随机变量的数字特征

1、第4章 随机变量的数字特征一、基本要求1、考试大纲要求理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征定义和基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征）2、会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望3、理解有关数字特征的概率意义，例如，对于指数分布，“平均无故障工作的时间”或“平均等待时间”可以理解为相应时间的数学期望二、内容提要 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心

2、”位置或“集中”位置1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为 其中表示对X的一切可能值求和对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在(2) 随机变量的函数的数学期望 设为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出的概率分布再求其数学期望；对于二元函数，有类似的公式： 2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c，有(2) 对于任意常数，有(3) 对于任意，有(4) 如果相互独立，则 方差和标准差 表征随机变量取值分散

3、或集中程度的数字特征1、方差的定义 称为随机变量X的方差，称为随机变量X的标准差随机变量X的方差有如下计算公式： (4.3)2、方差的性质 (1) ，并且当且仅当（以概率）为常数；(2) 对于任意实数，有；(3) 若两两独立或两两不相关，则 协方差和相关系数 考虑二维随机向量，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及和的联合数字特征协方差和相关系数1、协方差和相关系数的定义 (1) 协方差 随机变量和的协方差定义为， 其中(2) 相关系数 随机变量X和Y的相关系数定义为 2、协方差的性质 设随机变量和的方差存在，则它们的协方差也存在(1) 若和独立，则；对于任意常数c，有(2) (3) 对

4、于任意实数a和b，有(4) 对于任意随机变量，有(5) 对于任意和，有(6) 对于任意和，有3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用设和的相关系数，(1) (2) 若和相互独立，则=0；但是，当=0时和却未必独立(3) 的充分必要条件是和（以概率）互为线性函数三条性质说明，随着变量和之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量4、随机变量的相关性 假设随机变量和的相关系数存在若= 0，则称和不相关，否则称和相关(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若和的联合分布是二维正

5、态分布，则它们“不相关”与“独立”等价 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布概率统计中用矩描绘概率分布常用的矩有两大类：原点矩和中心矩数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩1、原点矩 对任意实数，称为随机变量的阶原点矩，简称阶矩原点矩的计算公式为： 2、中心矩 称为随机变量的阶中心矩 切比雪夫（切贝绍夫）不等式 设随机变量的数学期望和方差都存在，则对于任意，有 三、典型例题及其分析例 表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差.【思路】 关键是求出的分布律，然后用定义计算.【解】 引入事件： 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 由题设部件的状态相互独立，于是有 于是的分布律为X012

6、3P 0.5040.3980.0920.006从而 故 【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件，将的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求的分布.同时，方差的计算一般均通过公式来进行.例 对目标进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为，求射击次数的数学期望和方差.【解】 由题意可求得的分布律为于是 为了求级数的和，我们利用如下的技巧：由于对此级数逐项求导，得 因此 从而 为了求,我们先求.由于 为了求 得值，注意到 从而因此 【寓意】 本题实质上是求几何分布的数学期望和方差.本题的主要技巧是利用了级数的逐项求导公式来求期望. 当然同样可用逐项积分方法来求和，这种手段在级

7、数求和或数学期望和方差的计算是十分奏效的.还有一点，我们在此说明一下，在本题中，由于的取值都是正数，所以只要正项级数收敛，则一定绝对收敛，即的和就为.而实际情况中，可能存在级数是条件收敛的，此时，的数学期望就不存在（虽然本身仍是收敛的），因此判断离散型随机变量的期望是否存在，要用关于级数绝对收敛的判断方法.例 设是一随机变量，其概率密度为求. (1995年考研题)【解】 于是 【解毕】【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，为偶函数，故同样的计算也可直接简化.例 已知连续型随机变量的密度函数为 求与. (1987年考

8、研题)【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知 （方法2） 利用正态分布定义. 由于期望为，方差为的正态分布的概率密度为所以把变形为 易知，为的概率密度，因此有 【解毕】【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例 设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求. (1995

9、年考研题)【解】 由题意知于是由可推知【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么 的计算是繁琐的.例 设服从参数的指数分布，求.（1992年考研题）【解】 由题设知，的密度函数为且，又因为从而 【解毕】【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例 设二维随机变量在区域内服从均匀分布，求随机变量的方差 【解】 由方差的性质得知又由于的边缘密度为于是因此 ， 【解毕】【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求的期望于方差时，可以从的边缘密度函数出发，而不必

10、从与的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例 设随机变量和独立，且服从均值为1，标准差为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于和相互独立且都服从正态分布，所以作为的线性组合也服从正态分布.故只需求和，则的概率密度函数就唯一确定了.【解】 由题设知，.从而由期望和方差的性质得 又因是的线性函数，且是相互独立的正态随机变量，故也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知，于是，的概率密度为 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；

11、其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例 假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量 （1） 求和的联合概率分布；（2） 求.【解】 显然，的分布函数为 （1）有四个可能取值：且 于是得到和的联合分布律为 0 1 0 0 1 （3） 显然，的分布律分别为 0 1 0 1P P 因此 故 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求与的联合分布律，也可直接求出，这是因为 而 因此 不仅如此，我们还能求其他函数的期望.例如求，此时，由于 故 例 设随机变量服从二维正态分布，其密度函数为 求随机变量的期望和方差.【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算.【解】 由于，故令，则而故 【解毕】【技巧】 本题

12、也可先求出的密度函数，再来求的期望与方差，但由于求的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解.（4） 随机变量的分解.例 一民航班车上共有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求（设每位旅客再各车站下车是等可能的）.【解】 引入随机变量 易见 按题意，任一旅客在第i站不下车的概率是因此，

13、20位旅客都不在第i站下车的概率为，从而，在第i站有人下车的概率为，也就是说，的分布律为 0 1 P ， .于是 进而有也就是说,平均停8.784次.【技巧】 本题中不是直接去求的分布,然后再求的数学期望,而是将表示成数个随机变量之和,然后,通过算出,这种处理方法具有一定的普遍意义,我们称之为随机变量的分解法.这类通过分解手法能将复杂的问题化为较简单的问题,它是处理概率论问题中常采用的一种方法.这种分解法的关键是引入合适的,使.例 对目标进行射击,每次击发一颗子弹,直至击中次为止,设各次射击相互独立,且每次射击时击中目标的概率为试求子弹的消耗量的数学期望和方差.【解】 设表示第i-1次击中到第

14、i次击中目标所消耗的子弹数，则显然有.依题设可知，各个独立同分布，都服从几何分布，即 于是由本节例知 因此 另外，又由于 是相互独立的，故 【解毕】例 设二维离散随机变量的分布列为X Y -1 0 1 -1 0 0 求：，并问与是否独立，为什么？【解】 与的边缘分布列分别为 X -1 0 1 Y -1 0 1 和 P P 从而 从而 又由于 所以 从而 因为所以与不独立. 【解毕】【寓意】 由于0，即与不相关，但与不独立，因此，此题说明了，不相关未必就独立.例 设是两随机事件，随机变量 试证明随机变量和不相关的充分必要条件是与独立. （2000年考研题）【思路】 先计算出，再看是否当且仅当【证

15、明】 记，则的分布律分别为 X -1 1 Y -1 1 P P 可见 现在求,由于只有两个可能值和，故从而 因此，当且仅当，即与不相关当且仅当与相互独立.【技巧】 本题是二维离散随机变量协方差的综合题，在这个问题中，不相关恰好与独立是等价的.一般情形下，没有这么好的性质.本题的关键是计算，我们采用先求的分布律，而后再求的方法，这样的计算再离散型时是较为简单的.当然，另一思路是求出的联合分布律，再用联合分布律直接计算和，这里X Y -1 1 -1 1 1那么，用随机变量函数的期望公式，仍可算出和.例4.3.3 假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布.（1） 求和的相关系数.（2） 问和是否独立？

16、 （1991年考研题）【思路】 求相关系数，应求出协方差；判断随机变量独立性，需求出它们的联合密度和边缘密度.【解】 （1）由假设知，和大的联合密度为根据联合密度与边缘密度的关系，有 注意到，均为偶函数，可得 从而，有于是 （2） 因为在上， 所以随机变量和不独立. 【解毕】 【寓意】 从该题可见，随机变量的“独立性”与“不相关”是两个不同的概念，需要大家注意，但在二维正态随机变量中，“独立性”与“不相关”具有同一性.例 已知随机变量与分别服从正态分布和，且与的相关系数，设求：（1）的数学期望和方差；（2）与的相关系数；（3） 问与是否相互独立？为什么? （1994年考研题）【解】 （1）由数

17、学期望的运算性质有由有（2）因为所以 （3）因均为正态，故的线性组合也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由知，与相互独立. 【解毕】 【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质 另一点为：对于二正态变量与，与 相互独立等价于综例 某人用把钥匙去开门，其中只有一把能打开门上的锁，今逐个任取一把试开，求打开此门所需开门次数的均值及方差，假设（1） 打不开的钥匙不放回；（2） 打不开的钥匙仍放回.【思路】 本题没有直接给出的分布律，因而必须先根据题意求出的分布律，再利用期望的定义进行计算.【解】 （1）打不开的钥匙不放回的情况下，所需开门的次数的可能取值为，注意

18、到意味着从第1次到第次均未能打开门，第次才打开，故由古典概型计算知从而 又 故 (2)由于试开不成功，钥匙仍放回，故的可能取值为其分布律为 即服从几何分布，故由例知 【解毕】【技巧】 本题中用到了两个常用的等式：而第二问是典型的几何分布的问题，要求读者熟悉几何分布的实际背景.综例 某射手有5发子弹，射击一次的命中率为0.9，如果他击中目标就停止射击，否则一直射击到用完5发子弹为止.求：（1） 所用子弹数的数字期望；（2） 子弹剩余数的数学期望.【思路】 只需求出的分布律，的期望就容易知道，而与之间显然有关系：因而第2问就迎刃而解了.【解】 （1）显然，的可能取值为1，2，3，4，5，且由试验的

19、独立性知，而 从而 （2）由题意知，.故 【技巧】 与几何分布不同，本题是一有截止的几何分布，也就是说，试验直到击中目标为止或第5次射击为止，故的计算也可通过下列方式计算. 综例 设随机变量的概率密度为已知求：（1）常数（2）.【思路】 要确定三个常数需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为而只需利用随机变量函数的期望计算公式即可.【解】 （1）由概率密度的性质知，有 又因为 而 解方程 得 （2） 【解毕】【寓意】 本题是考查一维连续型随机变量的综合题，要求大家掌握其中相关的定义和计算公式.综例 袋中装有只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为，试求从该袋中摸一球得到白球的概率.

20、【思路】 摸一球为白球是与袋中有多少个白球紧密相关的，虽然袋中的白球为随机多个，但当已知袋中白球个数时，那么从袋中换一球为白球的概率是易知的，要建立这一条件概率与要求的问题的概率的桥梁，非全概率公式莫属.【解】 记为袋中的白球数，则由题设知 由此，若令，利用全概率公式知 【解毕】【技巧】 本题主要是利用了全概率公式的思想来解决题目中的难点的.综例 假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分布内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品,销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损， 已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径由如下关系： 问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ （199

21、4年考研题）【思路】 问题是求，使达到最大，故关键使求出的表达式.【解】 由于，故从而由题设条件知，平均利润为其中为标准正态分布函数，设为标准正态密度函数，则有 令其等于0，得 由此得 由题意知当时，平均利润最大. 【解毕】【技巧】 本题是随机变量数学期望的应用题，是一的典型的题型，在求最大平均利润时，应用了微积分中典型的求最大（小）值的计算方法.综例 设某种商品每周的需求量服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间中的某一整数，商店每销售一单位可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位仅获利300元，为使商品所

22、获利润的期望值不少于9280元，试确定最小进货量. （1998年考研题）【解】 根据题设，随机变量的概率分布密度为 设进货数量为a,则利润应为 利用随机变量函数的期望公式知，期望利润 依题意，要 即 于是 即 故要利润期望值不少于9280元的最小进货量为21单位. 【解毕】【技巧】 在利用数学期望求解应用问题时，关键在于建立起问题要求的量与某一已知分布的随机变量之间的函数关系，如本题中与的关系.这样就可利用已知分布的量来求未知分布的量的数学期望，从而最终确定所求问题的解.综例 设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为 又设. （1） 求二维随机变量的分布律；（2） 求随机变量的

23、数学期望;（3） 求与的相关系数.（前二问是1996年考研题）【思路】 先利用的独立性求出与的联合分布，然后利用期望与相关系数的公式解.【解】 （1）显然与与的可能取值均为1，2，3，且的取值不可能超过的取值.故：当时 当时 当时 于是与的联合分布律与边缘分布律为X Y 1 2 3 1 0 0 2 0 3 1（2） （3）由于 从而 . 又 故 于是 【解毕】综例 假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，记 求 （1）和的联合分布； （2）和的相关系数【思路】 由于均为的函数，因此，在计算的联合分布时，需利用二维随机变量的概率计算公式：【解】 由题设知，的联合密度函数为（1）有四个可能取值且从而

24、的联合分布律及相应的边缘分布律为 V U 0 1 0 0 1 1 （3） 由于只能取0，1两个值，且其分布律为 0 1 故 又由上面的联合分布律表知故的相关系数为 【解毕】【技巧】 在计算时，由于只取两个值0，1，因此，这里直接求出的分布律，再来求是方便的.当然，我们也可以用上例的方法，直接利用二维随机变量函数的期望来计算，此题的关键是要将的取值与的取值范围联系起来，从而可利用概率计算公式求出的联合分布.综例 设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，试证明：【证明】 令，则与仍相互独立，且都服从标准正态分布,由此，知从而因此，只须证明即可.我们用两种方法来证明.（方法1） 由于 所以 从而 （

25、方法2）利用 所以 由于,相互独立，且均服从，故 .从而故 从而 【证毕】【技巧】 本题是正态变量与的函数的期望问题，在证明过程中，采用了两种技巧：（1） 将正态变量与“标准化”，从而将问题转化成计算的问题.这里，与相互独立且服从标准正态分布.（2） 方法1是二维随机向量的函数的期望，计算时要用到二重积分，由于二重积分中的被积函数呈现出的形状，而区域又是全平面（或半平面等），采用极坐标更为方便.方法2是利用的解析表达式 将问题转化为求的函数的期望，可用一重积分简单地计算出,这种方法比方法1要简单得多.同样，利用 也可以证明综例 一商店经销某种商品，每周进货的数量与顾客对该种商品的需求量是相互独

26、立的随机变量，且均服从区间上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周利润的期望值.【解】 设表示商店每周所得的利润，则由题意 由题设知，的联合密度函数为因此，由是的函数可知 【技巧】 本题为一综合应用题，问题的关键是找出利润与进货量和需求量之间的函数关系，再利用的独立性可计算出的期望，值得注意的是，由于是与的分区域函数，故在计算时，对不同的区域应代入相应的函数值，否则计算过程会出错.综例 数学系某班共有名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，试求恰好拿到自己的学生证的人数的数学期望与方差.【思路】 利用随机变量的分解法来求解.【解】 设