高数一全套公式22690

1、.初等数学基础知识一、三角函数1公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin2( )+cos2( )=1; tan2( )+1=sec2( );cot2( )+1=csc2( )·商的关系：tan =sin /cos cot =cos /sin ·倒数关系：tan · cot ; =1sin · csc ; =1cos · sec =1三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos( + )=cos · cos-sin· sin cos( - )=cos · cos +sin

2、83; sin sin( ± )=sin · cos ± cos · sin tan( + )=(tan +tan -tan)/(1· tan )tan( - )=(tan -tan )/(1+tan· tan )倍角公式：sin(2 )=2sin · cos cos(2 )=cos2( )-sin2( )=2cos2( -)1=1- 2sin2()tan(2 )=2tan -/1tan2( )·半角公式：sin2( /2)=(1- cos )/2cos2( /2)=(1+cos )/2tan2( /2)=(1-c

3、os )/(1+cos)tan( /2)=sin /(1+cos -cos)=(1 )/sin·万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)·积化和差公式：sin · cos =(1/2)sin( +-)+sin()cos · sin =(1/2)sin(- sin(+)-)cos · cos =(1/2)cos( + )+cos(-) sin · sin-=(1/2)cos( +-)cos( - )·

4、;和差化积公式：'.sin +sin =2sin( + )/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( + )/2sin(- )/2cos +cos =2cos( + )/2cos(- )/2cos -cos =-2sin( + )/2sin(- )/22特殊角的三角函数值0( 0 )6432f ( )(30 )(45 )(60 )(90 )cos13 / 22 / 21/ 20sin01/ 22 / 23 / 21tan01/313不存在cot不存在311/ 30只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。456021214530133

5、诱导公式：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg 记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，

6、第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式b24ac000'.一元二次函数yax 2bxc(a0)x1x2x1.2有二互异实根有二相等实根 (有一根 )一元二次方程bb 24acbax2bxc0x1, 22ax1,22a一元(x1x2 )b二ax 2bx c0 或 x次x x1x x22a不等式ax 2bx c0x1x x2x(a0)三、因式分解与乘法公式(1)a2b2(ab)( ab)(2) a22abb2(ab) 2(3)a22abb2( ab)2(4) a3b3( ab)(a2abb2 )(5)a3b3( ab)( a2

7、abb2 )(6) a33a2b 3ab2b3(ab)3(7) a33a2b 3ab2b3(ab)3(8)a2b2c22ab2bc2ca(abc)2(9) anbn( ab)( an1an2bLab n2bn 1),( n 2)四、等差数列和等比数列1. 等差数列通项公式： ana1 n1 d前 n项和公式n a1an或 Snna1n n 1Snd222. 等比数列 GP通项公式ana qn 1a 0， q 01n.无实根x Rx'.前 n项和公式 .a11qn1Sn1qqna1q1五、常用几何公式名称符号正方形a 边长长方形a 和 b边长三角形a,b,c 三边长h a 边上的高s周长

8、的一半A,B,C 内角其中 s(a+b+c)/2平行四边形a,b 边长h a 边的高两边夹角菱形a边长夹角D 长对角线长d短对角线长梯形a 和 b上、下底长h高m中位线长圆r半径d直径扇形r 扇形半径a 圆心角度数圆环R 外圆半径r内圆半径D 外圆直径d内圆直径椭圆D 长轴d短轴.平面图形周长C和面积 SC 4aS a 2C 2(a+b)S abSah/2 ab/2 ·sinC s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2a2sinBsinC/(2sinA)S ah absin S Dd/2 a2 sin S (a+b)h/2 mhC d 2r2S r2 d/4C 2r 2 r 

9、5; (a/360)2S r×(a/360)S (R2 -r2 ) (D2-d 2)/4S Dd/4'.立方图形名称符号表面积 S 和体积 V正方体a边长S 6a2V a3长方体a长S 2(ab+ac+bc)b宽V abcc高圆柱r底半径C2rh高S2C 底面周长底rS 底 底面积S 侧ChS 侧 侧面积S表Ch+2S2底= Ch+2r表 表面积2SVS底 h rh圆锥r底半径2V rh/3h高球r半径3V 4/3 rd直径3 d/62S= 4r2 d基本初等函数名表达式定义域称常数yCR函数随而异，幂yx但在R 上函均有定义数图形特性yC0x1.8过点 (1，1);1.6y

10、=x3y=x0时在 R1.41.2y=x1/31单增；0.8y=x-10.60时在 R0.4y=x -20.2单减00.20.40.60.811.21.41.61.80'.指y ax数a 0函a1数对ylog a x数 a 0函 a 1数正弦y sin x函数余弦y cosx函数RRRR4.54y=ax3.532.520<a<11.510.50-0.5-2-1.5-1-2.5yOy1- /2O-1y1-/2O-1yxy=a(0,1)o x-0.500.511.522.5y=logxaa>1(1,0)x0<a<1y=log ax3/2/22x/23 /22x

11、y.y 0 过点 0,1 a 1单增0a1单减maman am n , aam n , am n am nan过点 1,0 a 1单增0 a1单减log a a1,log a 10,M , N0log aMNlog a Mlog a N ,log aMlog a Mlog a N ,Nlog a M pP loga M ,log a blog cb0,1 ,clog c alog a axx( x0)aloga xx( x0)奇函数T 2 y 1偶函数T 2 y 1奇函数正y tan xxk切2-/2O/2x函k Z数T 在每个周期内单增'.余切y cot x函数反正弦 y arcsi

12、n x函数反余yarccosx弦函数反正切 y arctanx函数反余切 y arccot x函数极限的计算方法一、初等函数：yxk ,k Z-Oxy/21,1-1o1x-/2y1,1/2-1o1xy/2Rox-/2yR/2ox.奇函数T 在每个周期内单减奇函数单增y 22单减0y奇函数单增y 22单减0y'.1.lim C是常值函数）C(C若fx（即fx是有界量），（即 是无穷小量），lim f x0,2.Mlim0特别 : fxClim C0若fx（即fx是有界量）limf x3.M0,特别 : fxC C0lim C04.limCC00C05.未定式1 0 型0分子,分母含有相同

13、的零因式,消去零因式A.等价无穷小替换(常用x1 x,lnx1 x)B.sin x x, e洛必达法则 ：要求f x , gx存在且limfx 存在,此时f xfxC.,gx, limlimxg xg2 型A.忽略掉分子, 分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大, 保留最高阶的无穷大, 再化简计算B.分子 , 分母同除以最高阶无穷大后, 再化简计算 .C.洛必达法则 .3 型通过分式通分或无理函数有理化,转化为 "0"型或 ""型01040转化为0 01 0500 型求对数060 型求对数0171 型通过 lim 1 x xx 0e 或求对数来计算 .二、分段

14、函数： 分段点的极限用左, 右极限的定义来求解.切线方程 为： y y0 f (x0 )( x x0 )法线方程 为 y y01( x x0 )f (x0 )基本初等函数的导数公式'.(1)(C )0，C是常数(2)( x)x1(3)x)axln a ，特别地，当ae（ ex） ex(a时，(4)(log a x)1， 特别地，当 ae 时，（ ln x ）1xx ln a(5)(sin x)cos x(6)(cos x)sin x(7)(tan x)1sec2 x(8)(cot x)1csc2 xcos2 xsin 2x(9)(sec x) (sec x) tan x(10)(csc

15、 x)(csc x) cot x(11)(arcsin x)1(12)(arccosx)11x21 x 2(13)(arctan x)1(14)(arccot x)1x21 x21函数的和、差、积、商的求导法则函数 u u(x) 及 v v(x)都在点 x 可导 ， u( x) 及 v( x) 的和、差、商 ( 除分母为0 的点外 ) 都在点 x 可导 ,(1) u( x)v( x)u ( x)v ( x)(2)u(x)v( x)u (x)v(x) u( x)v (x)(3)u( x)u (x)v( x) u(x)v ( x)( v( x)0 )v( x)v 2 ( x)基本初等函数的微分公式

16、(1)、 dc0 ( c 为常数 )；(2)、 d( x)x 1dx (为任意常数 )；(3)、 d( ax ) a x ln adx ，特别地，当 ae 时， d (ex )exdx ；(4)、 d(log a x)1dx ，特别地，当ae 时， d (ln x)1 dx ；x ln ax(5)、 d(sin x)cos xdx ；(6)、 d(cos x)sin xdx ；(7)、 d(tan x)sec2xdx ；(8)、 d(cot x)csc2 xdx ；(9)、 d(sec x)secx tan xdx ；(10)、 d (csc x)csc xcot xdx ；'.(11

17、)、 d (arcsin x)1dx ；1x2(12)、 d (arccos x)1dx ；1x2(13)、 d (arctan x)1；1 x2 dx(14)、 d ( arc cot x)1dx 1x2曲线的切线方程yy0f '(x0 )( xx0 )幂指函数的导数v xv xuxu x' u xv x ln u x v xxu极限、可导、可微、连续之间的关系极限连续可导可微条件 A条件 B，A 为 B 的充分条件条件 B条件 A，A 为 B 的必要条件条件 A条件 B，A 和 B 互为充分必要条件边际分析边际成本MC = C (q) ；边际收益MR = R (q) ；边际

18、利润ML = L (q) ， L (q)R (q)C (q) = MR MC弹性分析Eyx0 y ( x0 )y f ( x) 在点 x0处的弹性，Ex x x0y0p D ( p)特别的，需求价格弹性：EDEpD罗尔定理若函数 f ( x) 满足： (1)在闭区间 a,b 连续；(2) 在开区间 ( a, b) 可导；'.(3)f (a)f (b) ，则在 ( a,b) 内至少存在一点，使 f ( )0 拉格朗日定理设函数 f ( x) 满足 :(1) 在闭区间 a,b 连续；(2) 在开区间 ( a,b) 可导，则在 ( a, b) 上至少存在一点，使得 f ( )f (b)f (

19、 a) ba基本积分公式(1) 0dx C(2)kdxkxCk为常数特别地： dx x C(3)x dxx1C11(4)1ln | x |C（有时绝对值符号也可忽略不写）dxx(5)a x dxa xCln a(6) ex dx ex C(7)cosxdxsin xC(8)sin xdxcosxC(9)dxxsec2xdxtan xCcos2(10)dxcsc2xdxcot xCsin 2 x(11)secx tan xdxsecxC(12)cscx cot xdxcscx C(13)dxarctan xC （或dxarc cot x C ）1x 2x 21(14)dxarcsin xC （或

20、dxarccos x C ）1x21 x 2(15)tan xdxln | cos x |C ，(16)cot xdxln | sin x |C ，(17)secxdxln | secxtan x |C ，'.(18) cot xdxln | csc xcot x | C ，(19)dx1arctanxC ， (a0) ，a2x2aa(20)a2dxx21 ln xaC ， (a0) ，2a xa(21)dxarcsinxC ， (a0) ，a 2x2a(22)dxa 2ln xx 2a 2C ， (a 0) x 2常用凑微分公式(1)、dx1d ax为常数且a 0ab a, b,(2

21、)、 xdx1 d x22(3)、 12 dxd1xx(4)、 1dx2dxx(5)、 1 dxd ln xx(6)、 ex dxde x(7)、 sin xdxdcosx(8)、 cosxdxd sin x(9)、 sec2 xdxd tan x(10)、 csc2xdxd cot x(11)、1dxd arcsin x1x2(12)、1dxd arctan xx21dyP( x ) dxP ( x) dx一阶线性非齐次微分方程的通解为 y eQ( x)edx CP( x) y Q (x)dx'.平面图形面积的计算公式y1)区域 D 由连续曲线yf ( x), yg( x)和直线 x

22、=a,x=b 围成 ,其中y g (x)f (x)g (x)( ax b)（右图）bD的面积 Ag ( x)f (x) dxayf ( x)0abxyx( y), xd2)区域 D 由连续曲线( y)x( y)x( y)和直线 x=c,x=d 围成 ,其中( y)( y) c ydc（右图）0xdD的面积A( y)( y) dyc平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1 、绕 x 轴的旋转体体积（右图）Vb2 ( x) dxxfa注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴2、绕 y 轴的旋转体体积（右图）Vyd2 ( y)dygc注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴由边际函数求总函数q(C 0C (0) 为固定成本）qC (