《数的认识与运算单元总复

1、“数与代数”总复习（一） 数的认识和运算一、复习目的： “数与代数”在小学阶段的学习，从内容和数量上看，是四大课程内容中所占比例最大的一部分，它主要包括了数的认识、数的运算、式与方程、常见的量、比和比例及数学思考几部分内容。下面重点谈数的认识和运算的复习。本单元通过数的认识系统的整理与复习，使学生巩固和加深理解小学阶段所学的各种数的相关知识，进一步沟通知识之间的联系，发展学生的数感、符号感、估计意识，使学生认识到数和符号是刻画现实世界数量关系的重要语言，数模型、公式模型、方程模型、函数模型等是现实世界中最基本的数学模型，理解、掌握、应用这些模型能使学生体会到数学与现实生活的联系，从中感受到数学

2、的价值。通过数的运算、公式的推导过程的复习，提高学生的思维水平和应用意识，特别是在正数和负数、精确与近似等概念的复习中，使学生树立对立统一思想和运动变化思想，确立用科学的观点和方法认识现实世界的理念。二、复习内容:数的认识，着重复习小学阶段所学数的概念。这部分内容从纵向看，包括整数、小数、分数、百分数的有关概念，也包括负数的初步认识。从横向看，可以归结为五个方面的内容，即数的意义、数的读法和写法、数的大小比较、数的性质、数的改写。数的运算，着重复习整数、小数、分数的四则运算。包括四则运算的意义、计算方法，运算定律。三、复习知识点梳理:（一）数的认识。1、数的意义: 0整数 自然数 正整数数 负

3、整数真分数带分数分数 整数 假分数 （化成） （注）小数是十进分数。小数（按小数部分分）有限小数 纯循环小数 无限循环小数 无限小数 混循环小数 无限不循环小数小数（按整数部分分） 纯小数 带小数（1）自然数：用来表示物体个数的1，2，3，4,  5都是自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。  （2）正数和负数：正数：像4，+0.8 ，3/5这样的数叫做正数，所有的正数都大于0。负数： 像-7，-4.3 ，-5/6这样的数叫做负数，所有的负数都小于0。0既不是正数也不是负数。（3）小数：

4、把整数“1”平均分成10份、100份、1000份这样的几份就是十分之几、百分之几、千分之几这样的数可以用小数表示。纯小数：整数部分是0的小数。带小数：整数部分是1或以上的小数。有限小数：小数部分的位数有限的小数。无限小数：小数部分的位数无限的小数。循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或连续几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫循环小数。一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的小数。混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的小数。（4）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。（

5、既可以表示分率又可以表示数量）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是分数单位。真分数：分子比分母小的分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大的分数。假分数等于或大于1。带分数：由一个整数（不包含0）与一个真分数组成的分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数。（只表示分率）最简分数：分子、分母互质的分数叫做最简分数。 2计数单位和数位。计数单位：个、十、百、千以及十分之一、百分之一、千分之一都是计数单位。数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。十进制计数法：每相邻两个计数单位间的进率都是10，这样的计数方法叫做十进制计数法。数位顺序表。数级整数部分小数点小数

6、部分亿级万级个级数位千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位.十分位百分位千分位万分位计数单位千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十个.十分之一百分之一千分之一万分之一3数的读法和写法。（1）整数的读法和写法：读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位有一个0或连续几个0都只读一个零。写法：从高位到低位，一级一级地写，哪个数位上一个数也没有，就在哪个数位上写0。（2）小数的读法和写法：读法：读小数时，整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按从高位到低位的顺序依次读出每个数位上的数字。写法：写小数时，整数部分按整数的写法来写，小数点写作“.

7、”，小数部分按从高位到低位的顺序依次写出每个数位上的数字。（3）分数的读法和写法：读法：先读分母,再读分数线（读作”分之”），最后读分子。写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。（4）百分数的读法和写法：读法：先读百分号（读作“百分之”）再读百分号前面的数。写法：先写百分号（“百分之”）后面的数，再在后面加上百分号。（5）正数和负数的读法和写法：读法：读数时，不带正号的正数可直接读出，带正号的正数要先读“+”号，读作正，再读正号后面的数，如20读作二十，+35读作正三十五；负数要先读“-”号，读作“负”，再读负号后面的数，如-20读作负二十。写法：先写“+”号或“-”号，再在后面写数。“+”号

8、可以省略不写，但“-”号不能省略，如负三分之二写作-2 / 3。4. 数的大小比较。（1）整数的大小比较。 比较整数的大小，先看它们的位数，如果位数不同，那么位数多的数大；如果位数相同，就从高位比起，左边第一位上的数大的那个数大；如果左边第一位上的数相同，再比左边第二位上的数直到比出两个数的大小为止。（2）小数的大小比较。 比较小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个数就大。（3）分数的大小比较。分母相同的分数、分子大的分数比较大；分子相同的分数，分母小的分数比较大。如果分子和分母都不相同，要先通分

9、转化成同分母分数，再比较大小。（4）正、负数的大小比较。负数都比正数小。在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。5. 数的性质（规律）。（1） 小数的性质：小数的末尾添上“0”或 去掉“0”小数的大小不变。（2） 小数点位移规律：小数点向右移动一位、两位、三位原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍反之，小数点向左移动一位、两位、三位原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍。（3） 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。6数的改写。（1）把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数。直接改写：先把原数的小数点向左移动4位或8位吧，再在后面加上“万

10、”或“亿”字，中间用“=”连接。省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，得到一个新数，再在这个数后面加上“万”或“亿”字，中间用“”连接。（2）取小数的近似数。根据要求，要把小数保留到哪一位，就把哪一位后面的尾数按“四舍五入”法省略，中间用“”连接。（3）分数的改写。把假分数改写成整数或带分数：用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。把整数（0除外）改写成假分数的方法：用指定的分母（0除外）作分母，用分母和整数的乘积作分子。把带分数改写成假分数的方法：分母不变

11、，用分母和整数相乘的积加分子作新分子。约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。通分：把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数，叫做通分。（4）小数、分数、百分数的互化。 改写成分母是10、100、1000的分数，再约分小数 分数 分子除以分母 小数点向右移动两位 写成分母是100的 填上百分号 分数并约分 先写成小数，再去掉百分号，小 写成百分数数点向左移动两位 百分数 注：判断一个分数能否化成有限小数的方法：一个最简分数，如果分母的质因数中只含有2或5，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母含有2或5以外的其他质因数，这个分数就不能化成有限小数。

12、7.因数与倍数相关概念。 质数 质因数 因数 合数 分解质因数整除 公因数 最大公因数 倍数 公倍数 最小公倍数 2、3、5倍数的特征 奇数 偶数（1） 因数、倍数的特征。因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。平方数因数个数是奇数个。倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的倍数。（2） 整数A除以整数B（B不等于0）除得的商是整数而没有余数，我们就说A能被B整除，B能整除A。（3） 2、3、5倍数的特征。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。3的倍数特征：各位上的数字之和是3的倍数，这个是就是3的倍

13、数。5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。（4） 自然数的分类（非0） 按照是不是2的倍数。 奇数：不是2的倍数的数。 自然数（非0）自然数（非0） 奇数 偶数 偶数：是2的倍数的数。 按照因数个数分类。 1自然数（非0） 质数：只有1和它本身两个因数的数。 合数：除了1和它本身，还有其它的因数的数。自然数（非0） 质数 1 合数（5） 100以内的质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（6） 质因数、分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。其中每个质数都

14、是这个合数的质因数。（7） 公因数和最大公因数；公倍数和最小公倍数。几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的公因数叫做最大公因数。简便记法：（A、B）公因数、最大公因数的求法：列举法、分解质因数法、短除法。 几个数的公因数是它们最大公因数的因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的公倍数叫做最小公倍数。简便记法：A、B公倍数、最小公倍数的求法：列举法、分解质因数法、短除法。几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数。互质：两个数的最大公因数是1时，这两个数互质。（A、B）A、B互质关系1AB倍数关系较小数较大数（二）数的运算。（不包括解决实际问题）意义 一步 法则数的计算 关系

15、运算顺序 多步 简便计算数的估算1、四则运算的意义整数小数分数加法把两个数合并成一个数的运算 减法已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算乘法求几个相同加数的和的简便运算小数乘整数与整数乘法意义相同；一个数乘小数表示求一个数的十分之几、百分之几是多少。分数乘整数与整数乘法意义相同；一个数乘分数表示求一个数的几分之几是多少。除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算2、四则计算的法则。整数小数分数加法相同数位对齐，从低位加起，满十进一小数点对齐，按照整数加、减法法则计算同分母分数相加、减，分子相加、减，分母不变；异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加、减法的法则进行

16、计算减法相同数位对齐，从低位减起，哪一位上不够减要向前一位“退一当十”再相减乘法从低位到高位分别用因数每一位上的数字去乘另一个因数，用哪一位去乘，乘得的积的末位就和哪一位对齐，最后把所得的积加起来先按照整数乘法的法则算出乘积，再数出因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点分数乘整数，分母不变，分子和整数相乘的积做分子；分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母除法从被除数的高位除起，除数有几位就看被除数的前几位，如果前几位不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，就在哪一位上写商，每次除得的余数必须比除数小，哪一位上不够商1就商0除数是整数，就按照整数除法的法则计算，商的

17、小数点和被除数的小数点对齐；除数是小数，先把它转化成除数是整数的除法，再按照除数是整数的法则计算甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数3、1、0的特殊计算。A + 0 = A A × 0 = A 0 ÷ A = 0A 0 = A A × 1 = A A ÷ A = 1A A = 0 A ÷ 1 = A 1 ÷ A = 1/A4、四则计算中各部分数之间的关系。名称关系加法加数 + 加数 = 和和- 一个加数 = 另一个加数减法被减数 - 减数 = 差差 + 减数 = 被减数被减数 - 差= 减数乘法因数 ×因数 = 积积&

18、#247;一个因数 = 另一个因数除法被除数 ÷ 除数 = 商 （有余数）被除数 ÷ 除数 = 商余数商×除数 = 被除数 （有余数）商×除数+余数= 被除数被除数 ÷商= 除数 （有余数）（被除数-余数）÷商= 除数5、运算定律和运算性质。名称文字表述用字母表示加法交换律两数相加交换加数的位置，它们的和不变A+B=B+A加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。(A+B)+C=A+(B+C)乘法交换律两数相乘交换因数的位置，它们的积不变AB=BA乘法结合律三个数相乘，

19、先把前两个数相乘，再乘上第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘上第一个数，它们的积不变。(AB)C=A(BC)乘法分配率两个数的和与一个数相乘，等于把两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。(A+B)C=AC +BC减法性质三个数相减，可以用被减数分别减去两个减数，或者用被减数减去两个减数的和，它们的结果相同。A-B-C=A-(B+C)商不变的性质除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。A÷B = AM÷BMA÷B = A/M÷B/M(B、M不为0)6、四则混合运算的运算顺序。加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。在没有括

20、号的算式里，如果只含有同一级运算，就从左到右依次运算；如果含有两级运算，要先算乘除，后算加减。有括号的算式，要先算小括号里面的运算，再算中括号里的，最后算括号外的。7、乘除法运算中积、商的变化规律。积的变化规律：（1）一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）N倍，积就扩大（缩小）N倍。（2）一个因数扩大（缩小）N倍，另一个因数扩大（缩小）M倍，积就扩大（缩小）MN倍。商的变化规律：（1）被除数不变，除数扩大（缩小）N倍，商就缩小（扩大）N倍。（2）除数不变，被除数扩大（缩小）N倍，商就扩大（缩小）N倍。8、与计算相关的概念。（1）倒数:两数乘积为1时，这两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是1。（

21、2）分数与除法的关系：除法被除数除号除数商分数分子分数线分母分数值四、复习建议：（一） 准确地把握学生学习基础。经历了小学阶段六年的数学学习，学生对小学数学里的知识及其体系已经有所了解，基本认识和掌握了各种数学概念、数学规则，具备了一定的解题经验，对数学思维方法及数学思想有所领悟。倘若教师不顾学生的学习现实，一味凭经验臆测学生的复习起点，不重视以学定教，学生就会觉得枯燥无味，失去复习兴趣。所以复习前准确把握学生的学习现状，可以确实的了解学生的认知基础、方法基础、生活经验，从而确定学习的起点，关注探索的热点，找到学习的难点，设计有价值的探索活动，制定行之有效的教学策略，提高复习课的实效。我们可以

22、通过以下两种方法收集复习课前学生的丰富资源，来了解和分析学生的学习状态。1、做好课前调研。复习时可以根据复习内容，安排适当的课前调研，通过对调研情况的深入分析，了解学生的前在状态。例如在数的意义和读写法的复习之前，我们可以设计这样的课前调研题目。（1）将下面的数填写在适当的括号里。-90 1.65 1.5% 700 老师的身高是（ ）米。 今年我市的房价比去年增长了（ ）。 某海域低于海平面，海拔高度为（ ）米。 某市人口是（ ）万。 花园里种植的黄花是红花的（ ）。此题主要考察的是学生对各种数意义的理解，根据数的意义和给出数据的大小来选择合适的适用情景。（2）把下面各数填写到适当的圆圈中。

23、-5 ， -1， 0， 2， ，109 ， -10.5 ，5， - ，1.02正数 负数 自然数小数 分数 （3）根据信息填空。A.地球到太阳的平均距离是149600000千米，而海王星到太阳的平均距离则是4504000000千米。B.地球赤道的周长是四万零七十五点六九千米。C.2005年中方测量珠穆朗玛峰峰顶岩面海拔高为8844.43米。（1）把地球到太阳的平均距离改写为以“万”作单位的数是（ ）千米，海王星到太阳的平均距离读作（ ）千米，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿千米。（2）地球赤道的周长写作（ ）千米。（3）8844.43这个数从左边起第一个“4”表示（ ），从右边起第一个“4”表

24、示（ ），这个数的计数单位是（ ），有（ ）个这样的计数单位。此题考察学生读数、写数、改写数，数位、计数单位等相关知识点。（4）请你把小学阶段学习过的数进行梳理，并用你喜欢的方式表示出来。（5）对于小学阶段数的意义的学习，你印象最深刻的是什么？你认为哪儿还有问题？2、自编复习单元练习题。课前可以让学生根据复习内容自编习题，要求尽量覆盖所复习的知识点。通过学生编题情况教师可以了解学生对知识点熟悉程度及运用的情况，分析哪些题型是学生普遍掌握的，哪些题型是学生不太熟知的。哪些知识点是学生容易忽略的。为更好地开展复习提供了一手材料。（二） 总体回顾整理，构建完整知识体系。数学是一门系统性很强的学科，在

25、小学阶段的知识点教学往往是分册出现。所以六年级的整理和复习尤为重要。它是学生形成、总结学习经验和梳理知识的有利时机。因此在对这些知识进行全面的回顾、整理和比较时，必须全面、具体化，引导学生从另外一个角度以新的形式在新的构建体系中再现出来。比如：“数的认识” 在整理复习时可以安排学生对“数的认识”的相关知识进行课前梳理，可以从以下几方面进行考虑：（1）回顾小学阶段学过的各种数，运用图表等形式构建知识网络。（2）学生可以利用数轴来复习各种数，这样为复习提供直观的模型。（3）学生可以结合各种实际情境，体会数的发展过程，体会各种数的价值。（4）安排收集整理自己的“错题”，进行自我诊断。有了学生的整理，

26、课上教师安排学生进行交流和梳理。学生可以从不同侧重点进行汇报，既沟通了本单元知识之间的联系，同时又从不同侧面丰富了对本单元知识的理解和认识，构建完整的知识体系。这样不同侧重点的复习，切实的来源于学生，可以激发学生的学习兴趣，同时也培养了学生分类、整理的能力。采用这样的方式在教学时，要注意放手让学生整理知识，形式各异、思路各异、互助评价，开展争辨。这样有利于学生主体性的发挥，真正把学习的主动权交给学生，让学生主动参与，体验成功。（三）结合具体情境，进行数的运算复习。 数的运算复习如果仅仅停留在就题论题学生会感到非常枯燥无味，我们可以根据复习内容创设合适的情境，帮助学生进行数的运算复习。比如：1、

27、对四则计算意义的复习，可以结合几个实际问题，复习四则运算的意义。接下来可以通过举例寻找各种运算的原型，系统构建运算的现实意义，使学生体会四则运算的意义对整数、小数、分数都适用。2、四则混合运算的运算顺序和运算定律的整理，一方面要让学生结合具体情景对四则混合运算的运算顺序和运算定律加以理解；另一方面体会运算顺序和运算定律的适用性。3、估算的教学：可以在估算解决问题中，引导学生解释估算的过程，总结估算的方法。接下来自己设计估算练习，通过练习体会每种估算方法的适用性，发展学生的估算意识。（四）在复习中，注意培养学生的数感。数感是指对数的含义、计数技能、数的顺序大小、数的多种表达方法、数运算及结果的准确感知和理解等。数感是人的一种基本的数学素养，它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁，它也是一种心灵的感受，是一种意识活动，它存在于人的头脑之中，是一种高级的智力活动。具有良好“数感”的人会自然的分解数，发展和运用最基本的内容，运用他们之间的关系及数概念的知识去解决问题，估计问题的合理结果，并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的素质。数感的主要表现包括：一、理解数的意义；二、能用多种方法表示数；三、能在具体的情境中把握数的相对大小关系，能用数表达和交流信息；四、能为解决问题选择适当的算法；五、能估计运算