六章习题课ppt课件

1、第六章 习题课1.根本概念根本概念2.典型例题典型例题3.练习练习2、集合的表示方法、集合的表示方法:交：交： ； ABx xAxB 且且并：并： ABx xAxB 或或:),;,(;,;,., RVVVRVVRV 设设运算规律运算规律两种运算满足以下八条两种运算满足以下八条并且这并且这记作记作的积的积与与称为称为与之对应与之对应总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素与任一元素与任一元素数数又对于任一又对于任一记作记作的和的和与与称为称为之对应之对应与与总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素意两个元素意两个元素如果对于任如果对于任为实数域为实数域是一个非空集合是一个非空集合设设2线性空间的定义线性

2、空间的定义; 0 ,)4(;0 ,; 0)3();()(2(;)1( 使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VVVV,)()8(;)(7(;)()()6(;1 )5( 那么，那么， 就称为实数域就称为实数域 上的向量空间上的向量空间或线性空间，或线性空间， 中的元素不论其本来的性质如中的元素不论其本来的性质如何，统称为实向量何，统称为实向量简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间称为向量空间VRV. 00, 0

3、)4(; 00;)1( ; 00)3(;,)2(;)1( 或或则则如果如果作作的负元素记的负元素记一的一的任一元素的负元素是唯任一元素的负元素是唯零元素是唯一的零元素是唯一的3 3线性空间的性质线性空间的性质4 4子空间子空间定义设定义设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子集，假设集，假设 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，那么称也构成一个线性空间，那么称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理线性空间定理线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线

4、性运算封锁中的线性运算封锁VLVL.,)2(;,)1(:,21212121的维数的维数称为线性空间称为线性空间个基个基的一的一就称为线性空间就称为线性空间那么那么性表示性表示线线总可由总可由中任一元素中任一元素线性无关线性无关满足满足个元素个元素如果存在如果存在中中在线性空间在线性空间VnVVnVnnnn 定义定义.,Vnnn记作记作维线性空间维线性空间的线性空间称为的线性空间称为维数为维数为5 5线性空间的维数、基与坐标线性空间的维数、基与坐标定义定义.),(,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV 并记作并记作这个基下的坐标这个基下的坐标在在这组有序数

5、就称为元素这组有序数就称为元素使使总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数任一元素任一元素对于对于的一个基的一个基是线性空间是线性空间设设普通地，设普通地，设 与与 是两个线性空间，假设在是两个线性空间，假设在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系坚持线性组合的对应，那么就说线性空间系坚持线性组合的对应，那么就说线性空间 与与 同构同构VUVU线性空间的构造完全被它的维数所决议线性空间的构造完全被它的维数所决议任何任何 维线性空间都与维线性空间都与 同构，即维数相等同构，即维数相等的线性空间都同构的线性空间都同构Rnn式可表示为式可表示为量和矩阵

6、的形式量和矩阵的形式利用向利用向个有序元素记作个有序元素记作这这把把个基个基中的两中的两是线性空间是线性空间及及设设)1( ,),(,)1(,112211222211221221111111 nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV 6 6基变换基变换.,.,)2()1()2(.),(),( 2121212121212121222121211121故过渡矩阵可逆故过渡矩阵可逆线性无关线性无关由于由于的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基称为由基称为由基矩阵矩阵称为基变换公式称为基变换公式或或或或 nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp 则有坐标变换公式则有坐标变换公式若两个基

7、满足关系式若两个基满足关系式下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基中的元素中的元素设设PxxxxxxVnnnTnnTnn),(),( ,) , , ( ,),( ,212121212121 7 7坐标变换坐标变换.,211212121 xxxPxxxxxxPxxxnnnn或或.),(),(,2121Pnn 式式则则两两个个基基满满足足基基变变换换公公换换公公式式满满足足上上述述坐坐标标变变若若任任一一元元素素的的两两种种坐坐标标反反之之8 8线性子空间线性子空间,;WW 有有设设V V是数域是数域P P上的线性空间，集合上的线性空间，集合()WV W 假设假设W对于对于V中的

8、两种运算也构成数域中的两种运算也构成数域P上的线性空上的线性空间间,那么称那么称W为为V的一个线性子空间，简称为子空间的一个线性子空间，简称为子空间设设V V为数域为数域P P上的线性空间，集合上的线性空间，集合 WV ()W ，假设，假设W W对于对于V V中两种运算封锁，即中两种运算封锁，即 ,WkPkW 有有那么那么W是是V的一个子空间的一个子空间 称为称为V的由的由 生成的子空间，生成的子空间，12,r 定义：定义：V V为数域为数域P P上的线性空间，上的线性空间， 那么子空间那么子空间 12,rV ，1122,1,2, rriWkkkkP ir 记作记作 12(,)rL 称称 为为

9、 的一组的一组 生成元生成元.12,r 12(,)rL 也为也为V V的子空间，的子空间，1212 |VVa aVaV 且且设设V1V1、V2V2为线性空间为线性空间V V的子空间，那么集合的子空间，那么集合 称之为称之为V1V1与与V2V2的交空间的交空间. .设设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，那么集合的子空间，那么集合 12121122|,VVaaaV aV称之为称之为V1与与V2的和空间的和空间.1212) VVV 1223) VVV 121) VV 2、设、设 为线性空间为线性空间V的子空间，那么以下的子空间，那么以下三三12,V V 1、设、设 为线性空间为线性空间V的子

10、空间的子空间 12,V V W1假设假设 那么那么 12,WV WV 12.WVV 2假设假设 那么那么 12.VVW 12,VW VW 条件等价条件等价:1212,(,)(,)stLL 1212,(,)stL 1212,;,st 向量，那么向量，那么4、维数公式、维数公式 定理定理7设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，那的两个子空间，那么么12,V V121212dimdimdim()dim()VVVVVV 或或121212dim()dimdimdim()VVVVVV 定义：设定义：设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，假设和的两个子空间，假设和12,V V12VV 12112,VV

11、 是独一的，和就称为直和，记作是独一的，和就称为直和，记作 12.VV 12VV 中每个向量的分解式中每个向量的分解式 设为线性空间设为线性空间V V的子空间，那么下面的子空间，那么下面12,V V四个条件等价四个条件等价:2零向量分解式独一零向量分解式独一1是直和是直和 12VV 3 120VV 41212dim()dimdimVVVV断定断定线性空间中两种运算的条运算规律缺一不线性空间中两种运算的条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必需逐条验证可，要证明一个集合是线性空间必需逐条验证假设要证明某个集合对于所定义的两种运算不假设要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需阐

12、明在两个封锁性和条运构成线性空间，只需阐明在两个封锁性和条运算规律中有一条不满足即可算规律中有一条不满足即可,:.,:,aakRkRaabbaRbaRRRk 对任意对任意数量乘法数量乘法对任意对任意加法加法上定义了两种运算上定义了两种运算在在是实数集合是实数集合是全体正实数集合是全体正实数集合设设例1例1典型例题典型例题?性空间性空间上的线上的线数域数域对这两种运算是否构成对这两种运算是否构成判断判断RR 解解,1R , 0, 0 aakak. R,RlkRba 任任取取, 0, 0, 0 abbaba.Rba . 封封闭闭的的数数量量乘乘法法运运算算是是对对于于上上述述定定义义的的加加法法和

13、和即即R .Rak ;)1(abbaabba );()()()()()(2(cbabcabcacabcabcba ;1,11,1 )3(中的零元素中的零元素是是RaaaR ;1)( 111,1, 01, 0)4(aaaaaaRaaa的的负负元元素素是是零零元元即即 ;)(5(alakaaaaaalklklklk . 的线性空间的线性空间上上量乘法构成量乘法构成对上述定义的加法和数对上述定义的加法和数RR );()()()()(6(alkalaaaaklklkklkl );()()()()()()7(bkakbkakbaababkbakkkk .1 )8(1aaa ?),(0,21的的子子空空间

14、间构构成成维维实实向向量量的的问问在在什什么么条条件件下下满满足足阶阶实实对对称称矩矩阵阵为为设设RxxxXnXXAnAnnT 例例2 2解解 ,0 XXARXVTn令令.,VkXVX 则则若若显然显然,VO . V0)()()(2 XXAkkXAkXTT即即:的的子子空空间间的的条条件件是是构构成成故故RVn:的的子子空空间间的的条条件件为为构构成成因因此此RVn, 0)()(, YXAYXVYXT有有对任意的对任意的. 02 YXAYYAXYAYXAXXATTTTT即即. 0 , YXAVYXT都有都有对于任意的对于任意的.1,)1)(2( , 1, 122在在该该基基下下的的坐坐标标并并

15、求求向向量量的的一一组组基基是是证证明明xxxRxxx 例例3 3证一证一.,3)1(22都构成它的一组基都构成它的一组基意三个线性无关的向量意三个线性无关的向量中任中任所以所以维线性空间维线性空间是是因为因为xRxR.)1)(2( , 1, 12xRxxx . 0)1)(2()1(1321 xxkxkk令令0)3(2 23332321 xkxkkkkk整整理理得得 , 0, 03, 02332321kkkkkk比比较较等等式式两两边边得得. 02100320211 D其系数行列式为其系数行列式为.)1()2(),1( , 1,)1)(2(),1(, 1, 0,2321的的一一组组基基是是所所

16、以以线线性性无无关关于于是是即即故故方方程程组组只只有有零零解解xRxxxxxxkkk ,),(1)2(321 2aaaxxT在在给给定定基基下下的的坐坐标标为为设设 ),1)(2()1(113212 xxaxaaxx则则有有,)3()2(123323212xaxaaaaaxx 整整理理得得 , 1, 13, 12332321aaaaaa比比较较系系数数 , 1, 4, 3321aaa解之得解之得).1)(2()1(431,)1 , 4 , 3( 122 xxxxxxxT即即在在给给定定基基下下的的坐坐标标为为所所以以证二证二且且又又的一组基的一组基是是已知已知,)1)(2(, 1, 1, 1

17、)1(222xRxxxxRxx xxxxxxxx221)3(1223)1)(2(11)1(111, 1)1)(2( , 1, 12线性表示线性表示可以由可以由即即xxxxx )1)(2(1)1(311)1(1112xxxxxx又又.)1)(2( , 1, 1,)1)(2( , 1, 1, 1.,)1)(2( , 1, 1, 1222的一组基的一组基是是从而从而也线性无关也线性无关因此因此无关无关线性线性而而故有相同的秩故有相同的秩所以两个向量组等价所以两个向量组等价线性表示线性表示可以由可以由即即xRxxxxxxxxxxxxx .11111 )2(22 xxxx中中的的线线性性表表达达式式知知

18、由由标标为为下下的的坐坐在在基基设设)1(,)1)(2( , 1, 113212 aaaxxxxx,100310211), 1()1)(2( , 1, 1(2 xxxxx,1431111003101111111003102111321 aaa所以所以.143)1)(2( , 1, 1()1)(2()1(4312 xxxxxxxx因因此此.,52,100110011)1 , 1 , 1(,)0 , 1 , 1(,)0 , 0 , 1( ,3213213213213的表达式的表达式下下在基在基并求并求所得到的新基所得到的新基通过过渡矩阵通过过渡矩阵求由基求由基中中在在 ARTTT例4例4解解由题设

19、有由题设有设欲求的新基为设欲求的新基为,321 ),(100110011),(),(),(32211321321321 A.)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(321所所求求的的新新基基是是所所以以TTT ,),(521),(52321321321321 xxx 521100110011521 11321Axxx则则,532521100110111 .532 321 故故.,)1, 2, 3 , 4()2 , 1, 4, 3()3 , 4, 1 , 2( )4 , 3 , 2 , 1()1, 1 , 1 , 0()1 , 2 , 1, 1( )0 , 0 ,

20、1 , 1()0 , 1, 2 , 1( 43214321432143214公式公式并写出相应的坐标变换并写出相应的坐标变换的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基求由基求由基的两组基的两组基设设 TTTTTTTTR例5例5解一由过渡矩阵的定义有解一由过渡矩阵的定义有 )4()3()2()1(4443342241144443333223113344233222211224413312211111 aaaaaaaaaaaaaaaa),1, 1 , 1 , 0()1 , 2 , 1, 1()0 , 0 , 1 , 1()0 , 1, 2 , 1()4 , 3 , 2 , 1()1(41312111 aaaa得

21、得由由方方程程整理得整理得 , 4, 32, 22, 1413141311141312111312111aaaaaaaaaaaa. 2, 6,16,11 ,41312111 aaaa得得解解之之.,)4(),3(),2(确确定定出出过过渡渡矩矩阵阵从从而而求求出出其其余余的的同同理理可可以以从从方方程程aij从上面的解法可以看到，由定义出发，利用从上面的解法可以看到，由定义出发，利用解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达式不容易得到时，可采用下面的解法式不容易得到时

22、，可采用下面的解法解二引入一组新的基解二引入一组新的基.)1 , 0 , 0 , 0( ,)0 , 1 , 0 , 0(,)0 , 0 , 1 , 0( ,)0 , 0 , 0 , 1(4321TTTT ,),(1100120111120111),(),(432143214321A 于是于是,),(),(143214321A ,),(1234214334124321),(),(432143214321B 又又BA143214321),(),( 则则 12342143341243210212121121212131232212323),(4321 211421221222126111213162

23、14721811),(4321 ,),(4321T .,),(),(43214321过过渡渡矩矩阵阵为为所所求求故故TT . ,),( ),( ,4321143214321T4321T4 xxxxTyyyyyyyyxxxxR则则和和为为在两组基下的坐标分别在两组基下的坐标分别设设 练习练习一、一、 填空题填空题( (每题每题4 4分，共分，共2424分分) )组基为组基为已知三维向量空间的一已知三维向量空间的一. 3 .1 , 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1321TTT 那么向量那么向量 在这组基下的坐标为在这组基下的坐标为 0 , 0 , 24T 的的的的象象空空间间线线

24、性性变变换换nVTT. 2称为线性称为线性.的秩的秩变换变换T称为称为定义了线性运算的集合定义了线性运算的集合 ,. 1下下的的矩矩阵阵为为在在基基线线性性变变换换21,. 4 T,22211211 aaaa下下的的矩矩阵阵是是在在基基则则12, T同同构构是是指指线线性性空空间间VU,. 5的线性变换的线性变换已知已知3. 6R cbacbcbacbaT2,2, 基基为为的的维维数数为为则则,TV加加法法和和数数乘乘定定义义为为全全体体正正实实数数的的集集合合,. 1 R;,)1(RkRbaaakabbak ;,)2(RkRbaaakbabak ?为什么为什么上的线性空间上的线性空间是否构成

25、是否构成问问RR 二、二、 解答题解答题( (每题每题8 8分，共分，共1616分分) )?. 232为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW在在基基的的元元素素求求分分、四四 3210)(7 22AR.0111,1011,1101,1110 4321下下的的坐坐标标 GGGG., 0000)2(2 RcbacbacbaW .32,1,)7( 23233在在这这个个基基下下的的坐坐标标并并求求多多项项式式一一个个基基的的是是证证明明分分、三三 xxxPxxxxxx五、以下变换能否线性变换？为什么？五、以下变换能否线性变换？为什么？(

26、(每题每题5 5分，共分，共1010分分) ) ;,2 ,. 13acbacbaTR 中中在在 .,. 2 nnnnRXXNMXXTRNM 中中取取定定矩矩阵阵是是设设.0111,1011,1101,1110 4321下下的的坐坐标标 GGGG ,1 , 0 , 0 , 00 , 1 , 0 , 00 , 0 , 1 , 00 , 0 , 0 , 14321TTTTeeee TTTT3 , 1 , 6 , 61 , 2 , 3 , 50 , 1 , 3 , 01 , 1, 1 , 24321 1 1求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；2 2求向量求向量 在后一个基下的坐标；在后一个基下的坐标； 4321,xxxx3 3求在两个基下有一样坐标的向量求在两个基下有一样坐标的向量的线性变换的线性变换已知已知分分、七七4)6( R 0 , 0 ,433 ,3,dcbadcbadcbaT 求求 的值域与核的维数和基的值域与核的维数和基T.)6( 33的的基基与与维维数数的的线线性性空空间间求求三三阶阶实实对对称称矩矩阵阵构构成成分分九九、 SR 324202423A求求 的特征值与特征向量的特征值与特征向