大学线性代数典型例题解析

1、1/ 15大学线性代数典型例题解析一行列式计算的典型例题分析:1利用降阶法。傥1计算3510214 5D =17 4 2-3511解 将第三巩髡权-3和-5分别加到第一列、第二列然后按第一灯展开、得再将第三列乘以G川到第一列:按第三打展开得-】9 5-13 2十1严0】白以上演算过程可如.时于任意n阶厅列式D.齊可用行列式忤质变为等置的n-i阶厅 列式.2利用化三角形法计算。a - b c la计算D二2b b-c-a2c2cIff：将第二廿与弟三打都加到第一打上，帯提出公阖子(a+b+cj,得a + h +匸口 +A +u o + /)+ cD - 2b b -c a2A2c2c c-a-b

2、I 1I(a h + c) 2b bc a 2b2c 2cc a Z?再将第一疔乘以(-2b)和(-2e)分别加到第二行与第三行，得20D= 10-19=0 1 -194 -13 40 I-19 5-13 20 I2/ 151 IID = (a+ fr + c)0a +b+c)0= (a-b + c)3=00(a + Z? + c)3.利用升阶法。D-II=fl “y)(i+亠n这里设aA(f=I52,3,4)iit人吗这个结论可以推广到n阶疔列式的情兀即a,4.利用范德蒙公式。10000111114ZaQ-iZ d 000-aza2Za25=000-码Ja%-码00A - a30码z000A

3、- a40 =列代帥到第列上條第3列急倍3/ 15锂将行列式转置住知它是一个4阶范苞讓行列式-HI：1iX1 1114Sx 2-35-39-27xz4925125125F 8-27125= (2-_r)(-3 -工)(5-工)(-3 - 2)(5 - 2)(5 + 3) = 0(方程的解为x =2,x =-3,x = 5)Hi vp| = ia用伴随矩阵法ii 1岛】=0 I 1 = 1, Z】2=A、= Ai= 00 0 1ft m悭方程X1525=00 I0 000=0=0.矩阵ff.5已知0A =04/15性法（2）切等计殳炙法严111 1:10001j0001-10o-011 1:01

4、00r)f00001-10001 1；0010HF0010001-1_000 1；000L_0001000I丄 2XJ分块眩逆法.0-1 010一10I-二|対=A可逆,由三角块求A=A；0A7其中彳1 -I 0故5/ 15016/15501r8 0 17 ;求X使XA=fi,这里川二1-3 -2,B =-5 3052112 6 0分析；根抿矩阵乘法规则川应为3阶方阵.若A可逆，则XA-B两恻同乘理二即可得XBA-解法一：先求丿二1空0小r 12 PT 2护则x = BA=-5 3 0910114 5 6A、2 6 0; -13 -10 _15J00I:134515848 )0 0 1；0 I

5、 02310 117/ 15黠二WX = BA沪可牆成-些初轆陈Z礼它惦IU粕于对B进 刼变払而这鞫等驕右条卿幡L即对MB翳同勵蒯等变換，把A蚪1afm变为X二射=卩1毗丄込_ =.WM38/15 X -1 I 020 1(510-311-2r190-301-110-30112-521-9210蚪变喪*-321在-800F-808-808-5-30_5-35-14-317-2-60 Jk-2-62 )1-20-6 26；100A/1 00G00Ci0(P产3傥B：设/二0 1-111-20求* 便AX=2X+B.解法一:AX=2X+B,则(A-21)X=B若A-2I可逆，则X = (A2/尸B

6、fl 0f1A0 - -I为准xt角矩阵，则只需c-llO 1 2jI I 2丿的逆.先求（月一2/）=因为丿-2“5 0 oj6、广3X =D-2 -I1I-419 11 2 -3 3-2;UJ 00 -20 1(-1417480 -：1 12 -1I 1（说明：对二阶方阵用伴随陈求逆也很方惶）0)9/ 15邮去二：X = （A-2I）B,为（丄-2陀当于一些初等阵之积，它们右乘B（相当于 对B进行行初等变换丙此10/15（A -21,8F苇孚臭片人X）.f 0030 1 1-1-110 10-410122 -3；0013-2y0 013二； G；八卜：丄.；一；;i：-Jr = i-:r:

7、-.r二-广的呵彳。证：设/ =（则庆屮耳的代歡余子式为九则卜牛 T 二卜）收且一神代数余子式划1严如于是 （）my二（i广y（厂川证法I:由定几 卜哥卜沪）二卜IMGl）f =（-【）M = /故（询证袪2:由公式.削可逆时,故W個f）j11/ 15A说明;这里几个等试证明中用到了以下结论：片呵=昇网(2)(k -B)-1町卜也可有如下解法:AA = A-1设f =艮则B*B=B1由AA* = AItA A|=p|-/| = |v A可逆，屮|*0. |叶|犷,即网=I j H 0而#T= AAA = A* lt：. -AA* = 1)HI同冷十冷八|旷/向量和线性方程组即除坷斗畀)片(”妒

8、点何削删！I牝庄岛魁麹第熾鋤刊油6佛S仁久玦冬+坷二0鮎码瞅辎删也噥慨关;轧抽有棉糊也向紬12/ 157 j += 0弓+ 3血=03(+2k2+ ak3=0果数吁列式3213= -7(i? - 5)0a-5 当D=-7(fl-5) HO时.方程#汀!有寧劣闵此当a W时.a：,他4线性无关. 当0=-7(0时方程组有非零解，因此当d =5时.4“如线性相关.设or,=ka+k a2则(3.2,5) = (#3+3kf2k -k2,3k -2k)比+3心3B|l!2k-fc2= 2探严2码二5at= (1023)匚勺=(143.5)7,3 =(l,-l,a +2l)rta輕：如俛6分析，上述问

9、邇等价于0二禺 +虬 s+咫乙是否有崩即I 32D=2-I 332a二*于是孔-i日十1124?+8I1-120盘+】011110 1-120 1 a 2占+】0 2 2 “5 213/ 15)11 1 _ 1 0 1-12工：1=23 o + 24d+3351a+5是否育第氐为14/ 15耳中Ar:+ r表不矩阵第i吁乘収k加到第j行，困此,当a=-l, b=0时丫方程经有无穷梦解，戸可以表示J&sGW的线性组合 当甜口上前JJ.方程经育无穷爹隨此讨阿以表示成冬，色 的线性坦氣 但表示注乘唯一.天的就分析,一腹戒矩阵阿秩可以通过两个方法来戒h直接用行列式求矩埠的轶.即找出炬阵中屋高不

10、为零子式的阶数.2+利用初等变换來求矩阵的秩.方汇】与方注2-般根拯雄阵阶数夹定.对于做高建璋刖用初等变殃较为方怙112571125712 3 710 (-1) xf +0 11231 3 4 913i =2.3,40 2246,4 5 II 160 3 36 911257I I 2I I 5I 17I 23=0,D、=I27=0*Dy =12 1C14 513 91313聲 方法一：貞有一介二阶子式D：D =aba-b供10设j1A =1112 523 734 9451110)3：16=1#0,而所有包含D的三阶子式为D* =囲此秩A=2方法2I 12I 23=0.I 34II52 =127

11、=0,I4HII7D6=I 2101416=0.当应工一I时,0可以附一二农示成2b + 6+ 115/ 15(-2小5十口0 I1(_3)卩 + 心0 0 00 0 0Alft r(B)=2,因此r (A) =2例5.判斷仪产4 2 3),冬=(玄2J),眄I)是否线性相关.分析：研究向童蛆闵，住，乙的线性相关的问题.白定义可知.就是考察是否存在兀 个不全为零的数血耗，便线性组劭因此.向量録业，-.a,是否线性用关，等价于齐次线性方程组(3)是否有非孚饋. 若方程经有非寧虬则勺，Err空円线炷用关.若方程经只有零鋼*则 角 S叫线性无关很此研究向童间是否线性相关问题，实质上就是研究齐次线性方

12、程 组着没有零解问亂解法一设存在一组数kuk2,k3J+ k2a2+ k3a3= 0r即 出(123) +心2J) + /a3J)=(0,d0)亦即(Aj +3k2+ &,2& +lk2+ 3心,3&| +k2+ kj= (0,0,0)左I + 3A-, + A-3= 02k+2A2+ 3A;= 03i +t24-ij = 0ri 3 i 系数矩阵223可以通过初等行变换求得r(A)=3. JJJ此齐次线性方程红3 I 1 只有零轉故气赵2,住线性无关.脱幟如如砒魅朋?册门3=100 0_16/ 15J 1 脳如0淌&翅|恥应叫和掘翩工舗卅犒和跚融财Iffl17

13、/ 15例6巳Sla产（MU讪厂仲厂卜加讦（卜M7屁 皿厂卜训片仲丄I）试驛示为幻角角和勾繼幽饒分析:硏規某-向量俺否用向量釦角r几繼性表示猪翹香有E个救&曲化使為0=出住1+hs+f*卫腻芷入皿也+&】aJ,+yk+ TG ,L =/).U li* i呵 毗：向宣匯否用向籃缈帧朮等佗1剂:飙方陛N）是否有聽君方稚汕用唯-邕M能用必厲仏唯一何线惨朮若方程纽4）有无侮幼0能用aaaM表朮但表乐址不唯一若方程生（4）无邕则0能用知分黠表示解设#=占+k2a2+冲$+M即（I却1）詁伸山1）也（1疔1H）蛾（1厂11）小（1疔卜1）占+仁+右+& =I四.特征值与特征向量(4

14、)H二一CZ,十一住、7* Z. 118/ 15例.求矩阵的特征值和特征向量-1 r -34_4 =20 1：.B =4-781-1 26-7-1 1(X1 1 0_24-1 E 丿 0 0 ojx3fP1t:* A,1比qW)是屈F2的特证覚:ft：4U/f-2】-IYx,竝于久严1；方程组好一旳X = Q即为-2 1 -I出的持征置为2. 2. I . A的属于2的特征向量为仪I # 0),0丿1刀理=乂-31-1-】Z -*1-x-2 14-2 Z0Z = (z-2)|z- 1)1 1 01 Z 1-2 1 120 1Z 10 1 1婆 ir i -rJi 0 (0 -1 1x2= 0=0 T I= 0 J 000 oj卫丿y(応芒0)是属于龙=1的持征向量二解为1二丄的特征世为乙二久厂2,2严】*对于z;:= 2P方f(2l-AH=0, UI