复合函数的相关问题

1、复合函数的相关问题河南省上蔡一高 王安寓复合函数我们已经多次接触，并且研究过复合函数的解析式和单调区间，但什么是复合函数，我们还不明白。下面就将复合函数的相关问题归类总结，供同学们参考。一、定义对于函数y=f(u) uB与u=g(x) xA，如果xA时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即CB，那么就说y=f(u) uB与u=g(x) xA可以复合，称函数y=f(g(x)叫做y=f(u) uB与u=g(x) xA的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。比如， (xR)的复合函数是。u=x20与u0的交集为0，二者可以复合，但定义域发生了变化，复合

2、后的函数的定义域既不是u0，也不是xR，而是x=0。也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。由定义知道 就不能复合成f(g(x)。（为什么？）二、复合函数的定义域由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域，从而制约x的取值范围，法则g制约x的取值范围。因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。例1 已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在 1，1内取值，即12x11

3、,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：f(x)的定义域为1，1，12x11，解之0x1，f(2x1)的定义域为0，1。练习：已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域。答案：1x21 x21 1x1下面来思考两个问题：思考1：已知f(x2)的定义域为1，1，能求f(x)的定义域么？个人意见：不能。因为x2的定义域虽然为R，但其不单调，由x2求得的值域不一定是f(x)的定义域。思考

4、2：已知f(2x1)的定义域为0，1，能求f(x)的定义域么？个人意见：能。因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x1 x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域。练习：已知f(3x1)的定义域为1，2），求f(2x+1)的定义域。（提示：定义域是自变量x的取值范围）答案：x1,2) 3x14,5) 2x+14,5) x ,2).三、法则解析式复合函数y=f(g(x)的法则既不是f,也不是g，法则的运算我们没有学过（法则也可以运算？可以。）那么复合函数y=f(g(x)的法则是什么？从映射的角度很好解释。设y=f(u) uB的值域为D，u=g(x) xA的值域为C，设BC=E（非空），由之确定

5、的函数y=f(g(x)的定义域为F，则有两个映射g：FE；f：ED,如图。这样从集合F到集合D就建立了一个映射。这个映射就是复合函数y=f(g(x)，这里u充当中间变量。自变量x先被法则g作用，变成u，再经过法则f作用，变成y。复合函数y=f(g(x)的法则是g运算后再f运算。由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域（为什么？）例3 已知f(x)=2x1,g(x)=x2+1,求f(g(x)、g (f (x) 、f(f (x)、g (g (x)。解：f(g(x)=2g(x)1=2(x2+1)1=2 x2+1;g (f (x)=f2(x)+1=(2x1)2+1=4x24x+2;f(f

6、(x)=2f(x)1=2(2x1)1=4x3;g (g (x)= g2(x)+1=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.注：复合后还可以再撮合，如f(g(f(g(x) 等等。与反函数联系，还有一个有趣的地方：f(f1(x)=xx= f1 (f (x).试一下就知道了。设f(x)= ，其反函数为 ， ，。一个x非负另一个x非正能相等么？原来f1 (f (x)中的x是f (x)的定义域中的数，f(f1(x)中的x是f (x)的值域中的数，二者意义不同，当然不等。与反函数联系还有一些陷阱小心。例4 （1）已知f(x)过（2，4），则f1 (x+4)过点 。（2）已知f(x)过（2，4），则f (x+

7、4)的反函数过点 。解：（1）f(x)过（2，4） f1 (x)过（4，2） f1 (x+4)过点（0，2）；（2）f(x)过（2，4） f (x+4)过（2，4） f (x+4)的反函数过点（4，2）。解这类题要注意两点：（1）f1 是一个整体，是一个法则，不能割裂，认为f1 (x+4)是f (x+4)的反函数就把f1割裂开了。（2）f1 (x+4)是f1 (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f(x)4；f (x+4)是f (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f1 (x)4。练习：1.已知 ，求f(x2),f(f(x),f1 (x2).答案：f(x2)= ；f(f(x)= ；f1

8、 (x)= ，于是f1 (x2)= 。（注意：f1 (x)的定义域为（，2）1（0，+），复合函数f1 (x2)的定义域为x|x0,另外，分段函数的复合函数一般是分段函数）。2 已知f (x+4)过（4，2），求f1 (x+4)过点（ ， ）。答案：f (x+4)过（4，2） f(x)过点（8，2） f1(x)过（2，8） f1 (x+4)过（2，8）。四、复合函数的单调性复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错。出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）。错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律，再强调定义域

9、。一方面这个规律“同增异减”好记，另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调，造成学生跟着模仿，忽视了区间，更忽视了定义域。因此我们在以后的学习过程中，一定要记住严谨。在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间。下面通过例题来说明解题步骤和规律。例5已知f(x)= ,求f(x)的单调递增区间。分析：显然f(x)的定义域为R，f(x)是由 及 复合而成。当x1时， ，而 ， ；当x1时， ，而 ， 。因此总结出规律：同增异减。解：显然f(x)的定义域为R，设u=x22x，2u在uR上单调递增，欲求f(x)的单调递增区间，只须求u=x22x的单调递增区间。而u

10、=x22x在x1上单调递增，f(x)的单调递增区间是1，+）。例6 求g(x)= 的单调递增区间。解：由2xx2>0有0<x<2，g(x)的定义域为（0,2）。设u=2xx2， 在u>0上是递减函数，欲求g(x)的单调递增区间只须求u=2xx2在u>0时的减区间。而u=2xx2在x1上单调递减，但u>0时0<x<2，g(x)的单调递增区间为1，+）（0，2）=1，2）。另外，例5、例6中的个函数单调性一定，画出内函数的图象解题会更方便更直观。如例6，作出u=2xx2>0的图象，（如图）由图知所求单调递增区间为1，2）。由图象就能避开忘求定义

11、域，因为就不画使函数无意义的部分。 练习：1、f(x)的单调递增区间为（1，2，则f(2x)的单调递减区间是 ；2、 的单调递增区间为 。3、 在1，+）上单调递减，求实数m的取值范围。答案：1、0，1） 2、0，+） 3、（1，+）以上是常遇到的与复合函数有关的三类题型，希望能对同学们的学习有所帮助。特别是后一类的单调区间问题，我们这一届一定不能再出错。若函数f（3x-2）的定义域为-1,2,则求：函数f（x）的定义域是？函数f（5x+2）的定义域是？解：f（3x-2）的定义域为-1,2即x-1,2则3x-2-5,4即f(x)定义域为-5,4对于f（5x+2）有-55x+24得-7/5x2/

12、5综上：函数f（x）的定义域是-5,4函数f（5x+2）的定义域是-7/5，2/5若函数f(x+1)的定义域是-2，3，则y=f(2x-1)的定义域是？书上的解答过程是f(x+1)的定义域是-2，3，-2x3，-1x+14,即f(x)的定义域是-1，4。又-12x-14,得0x5/2，y=f(2x-1)的定义域是0，5/2f(x+1)的定义域指的是x的取值，而f（x）定义域指的是x的取值范围，换一下说，f（a）定义域指的是a的取值范围，所以由f(x+1)的定义域求f（x）的就要把x+1看做一个整体来对待；同理y=f(2x-1)的定义域是x的取值范围其他过程就是你写的 说白了就是换元，令a=x+1,f(x+1)=f(a),而根据函数定义，f(x)和f(a)定义域相同嘛，映射法则相同，自变量不同而已；就可以由f(x+1)定义域求得f(x)定义域再举个例子，f(5x)定义域是（-1，1），注意x是自变量，也就是-1<x<1,那么令a=5x,有-5<a<5,则f(a)定义域就是（-5，5），这也就是f（x）的定义域了。复合函数的定义域怎么确定？你只要记住两点（1）定义域一定是x的范围，你的注意力应放在x上,不管是已知定义域，还是求定义域，都是指x范围。如f(3x+1)的定义域为1，2是指括