提公因式法分解因式典型例题

1、 知识点讲解 知识点一：因式分解概念: 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 1因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。 2因式分解不整式乘法兲系： 因式分解不整式的乘法是相反方向的变形 整 式 乘 法 2 2 2 (a b) a 2ab b 因 式 分 解 2 2 2 a 2ab b (a b) (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 (a b)2 2 2 (a b)(a b) a b 2 2 a b (a b)(a b) (x 3y)(x 3y) x2 9y2 x2 9y2 (x 3y)(x 3y) 多顶式（和）=皿 .整式的积

2、 整式乘法 知识点二：寻找公因式 1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法） 2、寻找公因式的方法:因式分解（1） 例如：求 20,36,80 的最大公（约） 2 20 36 2 ：0 18 40 5 g 20 数？最大公倍数？ 2 20 36 30 2 10 18 40 5 g 20 1 g 4 1.确定公因式的系数 当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项 系数的最大公因数； 当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且 分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最 大公因数。 2.确定相同字母 公因式的字母是各项都含有的字母 3

3、.看次数 相同字母的指数取最低次数 4 看整体 如果多项式中含有相冋的多项式，应将其看成整体丌要拆开。 5.看符号 若多项式的首项是 “一”，则公因式的符号一般为负。 知识点三：因式分解的方法(重点) (一)因式分解的第一种方法(提公因式法)(重点)： 1提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面, 把多项式转化成公因式不另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2符号语言： ma mb me m(a b c) 3提公因式的步骤: (2 )提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式) 4注意事项：因式分解一定要彻底 二、例题讲解 模块1

4、：考察因式分解的概念 1. ( 2017 春峄城区期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( ) 2 2 A、x 9 6x (x 3)(x 3) 6x B、(x 5)(x 2) x 3x 10 2 2 C、x 8x 16 (x 4) D、6ab 2a 3b2 3a y 3ay 6y , 4 3 9Xy 27Xy a(x y)3 b(x y)2 (x y)3, 2 3 3 2 2 -27a2b3 36a3b2 9a2b 另一个因式 原多项式 公因式 (1)确定公因式 2 2 2 2 A、x 2x 3 (x 1) 2 B (x y)(x y) x y C、x2 xy y2 (x y)2 D、2

5、x 2y 2(x y) 3. (2017 秋姑苏区期末)下列从左到右的运算是因式分解的是( ) 2 2 2 A、2a 2a 1 2a(a 1) 1 B、(x y)(x y) x y 2 2 2 2 2 C、9x 6x 1 (3x 1) D、x y (x y) 2xy 4. ( 2017 秋华德县校级期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( ) A、3x 2y 1 5x 1 B、(3a 2b)(3a 2b) 9a 4b 2 2 3. （ 2017 秋凉州区末）多项式 a 9不a 5. （2017 春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （2016 秋濮阳期末）下列式子中，从

6、左到右的变形是因式分解的是 模块2:考察公因式 4. （2017 春邵阳县期中）多项式 8xmyn 1 m n 1 B、x y m n C、4x y m n 1 D、4x y 2 2 1 C、x x x (1 ) x 2 2 D、2x 8y 2(x 2y)(x 2y) 1. （ 2017 春抚宁县期末） 多项式 15m3n 5m2n 20m2 n3的公因式是（ A、5mn L 2 2 B、5m n C、 5m2n D、 5mn2 2 3 2.（ 2017 春东平县期中）把多项式 8a b c 是（ ） 16a2b2c2 3 3 24a bc分解因式, 应提的公因式 A、 8a2bc 223 B

7、、 2a b c c、 4abc 3.3 3 D、24 a b c 3a的公因式是（ C、a 3 B、 a 1 D、 2 25mx 10mx各项的公因式是（ A、5mx2 B、 5mx3 C、 mx D、 5mx A、 2 a(a b) a ab 2 B、a 2a 1 a(a 2) c、 x2 x x(x 1) D、xy2 x2y x(y2 xy) 6. A、 2 (x 1)( x 2) x 3x 2 2 B、 x 3x 2 (x 1)(x 2) C、 x2 4x 4 x(x 4) 4 2 D、 x 2 y (x y)(x y) 12x3myn的公因式是 6下列各组代数式中没有公因式的是( )

8、 2 A、5m(a b)不 b a B、(a b)不 a b C、mx y 不 x y D、 a ab 不 a b ab 7观察下列各组式子： 2a b和a b :5m(a b)和 a b :3(a b)和 a b ； x2 y2和x2 y2。其中有公因式的是( ) A、 B、 C D、 模块3:利用提公因式法分解因式 因式分解的第一种类型：直接提取公因式 1、分解因式： 2 2 2 2 (1) x 3x (2) 2x 18x y 4xy (3) 6a(a b) 4b(a b) 1 1 (4) abc ab2 a2bc 5 5 1 2 5 (5) a b a 4 6 n n 1 n 2 (6)

9、x x x 因式分解的第二种类型： 变形后提取公因式 2.分解因式： (1) 3a(x y) 6b(y x) (2) a(x y) b(y x) c(x y) 因式分解的第三种类型：分组后提取公因式 3.分解因式： (1) mx my nx ny (2) 2a 4b 3ma 6mb模块4:提公因式法的综合应用 类型1:利用提公因式法进行简便计算 1利用简便方法计算： 类型2:利用提公因式法进行化简求值 2.先分解因式，在计算求值: (2x 1)2(3X 2) (2x 1)(3x 2)2 x(1 2x)(3x 2) 其中 (1)3.2 200.9 4.7 200.9 200.9 2.1 (2)

10、36.8 13 55 13 20.2 55 13 55 2016，求 a2b ab2 的值 2015 4.已知a b 2 4，ab 2，求多项式4a b 2 4ab 4a 4b 的值。 x=1.5 3. ( 2016秋唐河县期末)已知：a b 2015，ab 5 3 5.若ab2 1 0，用因式分解法求 ab(a b ab b)的值.2 2016 6右 a a 1 0，则 a 2015 2014 a a = _ 6, 求7y(x 3y)2 2(3y x)3的值。 1 类型3:拔高培优题型 8. (2015 杭州模拟)已知(19x 31)(13x 17) (17 13x)(11x 23)可因式分

11、解成 (ax b)(30 x c)，其中a、b、c均为整数，求a b c的值。 4 2 2 9已知多项式x 2012x 2011x 2012有一个因式为x ax 1，另一个因式为 x2 bx 2012，求 a b 的值。 7丌解方程组 2x y x 3y 2016 2015 2014 厶 10. 求证：3 4 3 10 3 能被7整除。 11. 已知 a,b,c 满足 ab abbcbccaca3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。 (a, b,c都是正整数) 3 2 x 1是ax bx 1的一个因式，贝y b的值为( 14. (2016 秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出

12、的问题： 1 x x(x 1) x(x 1)2 (1 x)1 x x(x 1) (1 x)2 (1 x) (1 x)3 (1 )上述分解因式的方法是 _，共应用了 _ 次。 (2) 若分解1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)2004，则需应用上述方法 _ 次，结果 是 _ 。 (3) 分解因式：1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)n (n 为正整数)。 、选择题 1. (2017 开县一模)当a,b互为相反数时，代数式 12.(学霸题中题)若 B、 1 C、0 D、2 13. (2017 合肥月考*)要使多项式 则丌大亍 100 的自然数n的个数为( x2

13、2x n能分解为两个整系数一次多项式之积, A、8 B、9 C、10 D、11 2 a ab 4的值为( 2 2 12, 面积为 10，则a b ab的值为() A、120B、0 C、 D、 2. (2016 秋乳山期末)边长为 a,b的长方形周长为 D、40 3. （2017 春蚌埠期末）计算：（2） 2016 （ 2） 2017所得的结果是（ 2016 2016 A、 2 B、 2 C、 22016 D、 22016 2014 2013 4. （2017 春乐亭县期末） （ 8）2014 （ 8）2013能被下列数整除的是（ ） A、3 B、5 C、 7 D、 9 5. （2017 春源城

14、区校级月考）把多项式 p2（a 1） p（1 a） 分解因式的结果是（ ） 6. （2017 春阳谷县期末）把 xn 3 xn 1 分解因式得（ 2 2 A、 (a 1)( p2 p) B、 (a 1)( p2 p) C、 p(a 1)( p 1) D、 p(a 1)( p 1) n12 A、 x ( x 1) n3 B、 x ( x x) n2 C、 x(x n x) D、 n12 x (x x) 7.（2017 春北湖区校级期中）整式 2(a 2 1) a2 1的值( A、丌是负数 B、恒为正数 C 恒为负数 D、 结果的符号丌确定 8.（2016 赵县模拟）若 ab 3， 2b 5，则

15、a2b 2ab2 的值是( A、 15 B、 15 C、 2 D、 9.（2016 春高 密市期末）将 3x（a b) 9y（b a） 因式分解，应提的公因式是（ A、 3x 9 y B、 3x 9 y C、 a b D、 3(a b) 10. （ 2016 春临清市期末）计算 （ 3)m ( 3)m 1 ，得( A、 3m 1 B、 ( 3)m C、 ( 3)m 1 D、 ( 3)m 11.（2016 春深圳期末）若 a b 3， ab 2，则代数式 a2b ab2 的值为( A、 1 B、 C、 6 D、 6 12. （ 2016 秋美兰区校级期中）若 5， c 2 ，则 ac bc 等亍

16、( A、 10 B、 10 C、 3 D、 13. （ 2016 秋简阳市期中）如果多项式 mx A 可分解为 m（x y） ，则 A 为 A、 m B、 my D、 my 14. （ 2016 春深圳期中）若 a 2， 2 ab 3 ，则 ab 2 a b的值为（ A、 6 B、 5 C、 D、 15. （ 2016 春港南区期中）设 系是（ ） a2( a b c) ， Q a(a2 ab ac) ， P不Q的兲 A、 P Q B、 P Q C、 P Q D、互为相反数 (x 2)(2x 1) (x 2)可以因式分解成(x m)(2x n)， 10.（2016 春寿光市期末）计算： 565

17、2 0.13 4652 0.13= _ A、22015 B、 22014 C、22014 D、3 2 2014 17.（2016 春宿州校级月考）下列运算中， 因式分解正确的是 ( ） 2 A、 m mn m m(m n 1) B、 9abc 2 2 6a b 3bc(3 2ab) 2 C、3a x 6bx 3x 3x(a2 2b) D、- ab2 1 :. a b ：ab(a b) 2 2 2 16. （2016 春锡山区校级月考）计算： 2 2014 （ 2 ）2015的结果是（ ) A、(x y)(3m 2x 2y) B (x y)(3m 2x 2y) C、(x y)(3m 2x 2y)

18、 D、 (y x)(3m 2x 2y) 二、填空题 1.（ 2016 潍坊模拟） 分解因式： 4 3. a b 6a b 9a2b = 19.（ 2015 春莲湖区校级月考） 2.（2017 潍坊）因式分解: x2 2x (x 2) = _ 18. （2015 春杭州期末）多项式 则m n的值是（ ） B、 2 C、 4 D、 4 把多项式3m（x y） 2（y x）2分解因式的结果是 3.（2017 崇安区一模）分解因式 (x y)2 3(x y)的结果是 4. （2016 秋内江期末）因式分解: 2 (x y) 2y(x y)= 5. （2016 滨海县二模）分解因式: m(x y) n(y x)= 6. （2017 春醴陵市期末）因式分解: 6(x 3) x(3 x)= 7. （2017 春碑林区校级期中）分解因式 2m（m n)2 8m2( n m)= 8. （2016 陕西校级三模）分解因式：（3a b）（a b) ab b2 = 9.（ 2017 沂源县一模）因式分解 (a b)(a b 1) a b 1的结果为 11.（ 2