =2, 4, 6, 8, 10, 12 时的单位阶跃响应曲线。 执行以下程序得 c w =5 时的单位阶跃响应曲线(阻尼响应曲线: c w =5; Q=0.1:0.2:2; figure(1; hold on; for i=1./Q; num=wc.2; den=1,i*wc, wc.2;step(num,den; End 图 3-6 c w =5 时 LC 二阶低通滤波网络的阻尼响应曲线由曲线

51、可以看出,过阻尼和临界阻尼响应曲线中,临界阻尼响应具有最短的上升时间,响应最快,在过阻尼响应曲线中,阻尼系数 (Q21= 越小,超调量越大,上身时间越短,根据工程实践,一般取 Q=0.7 左右,这时的超调量适度,上升实践也短。执行以下程序得 wc =2, 4, 6, 8, 10, 12 时的单位阶跃响应曲线:w=2:2:12; Q=0.707; figure(1; hold on for c w =w; num=wc.2; i=1.0/Q;den=1,i*wc,wc.2;step(num,den; END 图 3-7 Q=0.707, wc =2, 4, 6, 8, 10, 12 时的单位阶跃

52、响应曲线由上图可知:在品质因数 Q 一定时, wc 越大,系统的响应时间就越快 4、 小 结一般地, 一个 n 阶信号处理系统都对应着一个 n 阶常系数微分方程, 一个 n 阶微分方程通过 拉普拉斯变换可以得到信号的传递函数, 由于传递函数的获得, 可以用相关软件对电路进行分析、 设计与验证,本文用到的 MATLAB 软件提供了大量分析控制系统时域特征的工具函数,这些函 数不仅适用于分析连续系统和离散系统,而且也适用于分析传递函数或状态空间表示的系统模 型,正因为如此,才使得各种信号处理系统地开发及应用有了快速的发展。第 4章 应用 Matlab 在频域中分析二阶连续时间系统4.1 概述及求解

53、方法设线性时不变(LTI 系统的冲击响应为 h(t,输入的激励信号为 f(t,由信号与系统时域分析 理论可得该系统的零状态响应 y(t为y(t=h(t*f(t又设 f(t*h(t及 y(t的傅里叶变换分别为 F(jwH(jw及 Y(jw在频域上的关系为Y(jw=H(jwF(jw连续系统的频率响应 H(jw定义为系统零状态响应的傅里叶变换 Y(jw与系统激励信号的傅 里叶变换 F(jw之比,即H(jw=jw ( (F jw Y若将上式中各项用模和相角的形式表示,则有(y j ejw H H | (| jw (=(w j w j fy ejw F e Y | (| jw (|=通常, H(jw可表

54、示成两个有理多项式 B(jw与 A (jw 的商,即H(jw=( jw (jw A B =01110111 (. ( ( (. (a jw a jw a jw a b jw b jw b jw b n n nn m m m m +- 系统频率响应 H(jw的模 |H(jw|了系统响应与激励信号频率分量的幅反应度之比,称之为系 统幅频特性(或幅频响应。系统频率响应 H(jw的相角 (反映了系统响应与激励信号频率分 量的相位之差,称为系统的相频特性(或相频响应。若以频率 w 为横坐标, 以 |H(jw|为纵坐标, 可以绘出系统幅频响应 |H(jw|随频率的变化曲线, 该曲线直观的反映了系统对激励信号不同频率分量幅度的处理情况, 称为幅频特性曲线。 同理也 可绘出系统相频响应 (随频率的变化曲线, 该曲线直观地反映了系统对激励信号不同频率分量 相位的处理情况,称为相频特性曲线。当周期信号的周期无限增大时,周期信号就转化为非周期信号。对非周期信号(T ,由于其各次谐波幅度将趋近于