lry-偏微分方程的推导课件

1、lry-偏微分方程的推导1第第2章章 偏微分方程偏微分方程2.1引言引言lry-偏微分方程的推导2n方程的阶数：方程中出现的偏导数的最高阶数。n线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。n非线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。n拟线性方程：在非线性方程中，若仅对未知函数的所有最高阶导数是线性的。lry-偏微分方程的推导3n自由项：在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项。n齐次方程：自由项为零。n非齐次方程：自由项不为零。222222222( , )( , )( , )( , )()0( , )

2、zza x yb x yc x yxyuua x yxyuuf x yxy一阶、线性、非齐次二阶、拟线性、齐次二阶、非线性、非齐次lry-偏微分方程的推导4在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函数。2222222222()0(),sin(),4 ()cos()xyzf xyyzxzfzxyzxyzxyxy是的通解，其中 是任意函数。如：都是该方程的特解。22222222,cos ,ln()0 xuuuxy uey uxyxy都满足：22cos ,sinttuuuex uextx都是方程的通解。lry-偏微分方程的推导5结论：n偏微分方程的通解包含有任意函数，或者说其通解形式是不确定的。 因此

3、解偏微分方程，一般不是先求通解，后由定解条件确定特解（只有少数情况例外），而是直接求特解。n一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，它可以有很多不同形式的特解。所以可称为泛定方程。lry-偏微分方程的推导62.2二阶偏微分方程的分类( , )( , , ,)0 xyxxxyyyu x yF x y u u u uuu只讨论两个自变量的二阶线性方程。若未知函数与它的一阶、二阶偏导数存在关系式：22222,20, , , , ,xyxxxyyyxxxyyyxyuuuuuuuuuuxyxx yyAuBuCuDuEuGufA B C D E G fx y 其中：具体表示为：若都只是的函

4、数 则上式称为线性二阶偏微分方程。( , )( , )0ff x yf x y若系数为常数，则称为常系数线性二阶方程，其中为已知函数，即自由项。当，方程为齐次的，反之为非齐次方程。lry-偏微分方程的推导72, ,( , )10,0 xxxyA B CMM x yMBACuu方程中系数的取值决定二阶线性方程的分类：为方程中自变量域内的任意一点。（)若在点有：则方程在该点处为双曲线型的。例如：220,0yxxMBACuu（ )若在点 有：则方程在该点处为抛物线型的。例如：230,0 xxyyMBACuu（ )若在点有：则方程在该点处为椭圆型的。例如：lry-偏微分方程的推导8, ,A B Cx

5、yM由于可以是的函数 所以同一方程，对于不同区域的点可以是不同类型的方程。2200 xxyyxyxuyuyuxuBACxyxy 例如：000 xyxyxy当时，双曲线型；当时，抛物线型；当时，椭圆型。lry-偏微分方程的推导922() () 0 ttxxyyzztxxyyzzxxyyzzua uuuua uuuuuu双曲线型：波动方程抛物线型：热传导方程椭圆型：拉普拉斯方程或稳态方程lry-偏微分方程的推导102.3 基本方程的导出基本方程的导出泛定方程的建立也就是把物理规律泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译翻译”成数学物理方程。成数学物理方程。微元法：微元法：先选择表示系统运动状态的物理量

6、，再任取体系中的先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。一、弦的横振动方程一、弦的横振动方程几个条件：几个条件： 均匀细绳：均匀细绳：为常数，作为一维空间来处理（细绳）；为常数，作为一维空间来处理（细绳）； 轻绳：轻绳：忽略重力影响；忽略重力影响； 柔软：柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线；横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线； 微小振动：微小振动：弦切线与弦切线与x轴夹角轴

7、夹角0 0或或 ； 横向振动：横向振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向.lry-偏微分方程的推导1112dxduds1T2Tx,u x txux dxu设弦的平衡状态沿设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平方向，且在同一平面振动面振动.2211coscos0 xTT 方方向向：由于是微振动：由于是微振动：120, 0, 2411112cos124cos1, cos1, ！略略去去高高于于一一次次方方的的各各就就有有同同理理210TT 21TTT lry-偏微分方程的推导12根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：222112usinsinguTTdsdst

8、 方方向向：11222( , )(, ) sin, sin1tgu x tu xdx ttgtgxxtg 22(, )( , )u xdx tu x tuTgdxdxxxt21udsdxdxx 120, 0, 22(, )( , )( , )( , )u xdx tu x tu x tu x tdxdxxxxxx lry-偏微分方程的推导13222222( , )ux tuTg dxdxxtugt 弦弦振振速速度度化化很很快快，即即2222uuTdxdxxt 22220uTutx 222220,uutx T 令令弦的自由横振动方程弦的自由横振动方程2ttxxu -a u= 0或写成：或写成：l

9、ry-偏微分方程的推导14受迫振动情况：受迫振动情况：12dxduds1T2T,u x txux dxuFdx力密度力密度F (x,t)：单位长度的弦所受的横向外力单位长度的弦所受的横向外力. 2212,x dxxuuuTTF x t dxdxxxt 2222,uuTdxF x t dxdxxt lry-偏微分方程的推导15 2222,F x tuTutx 2222,uTufx ttx ,F x tfx t 单位质量的单位质量的弦所受的横弦所受的横向外力向外力f(x,t)u与无 关 ,称 为 自 由 项 。包 含 有 非 零 自 由 项 的 方 程 称 为 非 齐 次 方 程 。自 由 项 恒

10、 等 于 零 的 方 程 称 为 齐 次 方 程 。lry-偏微分方程的推导16（二）热传导方程（二）热传导方程热传导：热传导：由于温度不均匀，热量从温度高向温度低的由于温度不均匀，热量从温度高向温度低的地方转移地方转移.热流通量：热流通量：单位时间内通过单位横截面积的热量单位时间内通过单位横截面积的热量.实验结果：实验结果： qk u ijkxyz 哈密顿算符哈密顿算符k导热系数导热系数uuuqk ukikjkkxyz , , .xyzuuuqkqkqkxyz lry-偏微分方程的推导17 , , ,u x y z t为系统（为系统（x,y,z）点在）点在t时的温度时的温度xyz, ,x y

11、 z,xdx ydy zdzdzdxdyxxdxxxqxx dxqo单位时间沿单位时间沿x方向流入小六面体的热量：方向流入小六面体的热量：,xxxuqdydzkdydzx 单位时间沿单位时间沿x方向流出小六面体的热量：方向流出小六面体的热量：,xx dxx dxuqdydzkdydzx 单位时间沿单位时间沿x方向净流入小六面体的热量：方向净流入小六面体的热量：xx dxuuukdydzkdydzkdxdydzxxxx lry-偏微分方程的推导18, uukdxdydzkdxdydzyyzz同理，单位时间内沿同理，单位时间内沿y, z方向净流入小六面体的热量方向净流入小六面体的热量分别是：分别是

12、： uuukdxdydzkdxdydzkdxdydzxxyyzz 单位时间内沿单位时间内沿x, y, z方向净流入小六面体的总热量分方向净流入小六面体的总热量分别是别是:lry-偏微分方程的推导19单位时间内小六面体热量的增加是单位时间内小六面体热量的增加是:ucdxdydztt uuuuc dxdydzkdxdydzkdxdydzkdxdydztxxyyzz 1110uuuukkktcxxcyyczz 2222220ukuuutcxyz 在各向同性条件下：在各向同性条件下：lry-偏微分方程的推导2022222220,uuuutxyz kc 温度传导系数温度传导系数或写成：或写成：20tuu

13、 热传导方程热传导方程一维空间：一维空间：20txxuu 二维空间：二维空间： 20txxyyuuu lry-偏微分方程的推导21 讨论：讨论：1、有热源存在情况下、有热源存在情况下.热源强度热源强度F (x,y,z,t)：单位时间单位体积热源放出的热量。单位时间单位体积热源放出的热量。 , , ,uuuuc dxdydzkkkdxdydz F x y z t dxdydztxxyyzz 2222222, , ,F x y z tuuuutxyzc 2222222, , ,uuuufx y z ttxyz , , , , ,F x y z tfx y z tc 其其中中：f 0称为热源，称为热

14、源，f 0称为热汇称为热汇.lry-偏微分方程的推导222、稳定的温度分布、稳定的温度分布. , , 0,uuu x y zt 2fu 0u 泊松方程泊松方程拉普拉斯方程（拉普拉斯方程（f = 0）222222 xyz 其其中中拉拉普普拉拉斯斯算算子子lry-偏微分方程的推导232.4 数理方程的定解条件数理方程的定解条件一、初始条件一、初始条件初始条件：初始条件：给出某一初始时刻整个系统的已知条件给出某一初始时刻整个系统的已知条件 00, , 0tttu x txu x txxl 1、传递过程（扩散、热传导）、传递过程（扩散、热传导） 0, , , , , ,tu x y z tx y zx

15、 y zv 热传导（扩散）问题只须给出整个系统的初始温度（浓度）分热传导（扩散）问题只须给出整个系统的初始温度（浓度）分布，而振动问题必须给出整个系统的初始位移何初始速度。布，而振动问题必须给出整个系统的初始位移何初始速度。2、振动过程（弦、杆的振动）、振动过程（弦、杆的振动）从数学上来看，振动方程中从数学上来看，振动方程中u对时间求二次导数，而传递问题对时间求二次导数，而传递问题中中u或或N只对时间一次导数。只对时间一次导数。lry-偏微分方程的推导24（二）边界条件（二）边界条件边界条件：边界条件：给出系统的边界在各个时刻的已知状态给出系统的边界在各个时刻的已知状态1、第一类边界条件：、第

16、一类边界条件：给出边界上给出边界上u的值，的值，1）弦的横振动）弦的横振动 两端固定两端固定 0,0 0 xlu x tt x = 0端位移状态已知端位移状态已知 0, 0 xu x tf tt 2）杆的热传导）杆的热传导 两端处于恒温两端处于恒温uo 0, 0 .oxluut 两端的温度变化已知两端的温度变化已知 120, , 0 .xx luftuftt 总之，这类边界条件直接规定了边界上的数值（可以是随时间总之，这类边界条件直接规定了边界上的数值（可以是随时间变化的数值）变化的数值）.(, )( , )Mu M tf s t(, )( , )Mu M tf s tlry-偏微分方程的推导

17、2500 xuTx 2、第二类边界条件：、第二类边界条件：给出边界上给出边界上u的梯度值，的梯度值，(, )Muf M tn 1）杆的纵振动（两端自由）杆的纵振动（两端自由）00,x=ux 2）杆的热传导（两端绝热）杆的热传导（两端绝热）x = 0，单位时间内流出小薄层的热量为：，单位时间内流出小薄层的热量为：xxuqSkSx o lxxxq xx lq lo ll xxxYSu xx lYSu 0 x=lux 同同理理lry-偏微分方程的推导26000,x=uqx 令令：，得得 0 .t x lukSq Sx xl 在在端端，00,x=luqx 令令：，得得 0 .t 00 x=lux ，

18、0 .t 合并写成：合并写成：杆的热传导（两端有热流强度为杆的热传导（两端有热流强度为f (t)的热流流出）的热流流出）在在x = 0 端端 xukSftSx o lxxxq xx lq llry-偏微分方程的推导27 0,x=f tuxk 得得 0 .t 在在x = l 端端 x lukSf tSx ,x=lf tuxk 得得 0 .t 合并写成：合并写成： 0,x=lf tunk 0 .t 3、第三类边界条件：、第三类边界条件： nuhu 在这类边界条件，即不直接规定边界上的数值，也不直接规定在这类边界条件，即不直接规定边界上的数值，也不直接规定边界上法向导数的数值，而是规定它们之间的某个

19、线性关系。边界上法向导数的数值，而是规定它们之间的某个线性关系。xo lxxq xx lq l f t f tlry-偏微分方程的推导28杆的热传导（两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换）杆的热传导（两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换）牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：单位时间内通过单位横截面积与外界热交换流单位时间内通过单位横截面积与外界热交换流出的热量为出的热量为 ，H 牛顿冷却系数，牛顿冷却系数，u 系统边界的温度，系统边界的温度， 外界的温度外界的温度. Hu 0,x=ukHuHx 得得 0 .t 0,x=uhuhx ,Hhk 令令： 0 .t 0 xxukSH uSx 在在x = 0 端端

20、f tH u 将热流强度将热流强度f (t)写成牛顿冷却定律写成牛顿冷却定律:xo lxxq xx lq l f t f tlry-偏微分方程的推导29在在x = l 端端 .x lx lukSH uSx 0,x=uhuhx 得得 0 .t 0 .t 0,x=luhuhn 合并写成：合并写成：齐次的边界条件齐次的边界条件给出的上述的值为零，则称为是齐次的边条件，即给出的上述的值为零，则称为是齐次的边条件，即f (t) =0.lry-偏微分方程的推导30220(4)4,( , )( )4( )AraAAraCCVa N Dtrra C a tCtaCCtN DdtVr 积分微分边界条件lry-偏微分方程的推导3121111121122222222211221212112(5)1() 1() ( , 0)( )( , 0)( )