正弦定理公式

1、如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话， 那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思 想进行处理，解题时根据已知量与所求量， 合理选择一个比较容 易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手 容易，解题简洁。一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理（1）三角公式在二中，已知两角丄丄的三角函数值，求第三个角存证 明 ： 有 解有 解oOA+B开0A d-B7T cos（;r-5）：I . .即，要判断 是否有解，只需(2)正弦定理【正弦定理公式】sinA【余弦定理公式】sinBh+e-a12bc2ac1在二二T中，已知两角和任意一边，解三角形；2在中，已知两边和

2、其中一边对角，解三角形；(3)余弦定理1在中，已知三边，解三角形；2在二二T中，已知两边和他们的夹角，解三角形。直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理(1)齐次式条件(边或角的正弦)=0若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以 根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；有些题中没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。1.相同角齐次式条件的弦切互化【例】在二二T中，若二一1一一二J_一一二一川二一 -.，求。【解析】无论是条件中的一二.一，还是

3、 二口-一丄-一 -都是关于一个角的齐次式。二上_：!. 一是关于的一次齐次式； 二一-一是关于J的二次齐次式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。SIH j4sinA-3cosA-0smA-3cosA-= tanJ4 =3由I_L亠焯迎B込 -2曲养 2 竺上史邑上兰空由1sin 5 - sin 5cos-2cos25=0=0cos1Bsin * 月一 sin B uos B、n-:- -= 0=sin1B+COS1Scos7Bsi?方+2 月在二冲，且*七三二。代值可得:当二匸_: ，二上二时，tanC- = l=C=451-2x32.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化【例】 在二中，

4、若 二工二二二二- 二一，且也丨， 求的面积。【解析】条件；J_二二:工：是关于 不同角正弦的二次齐次式。因此，我们利用正弦定理将角化为边， 然后根据边的关系利用余弦定理求解。由二11二；二I L/： 1L/ /L；显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得严a+jab1cos C =-=-=2ab2ab2当面二3,伽B二-1时，tan(7 =-3-11-3x(-1)tan2tan 5-2tan* S + l=0 = tar? tan 2 = 0 = tan = TSijvt= -acsinJ4 =-icsinB- absinC又因为 3.不同边齐次式条件的边角互化【例】 丄的内角的对边分别为

5、和:.。已知/ ；.,- c J ，求 _。【解析】条件- 是关于不同边的一次齐次式。因此，我们利用正弦定理将边化为角， 然后由二 一一二W将不同角转化为同角，利用化一公式求解。开开厂 .厂Z=-+CB亠2C由a+c-2bJ + sin C = 2 sin 5，又2，2，可得:U 5sin-+ C+sin C = V2 sin一一2C12丿C二1尸cosC+sm C =4.边角混合齐次式条件的边角互化边角混合边为齐次式【例】_L的内角J- L-的对边分别为，且acoscos= c【解析】条件:是边角混合一一关于不同边的一次齐次式，由于所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化 为切求解。acos

6、5-icos-(4=-c =sin -dcosS-sm 5cosj4 = -sin C_宀由，又一，则j cos5-A cos- -c5tan-4,求.二一匸tanAtanB2边角混合角（正弦）为齐次式【例的内角丄丄的对边分别为/ -，且九一,【解析】条件w一n 是边角混合一一角（正弦） 为不同角的一次齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根 据等式形式利用余弦定理求解。以得到:-“，显然这个形式符合余弦”护+，-小迈be72定理公式，因此，可得。从而得出J3边角混合边、角（正弦）都为齐次式【例】_二的内角L- /的对边分别为- :.-，且 ：上莎门-厂 :+宀 求 。【解析】条件几皿八是边

7、角混合一一边、角（正弦）各为一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是 一般将角转化为边求解。sin川 +sinB =血_c*inC1由于：，一，我们可sin -r4 + sin-ckin C+a由2m启一J - - ：.v.- 1-28B-(cosj4cosC-sinsinCj+cosu4cosC+ siiij4siiiC=l，只要=2sin?B-ZsinlsinCsiriB=sinAinC= ac（2） 不同边的平方关系（余弦定理）若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可 以选用余弦定理边角互化， 在上面的一些情况中，有利用正弦定 理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。

8、【例】_ 的内角J- L-的对边分别为八，且4疝二丄砂+宀刃亠4，求虫。【解析】条件 -1-含有不同边的平方关系，形式显然符合余弦定理公式。由。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化）若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内 角正弦、余弦，可以同时使用正弦、余弦定理边角互化，要么都 化为角（正弦、余弦），要么都化为边。【例】在KABC中，已知ABC,且j4=2C=4,fl+c = 8,求a。【解析】 由题目中条件虫=2C可得sui/=sin 2CsinJ = 2siii CcosC =ia =2ccosC ,接下来再利用余弦定理可得C = 8伍 所以+4*-(8-

9、町加=加-44a + 96= 0=山=4或24解三角形运用的原理简单， 但是题目灵活多变，往往使学生感觉 不易下手，以上结沁心力土竺*+八卩 4,又沖，2ab因为24A BC bc =合例题谈了一下通过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略，但这仅仅是初 探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, For

10、schung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO员BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHMUCnO员B30BaTbCEBKOMMepqeckuxue贝EX.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la r