基于马氏链的油价预测模型

1、数学建模基于马氏链的油价预测模型油价预测模型摘要近年来中国及国际油价变化多端、震荡无常，这种“杂乱无章”的变化为油价的走势推断带来了困难。而石油价格又是政府部门、原油生产部门和用油单位及投资者关注的焦点，因此，准确并正确的预测未来较长时期的油价变动趋势，将具有重要的意义。本文将使用马尔科夫链模型来预测油价未来的变化情况。问题重述1. 基于0512年的原油价格，预测下半年及13年的油价情况，并与国际油价相对比。2. 对国家石油机制提出自己的建议。模型的假设1政府干预没有对成品油油价造成影响2国内进口原油占国内总原油产量的比例不变3国内开采原油的成本与进口原油油价相同4收集的数据真实有效模型的建立

2、一 数据的收集表一 0512年原油价格（单位：美元/桶）2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年1月40.2658.1756.9193.8143.16576.1291.29100.992月41.4856.6359.40595.41542.7577.06593.3296.913月49.0757.8663.955101.9544.85581.08102.91107.064月49.4664.3865.905107.349.40585.3110.5103.265月46.6265.1764.22512059.24580.095107.85101.36月51.516

3、4.5967.7814069.20574.14597.885.187月5302768.9774.655132.6569.2975.995.2458月57.8388.8175.235120.370.7876.5991.8959月57.9959.3477.81108.1569.28576.9683.9310月54.3954.9787.23583.16573.85581.5185.26511月51.155.4291.06559.5777.63583.5396.29512月52.4857.9592.6246.9778.8989.06599.925二 油价转移状态划分由表可知，油价起伏变化还是很大的，从

4、2005年1月至2008年6月，原油价格从40.26美元桶提高到140美元桶。此间经历了若干次跳跃式增长，每次跳跃都使油价跃升至一个新的台阶，因而可将这些价格“台阶”看作是油价的转移状态。由分析可得出，可将油价分为五个转移状态区间（0,50）50,7070,90)90,110)110,+),并分别因而可将70，90)区间看作是中高态，50，70)区间看作是中低态，这二者可并称中态；(0，50)则为低态；90，110)则为高态，由于110美元后出现超常飙升，可将110，+)看作是超高态。三 油价转移状态的构成如果我们用E来表示原油状态(事件)，用El表示油价低状态区间(0，50)，用Eml表示5

5、0，70)，用Emh表示70，90)，用Eh表示90，110)，用Eeh表示110，+)，则2005年1月到2012年6月的油价转移过程可归结为：ElElElElElEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmlEmhEmhEmhEmhEhEhEhEhEhEhEehEehEehEehEhEmhEmlElElElElElEmlEmlEmlEmhEmlEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEmhEhEhEhEehEhEhEhEhEmhEmhEhEhE

6、hEhEhEhEhEmh四 判断状态转移链是马尔科夫链表二 2005年1月至2012年6月油价各状态之间的转移频数ElEmlEmhEhEehni.El320005Eml21630021Emh03182023Eh00326130Eeh0002810n.j5212430989马尔柯夫链的基础概念转移概率是条件概率，是以事件(此处为状态)的非独立性为前提的，因而在讨论原油价格跳动转移过程是否是马尔柯夫链时，首先要对事件的非独立性进行检验，这是通过以下统计量来完成的.𝚾2=i=1mj=1m(nij-ni.n.j/n)2(ni.n.j/n)统计学上已证明，它服从自由度为(m一1)2的&#

7、120510;2分布。nij ni. n.j 式中m为状态数，n为状态转移总次数，ni.为第i个状态(i=l，2，m)转向其他各状态的转移次数之和，其数学表示为ni.=j=1mnij， n.j为第j状态(j=l，2，m)由其他各状态转来的次数之和，其数学表示为n.j=i=1mnij。这里原假设H0为状态Ei与Ej相互独立(i,j=1，2，5)。此原假设下，频数矩阵应该是均匀的，其各元素值应相差不大，据这个公式计算出的𝚾2值应该小于以自由度(m-1)2和选定的显著性水平(本文选定=005)所限定的𝚾2表查值。这时在肯定原假设的同时，也肯定了状态的相互独立性，否定了

8、马尔柯夫链的存在；如果相反，这个计算值大于表查值，那么就要否定原假设，即是在所选定的显著性水平()上肯定了状态转移的非独立性，也就是肯定了所考察的过程是一个马尔柯夫链。表三 原油价格状态转移链X2检验表(nij-ni.n.j/n)2(ni.n.j/n)j=1( El )j=2(Eml )j=3(Eml)j=4(Eh)j=5(Eeh)i=1( El )26.32090.5702511.3483151.6853930.505618i=2 (Eml )0.57025124.619461.2522077.0786522.123596i=3(Emh)0.38778720.598811.6533347.7

9、528092.325843i=4(Eh)0.05872711.243733.20238810.112363.033708i=5(Eeh)3.68179878.854790.0341293.3707871.011236j=1m30.002779.425041.3824445.056181.516854i=1mj=1m(nij-ni.n.j/n)2(ni.n.j/n)117.3832这里自由度(m-1)2=(5-1)2=16，如取显著性水平=005，则在X2（16，=.05）统计表中查得X2（16，=.05）=26.3，而由样本计算得出的X2值为117.3832，远远大于X2（16，=.05）=2

10、6.3，明显推翻了状态相互独立的原假设。这就是肯定了2005年1月至2012年6月原油价格的状态转移链是马尔柯夫链，因而可用马尔柯夫链的性质对其进行分析和讨论。五 马尔科夫链的极限频率马尔柯夫链的遍历性定理为震荡油价走势推断提供了理论依据。尽管马尔柯夫链的无后效性与回归思路有不相容之处，但不等于说油价的走势是不可推断的，恰恰是对于马尔柯夫链具有根本意义的遍历性定理为震荡期油价走势推断提供了理论依据和实现方法，从而打开了一个新局面。遍历性的含义是：对于马尔柯夫链来说，从任意状态Ei出发，当转移步骤次数逐渐增大时，转移概率都将趋于收敛，即达到它的极限值极限概率P，这就是马尔柯夫链的各态遍历性定理。

11、这时所得到的状态转移矩阵各行矢量相等，标志着过程已经稳定。如用Z(1)表示一阶转移矩阵，用Z()表示，阶转移矩阵，则它们有如下关系。此乘幂不断进行下去就会趋向它的极限值，这为实际应用提供了一个逼近极限值的方法。用表2中所在行的每个元素nij除以每行的行和ni.得到一阶状态转移概率矩阵：Z(1)=0.6000 0.4000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0952 0.7619 0.1429 0.0000 0.0000 0.0000 0.1304 0.7826 0.0870 0.0000 0.0000 0.0000 0.1000 0.8667 0.0333 0.0000 0.000

12、0 0.0000 0.2000 0.8000 其二阶转移矩阵、及收敛转移矩阵分别为：Z2=0.3981 0.5448 0.0570 0.0000 0.00000.1297 0.6372 0.2207 0.0124 0.00000.0124 0.2014 0.6398 0.1435 0.00290.0000 0.0130 0.1649 0.7665 0.0555 0.0000 0.0000 0.0200 0.3333 0.6467 Z128=0.0691 0.2902 0.3180 0.2767 0.04610.0691 0.2902 0.3180 0.2767 0.04610.0691 0.2

13、902 0.3180 0.2767 0.04610.0691 0.2902 0.3180 0.2767 0.04610.0691 0.2902 0.3180 0.2767 0.0461此时状态转移矩阵已逼近它的收敛值极限概率，行概率变得完全一样，表明不论从哪个状态开始其最终结果都是一样的。在经历了一个持续收敛的过程后，达到了稳定，此时P，表明的是各状态Ei在整个过程中所占的分量和比例。耐人寻味的是，马尔柯夫链从状态的非相互独立性开始，以转移概率再不依附于它的前提条件，以状态的相互独立为终结，在自我否定中实现了一次质的飞跃。正是这个质的飞跃使油价走势推断成为可能。这个稳定的概率行矢量就是该马尔柯

14、夫链的走势，在本例中也就是国际原油价格的走势。至此我们完成了震荡油价走势推断模型的建立，这个推断模型就是状态转移收敛矩阵的行矢量，即：马链极限概率值El Eml Emh Eh Eeh0.0691 0.2902 0.3180 0.2767 0.0461油价走势的解读与分析上述极限概率表明，国际油价的最终状态如下：低态油价终将占到6.91，中低态油价终将占到29.02，中高态油价终将占到31.8，高态油价终将占到27.67，超高态油价终将占到4.61，其柱状图如图一所示。由图一可见其形态为不对称的偏态分布，90美元桶以下的油价占到70，中位油价和低位油价占了大多数。构成了国际油价的主体；而高于90

15、美元桶的油价占30，处于从属地位。图一 油价极限概率柱状图为了对国际油价马尔柯夫链的极限概率进行解读，我们先对频数转移矩阵做如下的处理，对其中的每一个元素nij除以状态转移总数n，得到fij矩阵：ElEmlEmhEhEehEl0.0337 0.0225 0.0000 0.0000 0.0000 Eml0.0225 0.1798 0.0337 0.0000 0.0000 Emh0.0000 0.0337 0.2022 0.0225 0.0000 Eh0.0000 0.0000 0.0337 0.2921 0.0112 Eeh0.0000 0.0000 0.0000 0.0225 0.0899 状

16、态累计频率0.056180.2359550.2696630.3370790.101124将状态累计频率与马尔柯夫链收敛矩阵的行矢量作一个对比，即可发现它们之间的差异，见表4。表四 极限概率与状态累计频率对比表El（0,50）Eml50.70）Emh70,90）Eh90,110）Eeh110,）马尔科夫链极限频率值0.06910.29020.31800.27670.0461油价状态累计频率值0.0562 0.2360 0.2697 0.3371 0.1011 二者之差值0.0129 0.0542 0.0483 -0.0604 -0.0550 二者之差值与累计频率值之比23.00%22.99%17

17、.92%-17.91%-54.41%由表4可看到高于110美元桶的超高油价状态出现的概率从0.1011降低到0.0461，下降54.41；90至110美元的高位油价状态出现的概率从0.3371降低到0.2767，下降17.91；而低位状态、中位状态和中高位状态都有所上升，上升幅度分别为0.0129、0.0542、0.0483，上升百分比分别为23.00%、22.99%、17.92%。这说明油价的低位状态、中位状态和中高位状态出现的比重加大了，这三者从56.18增加到67.73，增加了11.55。油价的高位状态和超位状态出现的比重降低了，此两者从在总体中占43.82下降到占32.27，减少了11

18、.55。这表明今后一段时间内国际原油价格将有所下降。另一方面，如果把 70，90)和90，110)这两个状态区间合并起来看，会发现这个区间内的状态累计频率值和极限概率值无明显变化，分别为59.47和60.68，也就是说70至110美元区间内的油价在原油价格走高的总趋势下是相对稳定的。在这个稳定区间外，高于110美元桶的油价呈下降趋势，低于70美元桶的油价呈上升趋势。如再将低态油价与中态油价归并于一起进行考虑，低于90美元桶的油价接近70的比重，对今后国际油价的走高趋势起着牵制作用。如将高位态和超高位态也并为一组，统称高态，可得低、中、高三态对比柱状图，如图二所示。图二结论一目了然，今后油价的走

19、势是，低位态油价所占的百分比在总体有所上升，高位态油价所占的百分比在总体上有所下降，中位态油价在总体上所占百分比基本稳定。如果将El EmlEmhEh并在一起，其在出现的概率为0.9539，今后一段时间，绝大多数的油价数据会落入这个区间。国际油价高于110美元桶的超常飙升事件出现的概率不足0.05。即所占份额不足油价总体的5，并不能改变低、中态油价约占70的总趋势。模型中的不足和改进在上面的马尔科夫链模型中，预测未来油价的结果还是有很多问题的，如赋予05年和12年油价以相同的权重是不合理的，明显是12年的权重应该更大些。另外，对于未来的预测是一个区间的概率，在现实生活中应用还是很困难的，如果得到的是一个具体数值，显然会更好。而且，我发现，其实“小波分析”才是最好的预测模型，可以很好地模拟油价走势曲线，给出相当准确的预测。但由于作者水平有限，看了很多关于小波分析的书也没弄懂，所以没有采用这种更好的模型。二对国家石油机制提出自己的建议基于上面对于油价的大致预测，可以初步得出：