《概率论与数理统计》浙大四版第二章123节课件

1、第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散性随机变量及其分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布概率论与数理统计浙大四版第二章123节 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 随机试验的结果数量化随机试验的结果数量化概率论与数理统计浙大四版第二章123节 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点

2、数； 七月份北京的最高温度；七月份北京的最高温度；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；概率论与数理统计浙大四版第二章123节2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 例例1 在一个袋子中有编号为在一个袋子中有编号为1，2，3的的3只球，只球，作放回抽样，抽球两次，观察两只球的号码作放回抽样，抽球两次，观察两只球的号码和和 X两只球的号码和两只球的号码和 ; e样本点样本点 X=X(e)概率论与数理统计浙大四版第二章123节例例

3、2 抛一枚硬币抛一枚硬币3次，观察出现正面的次数次，观察出现正面的次数X出现正面的次数出现正面的次数 ; e样本点样本点 X=X(e)定义在样本空间定义在样本空间S的函数的函数样本点样本点HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX的值的值 3 2 2 2 1 1 1 0概率论与数理统计浙大四版第二章123节定义：定义：随机试验的样本空间为随机试验的样本空间为S=e，X=X(e)是定义在样本空间是定义在样本空间S上的单值实值函数，上的单值实值函数，称称X=X(e)为随机变量为随机变量e.X(e)sR注意：有时随机试验的结果就是一个数，注意：有时随机试验的结果就是一个数，可令

4、可令X(e)=e，则则X=X(e)为随机变量为随机变量概率论与数理统计浙大四版第二章123节这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数学中大家接触到这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？的函数一样吗？概率论与数理统计浙大四版第二章123节（1）它随试验结果的不同而取不同的值，）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概）由于试验结果的出现具有一

5、定的概率，于是这种实值函数取每个值也有一定率，于是这种实值函数取每个值也有一定的概率的概率.随随量量机机变变简记为简记为 r.v. 概率论与数理统计浙大四版第二章123节 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示概率论与数理统计浙大四版第二章123节 例如，从某一学校随机选一例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高学生，测量他的身高. 我们可以把可能的我们可以把可能的身高看作随机变量身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各

6、种问题的各种问题. 如如 PX1.7=？ PX1.5=?P1.5X1.7=?概率论与数理统计浙大四版第二章123节 这时这时,要么要么x1.7米，要么米，要么x 0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布,记作记作X(). 001!,.2 , 1 , 0, 0kkkkekXPkkXP 概率论与数理统计浙大四版第二章123节例例9 某一无线寻呼台某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数每分钟收到寻呼的次数X服从参数服从参数 =3的泊松分布的泊松分布. 求求:(1)一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3次寻呼的概率次寻呼的概率. (2)一分钟内收到一分钟内收到2至至5次寻呼的

7、概率次寻呼的概率.解解: (1)PX=3=(33/3!)e-30.2240 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169概率论与数理统计浙大四版第二章123节泊松定理（泊松分布逼近二项分布）泊松定理（泊松分布逼近二项分布），数数则则对对任任一一固固定定的的非非负负整整为为任任意意正正整整数数，设设为为一一常常数数，knpnn,0 ekppknkknnknn!)1(lim概率论与数理统计浙大四版第二章123节求二项分布的概率的近似计算求二项分布的概率的近似计算例：某批产品次品率为例：某批产品次品率

8、为0.1%，各产品为次品相，各产品为次品相互独立，求互独立，求1000件产品中至少件产品中至少2件次品的概率。件次品的概率。）（npekppknkknk !)1(解：解：X为次品数，为次品数，Xb(1000,0.001)2642411. 01012 XPXPXP2642411. 011012, 111 eeXPXPXP 05. 0,20 pn概率论与数理统计浙大四版第二章123节第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散性随机变量及其分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布概率论与数理统计浙大四版第二章123节对于非离散型随机变量对于非离散型随机变量X，往往考虑

9、以下往往考虑以下事件发生的概率事件发生的概率21xXxP 1221xXPxXPxXxP 而而只需研究只需研究2xXP 概率论与数理统计浙大四版第二章123节 |xX x一、定义：一、定义：设设 X 是一个是一个 r.v.，x是一任意实数，称是一任意实数，称)(xXPxF 为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作F (x). 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间,(x的概率的概率.概率论与数理统计浙大四版第二章123节 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，X落落在区间（在区间（

10、 x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述. xxXPxF,)(概率论与数理统计浙大四版第二章123节分布函数的性质分布函数的性质（1） x1x2, 总有总有F(x1)F(x2)(单调非减性单调非减性)（2）F(x)是一个右连续的函数是一个右连续的函数（3） x R ,总有总有0F(x)1(有界性有界性),且且1)(lim0)(lim xFxFxx概率论与数理统计浙大四版第二章1

11、23节重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 概率论与数理统计浙大四版第二章123节离散型随机变量分布函数的计算举例离散型随机变量分布函数的计算举例 例例1 随机变量随机变量X的分布律为的分布律为X-132pk1/41/21/4 求求X的分布函数，并求的分布函数，并求PX1/2,P3/2X5/2， P2 X3概率论与数理统计浙大四版第二章123节X-132pk1/41/21/4 求求X的分布函数，并求的分布函数，并求PX1/2,当当 x -1 时，时，F(x) = 0F(x) = P(X x)解解:当当 -1 x 2 时，时，F(x) = PX= -1

12、=1/4当当 2 x 3 时，时，F(x) = PX= -1+ PX= 2 =3/4当当 3 x 时，时，F(x) = 1概率论与数理统计浙大四版第二章123节X-132pk1/41/21/4 求求X的分布函数，并求的分布函数，并求PX1/2,下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下. 3, 132,4321,411, 0)(xxxxxF注意右连续注意右连续概率论与数理统计浙大四版第二章123节 3, 132,4321,411, 0)(xxxxxFX-132pk1/41/21/4-13211F(x)x1/21/41/4概率论与数理统计浙大四版第二章123节 不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形，在在 x=-1，2，3 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 PX=-1 , PX=2 , PX=3.-13211F(x)x1/21/41/4概率论与数理统计浙大四版第二章123节 3, 132,4321,411, 0)(xxxxxFX-132pk1/41/21/4PX1/2,P3/2X5/2， P2 X3PX1/2=F(1/2)=1/4P3/2X5/2=F(5/2)-F(3/2)=1/2P2 X3=F(3)-F(2)+PX=2概率论与数理统计浙大四版第二章123节二、离散型二、离散型 随机变量的分布函数随机变量的分布函数设离散