总体参数估计

1、总体参数估计根据样本信息对总体参数状况进行推断，具体有两种不同形式，即总体参数估计和假设检验。本节先介绍第一种形式：参数估计。总体参数估计，是根据从样本得到的统计量对相应的总体参数进行估计。例如用样本平均数估计总体的平均数，用样本的标准差估计总体的标准差等。总体参数估计可分为点估计和区间估计。一 点估计点估计，是指在进行总体参数估计时，直接用一个特定值（一般常用样本统计量的值）作为总体参数的估计值。例如，已知某一样本的平均数= 50，就把50作为对总体平均数的估计值。当然，不能认为，刚好等于50，只是希望接近于50。又例如某一样本的方差=100，就把100作为对总体方差的估计值。同样，不能认为

2、刚好等于100，而只是希望的数值是在100附近。像这种= 50，=100的估计，就是点估计。一般而言，样本平均数时总体平均数的无偏、一致、有效而充分的点估计。经过校正的样本标准差S是总体标准差的无偏、一致、有效而充分的点估计。由于这种估计是单个的数值，总是存在误差，对误差也不能准确地计算出来。另外，点估计无法指出对总体参数给予正确估计的概率有多大。所以，这种点估计只能作为一种不精确的大致的估计，更好的办法是对总体参数进行区间估计。二 区间估计（一）区间估计的概念区间估计是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，用概率表示总体参数可能落在某数值区间之内的推算方法。例如，某一样本= 50，很可能的值是

3、在46到54这个区间内；=100，很可能的值落在94到119这个区间之内。这种估计就是区间估计，即总体参数可能落在这个给定的区间内。同时，为了更清楚地说明，还必须指出和的值，用概率表示有多大可能落在某一区间之内。（二）区间估计的原理区间估计的理论依据是抽样分布理论。现在以总体平均数区间估计为例，说明区间估计的基本原理。前一节讲过，从正态总体中，随机抽取容量为n的一切可能个样本平均数的抽样分布，仍是以总体平均数为中心的正态分布。各个样本平均数在抽样分布上的标准分为： （公式111）式中：表示样本平均数，表示总体平均数，表示平均数的标准误（即平均数抽样分布的标准差，）。令在=1.96至= 0之间的

4、面积为0.475，于是= -1.96至×2=0.95），也就是说， P ( -1.96 < < 1.96 ) = 0.95 （公式112）经过移项，（公式112）可以写成： P (-1.96<<+1.96) = 0.95这意味着样本平均数位于其抽样分布的（-1.96，+1.96）区间之内的概率为0.95。但是我们现在所要解决的是总体平均数落在样本平均数周围多大的一个范围内，以及落在这个范围的可能性的大小，因此，我们将上面的公式再次移项就可得到： P (-1.96<<+1.96) = 0.95 （公式113）这就意味着总体平均数落在（-1.96，+1

5、.96）区间内的概率为0.95，也就是说总体平均数有95%的可能存在于（-1.96，+1.96）之内，而不在这个区间的可能性只有5%。在这里，这种能够表示在某一置信度下的总体参数所在区域的距离或长度的区间被称为置信区间，-1.96为置信下限，+1.96为置信上限。置信区间包含总体参数的概率称为置信系数（或置信度）。由于采用95%和99%置信度估计总体参数时，还有5%或1%的可能性没有包括总体参数，即犯错误的概率为5%或1%。犯错误的概率称为显著性水平，用表示，= 1置信度。因此，采用95%置信度进行估计时，显著性水平为0.05；而采用99%置信度进行估计时，显著性水平为0.01。例如，某小学1

6、1岁全体女童身高的标准差为6.5厘米，现从该校随机抽取36名11岁女童，测得平均身高为142厘米，试估计该校10岁全体女童平均身高的95%置信区间。经过统计学家们的工作，已经表明诸如体重、身高、智力、考试分数等数据总体一般均呈正态或接近正态分布，所以，在实际研究中，对于样本来自的总体一般都假定其为正态或接近正态分布。此例中，已知总体标准差=6.5，样本平均数=142，那么根据（公式113），总体平均数95%的置信区间为： P (-1.96<<+1.96) = 0.95 有 P (142 -1.96<<142 + 1.96) = 0.95 P (139.88<<

7、;144.12) = 0.95 由此可知，置信下限为139.88，置信上限为144.12。于是在95%的可信度上可以说，该校10岁全体女童身高的平均数是在（ 139.88厘米144.12厘米）的范围内。也可以说，该校10岁全体女童身高的平均数在（ 139.88厘米144.12厘米）范围内的可能性为95%，误差为5%。（三）总体参数区间估计的计算方法由于样本容量、总体分布状态等多方面因素对总体参数估计的可信度都会产生不同程度的影响，因此，在进行总体参数估计时要针对不同情况区别对待。1 大样本总体平均数的区间估计要对总体平均数做出比较准确的估计，就要合理地确定平均数样本分布的标准差即标准误。事实上

8、，标准误与样本容量和总体分布的标准差关系密切。当样本容量n大于30的时候，样本标准差S与总体标准差相差不会很大，一般就可以利用S来做的估计值。同时，随着样本容量的增加，样本平均数与总体平均数的差距就会缩小，即标准误就会减小。在大样本情况下，对总体平均数进行区间估计的具体公式如下。置信度为95%的置信区间为：-1.96<<+1.96 （公式114）置信度为99%的置信区间为：-2.58<<+2.58 （公式115）上式的推断是根据标准正态分布的理论：当=1.96时，标准正态曲线下的面积P为95%，总体平均数 落在（-1.96，+1.96）之间的可能性为95%，推断的误差是

9、5%；：当=2.58时，标准正态曲线下的面积P为99%，总体平均数 落在（-2.58，+2.58）之间的可能性为99%，推断的误差是1%；例1，从某年级随机抽取49名学生的物理考试成绩，其平均成绩为=87分，标准差为S = 5.2分。如果以=87分代表全年级物理平均成绩，其可靠性有多大？解：=87分，S = 5.2分，n = 49，将这些数据代入（公式4）有： 87 - 1.96<<87 + 1.96 85.54 << 88.46即该年级物理平均成绩在85.54分至88.46分之间的可能性为95%。例2，从一个正态总体中随机抽取100个数据，其平均数为49，标准差为8，

10、试求总体平均数置信度为99%的置信界限。解：已知 =49分，S = 8分，n = 100，将这些数据代入（公式5）有： 49 -2.58<<49 + 2.58 46.94 << 51.06即置信度为99%的总体平均数置信区间为（46.94，51.06），置信上限为51.06，置信下限为46.94。2小样本总体平均数的区间估计当样本容量n较小时，抽样误差增大，用样本标准差S来作为总体标准差的估计值，所得到的结果一般会偏小，表现出低估倾向。因此，通常以（1）来代替作分母。由于样本比较小，应运用t分布理论，所以在推算置信区间时需要查t分布表。t分布表中= 1。根据t分布表中与

11、显著性水平0.05与0.01相对应的值为： 表 111 置信度为95%的t分布的临界值表 t 分 布自由度 2 10 20 30 50 100 500 t 值±4.30±2.23±2.09±2.04±2.01±1.98±1.97±1.96 表 112 置信度为99%的t分布的临界值表 t 分 布自由度 2 10 20 30 50 100 500 t 值±9.93±3.17±2.85±2.75±2.68±2.63±2.59±2.58从上面

12、所给出的取值情况可知，当样本很大时，估计总体平均数置信度为95%和99%的置信区间都可用（公式114）和（公式115）来推测。当样本小于30时，估计总体平均数置信度为95%的置信区间，其需用的公式为： （公式116）而估计总体平均数置信度为99%的置信区间，其需用的公式为： （公式117）例3，从某市11岁女孩中，随机抽取17名，测得体重分别为23、24.4、29.3、30、27.8（公斤）。试估计该市11岁女孩的平均体重。解：（1） 计算和S。= 26.9， S = 2.74 （2） 计算平均数标准误 （3） 查t分布表，当=17 1 = 16时， （4） 求置信度为95%的置信区间 代入（公式116）有 26.92.12× 26.9 +2.12× 25.4528.35如求置信度为99%的置信区间，则代入（公式117）有 26.92.92× 26.9 +2.92× 24.9 28.9（5）得出结论：该市11岁女孩的平均体重在25.45公斤28.35公斤之间的可能性为3总体标准差的区间估计对总体标准差进行估计，其计算公式为： （公式118）式中：S为样本标准差。观察上面的公式可发现，标准差标准误=比平均数标准误要小，因为求时，要乘以2，这就意味着对总体标准差的估计