2021年安徽省文科数学高考真题word档【答案解析】

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）文科数学答案注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 目要求的.1 .已知全集U = LZ3,4,5,集合M = 1,2,N = 3,4,则（）A. 5B. 1,2C. 3,4D. 1,2,3,4【答

2、案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：MUN = 1.2,3.4,则L（MUN）= 5.故选：A.2 .设口= 4 + 3i,贝Ui二（）A. -3-41B. -3 + 41C 3-4iD 3 + 41【答案】C【解析】【分析】由题意结合更数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得一=竺=3 故选：C.3 .已知命题 ：3x£R,SU1X V1 ；命题, ew > 11则卜.列命题中为真命题的是（）【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题4的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于SH10=0,所

3、以命题 真命题：由于），二，在R上为增函数，园之0,所以e国之e° = l，所以命时q为真命题：所以人4为真命题，n、P Af、为假命题.故选：A.4,函数x） = sm； + cos；的最小正周期和最大值分别是（）A 3兀和B. 3兀和2C. 6兀和屈D. 6兀和2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简/（文），结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.x v【详解】由咫，/（x） = sin； + cos； =.X 5/2X、sin+ cos- 323X 7t+ 13 4，所以/（x）的最小正周期为第1页共17页2万7 =1=6不，最大值为企3故选：C.x+y&

4、gt;4,5.若x，y满足约束条件卜一y42,则Z = 3x + y的最小值为（）A. 18B. 10C. 6D. 4【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为、=-3工+Z,数形结合即可得解.【详解】由题意,作出可行域,如图阴影部分所示,由r 4- v = 4上下平移直线y = -3x+z,数形结合可得当直线过点A时,工取最小值,广3可得点小3）, 转换目标函数Z = 3x + y为y = -3犬+ Z ,364第3页共17页此时 22=3x1 + 3 = 6.故选：C.c-> 7T6. cos-, 5兀 cos"12B.C.巫2【答案】【解析】【分析】由题意结合诱导公

5、式可得cos?二12-COS2造=cos2二一suf二，再由二倍角公式即可得解. 121212【详解】由题意,、加 ,5乃 -I nCOS-COS" = COS"cos121212，万 ,乃= cos-sm"1212=鹏=叵62故选：D7.在区间（0,；随机取1个数，则取到的数小于:的概率为（3 A.-2 B.31 C.-1 D.-【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设。="区间（0,；）随机取1个数”，对应集合为：区间长度为,4= "取到的数小于:”，对应集合为：入0工；卜 区间长度为;,故选：B.【点睛】本题解

6、题关键是明确事件”取到的数小于对应的范用，再根据几何概型的概率公式即可准确求出.8 ,下列函数中最小值为4的是（）,4A. y = x- + 2x+4B. y= suiA+-SH1X,4C. y = 2X + 22-xD. y = lnx+ In x【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出丛。不符 合题意，。符合题意.【详解】对于A, y = V + 2x + 4 = （/ + l + 3N3,当且仅当x =-1时取等号，所以其最小值为3, A不符合题意:对于B,因为0<8111闻41, y = |sillAj +4

7、sinxj之 2a=4,当且仅当binx| = 2时取等号等号取不到，所以其最小值不为4, B不符合题意:对于C,因为函数定义域为R,而2'0, 了 = 2' + 2' =2' +之2a=4,当且仅当2'= 2,即工=1时取等号， 2所以其最小值为4, C符合题意：对于D, y = lnx + 3,函数定义域为（O,l）U（L+s）,而InxeRJllnx美0,如当lnx = -l, y=一 5, D不符合 111X题意.故选：C.【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可 解出.1 r9.设函

8、数/。) = 丁一，则下列函数中为奇函数的是()1 + XA. f(x1) 1B. f(x1) + 1 C. y(x+l)1 D. f(x+1)+1【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用有函数的定义即可.1_ r2【详解】由题意可得/(,()=- = -1 + ,1 + X 1 + X、2对于A, /(x-l)-l = -2不是奇函数：X、2对于B, /(工- 1) + 1 =一是奇函数：X2对于C, /(x + l)-l = -2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；x + 22对于D, /(x + l) + l =-定义域不关于原点对称，不是奇函数.x + 2故选：B【点

9、睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题一10.在正方体A3C£>-A4CQi中，尸为8a的中点，则直线总与所成的角为()JI77TJIA. B. C. D.一2346【答案】D【解析】【分析】平移直线至8C，将直线所与所成的角转化为夕8与8a所成的角，解三角形即可二【详解】如图，连接BCPCPB ,因为AR BQ ,所以ZPBQ或其补角为立线PB与AD,所成的角，因为.平面 A4G。1，所以 BBJPC1，乂 PC工 BR ,=所以PC】_L平面尸8耳，所以尸GJ.PS,设正方体棱长为2,则Eg = 2应,Pg = g DB =应,pr i万smZPBC

10、1 = -,所以/尸5Q =oCj 26故选：D11 .设5是椭圆C：二+)，2=1的上顶点，点尸在C上，则p目的最大值为() 5A -B. 76C. 75D.2【答案】A【解析】【分析】设点尸(%,%),由依题意可知,5(0,1),今+#=1,再根据两点间的距离公式得到|P时,然后消元,即 可利用二次函数的性质求出最大值.【详解】设点尸(大,%),因为8(0,1),区+疗=1,所以=£+(% 以=5(1-熠+(九一1=4y；-2% + 6 = -4(%-；)十个， 1 一而一 1“。小，所以当稣=5时，阀的最大值为,故选：A.【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的

11、距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可 解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端 点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范用是一个闭区间，而不是 全体实数上求最值.12 .设若彳=为函数/(1)="一(一6)的极大值点，则()A. a <bB. a>bC. ab < a2D. ab > a2【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对。进行分类讨论，画 出/(工)图象，即可得到"泊所满

12、足的关系，由此确定止确选项.【详解】若。=8，则/(.t) = a(x-a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故ax/，.J(x)有x = a和x = 两个不同零点，且在x = a左右附近是不变号，在x = b左右附近是变号的.依题意，x = a为函数=力)的极大值点，.在x = a左右附近都是小于零的.当<0时，由/(x)<0,画出的图象如下图所示：由图可知b < a , « < 0 ,故> /.当>0时，由工>沙时，/(x)>0,画出f(x)的图象如卜图所示:I yo由图可知b>a, a>0,故ab>a+综上所述

13、，c山后成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量。=(2,5),人=(兀4),若"/小 则4=【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于力的方程，解方程即可求得实数4的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-Ax5 = 0,8 解方程可得：A=-.14 .双曲线土一二=1的右焦点到直线x+2y -8 = 0的距离为 45【答案】45【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，。="7=>

14、/齐彳=3,所以双曲线的右焦点为(3,0),13 + 2x0-81 5 忆所以右焦点(3.0)到直线x+2y 8 = 0的距离为 42s =忑=小.故答案为：邪15 .记ABC的内角a, B,。的对边分别为a, b, c,面积为JJ, 8 = 60。，+c2 = 3ac 则b=【答案】272【解析】【分析】由三角形面积公式可得oc = 4,再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，S a瓦 = 2"sin6 = 4c= JJ， ABC 2所以。=4,/+（?2 =12,所以？=/+/-2ccos8 = 12-2x4x1 = 8 ,解得6 = 2>/7 （负值余去）.16.以图为正

15、视图,在图故答案为：2J旌中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图图图第15页共17页图<2 -H图【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为，Z)1G如图所示，长方体ASCQ-AqCA中，AB = BC = 2.BB=1,旦分别为棱qq,BC的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥E-AOE.故答案为：®.【点睛】三视图问题解决的关健之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数最关系.三、解答题.共

16、70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题 考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.3100102999.810.010 11029.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为；和。样本方差分别记为S：和S；.求，y, S；, 5；：（2）判断新设备

17、生产产品的该项指标的均值较IH设备是否行显著提高（如呆一厅之2则认为新设备生产 产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【一】（1）i = 10,g = 10.3,S； =0.036,S； =0.04； （2）新设备生产产品的该项指标的均值较IH设备仃显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.-9.8 + 103 + 10 + 10.2 + 9.9 + 9.8 + 10 + 10.1+10.2 + 9.7 1八详解（D x = 10,101010.1 + 10.4+10.1 +

18、10+10.1 + 103 + 10.6 + 10.5 + 10.4+10.5 1c, =10.3=0.036,门 0.22 + 0才 + 0 + 0.22 + 0.12 + 0.22 + 0 + 0.12+ 0.22 + 0.32 S；= 0.2- + 0.1- + 0.22 + 0.3- + 0.2-+ 0 + 03- + 02 + 0.+ 0.22 eS； = 0.04-10（2）依题意，一1 = 0.3 = 2x0.15 = 2j0.15;2j0.025，2。"。 二2J0.0076 ,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备行显著提高.18.如图，四棱锥尸一 A6co的底

19、面是矩形，PO_L底面A5C。，以为6c的中点，且P6_LAM.（1）证明：平面RW_L平面08。；（2）若尸。=。=1,求四极锥P-45C。的体积.【答案】（1）证明见解析：（2）巫.3【解析】【分析】（D由尸。_L底面A8CQ可得PO_L A",又P8_LAM,由线面垂直的判定定理可得AM _L平面0班）， 再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM J平面PBD ；（2）由（1）可知，AM JL8。，由平面知识可知，aDABaABM ,由相似比可求出A。，再根据四棱锥P A5CQ 的体枳公式即可求出.【详解】（1）因为POJ底面45C。，AM所以_L AM，又尸6_LAM, P

20、BCPD = P,所以AM，平面P8Q,而AM u平面PAM »所以平面PAM JL平面PBD.（2）由（1）可知，AM d.平面尸8。，所以AA/JL6。，从而设6A1=x, AD = 2xf则粤=缥，即2/=1，解得 =立，所以人。=五,AB AD2因为POJL底面A8C。，故四棱锥P-A5C。的体积为V = gx（lxJ）xl = ¥.【点睛】本题第一问解题关键是找到平面4M或平面及江）的垂线，结合题目条件PS J_ AM ,所以垂线可以从中产生，梢加分析即可判断出AM J.平面P8D,从而证出：第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出0

21、48,从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.19.设q是首项为1的等比数列，数列0满足。=等.已知/，3%, 9%成等差数列.（1）求,和4的通项公式；s（2）记Z和7；分别为何和也的前项和.证明：寸.【答案】（1）4=（' "=亲证明见解析.【解析】【分析】利用等差数列的性质及可得到9寸一64 + 1 = 0,解方程即可；利用公式法、错位相减法分别求出*,7；,再作差比较即可.【详解】因为q是首项为1的等比数列且可，3%, 9%成等差数列,所以6%=。+9%, J?fIUScq =,即96q + l = 0,解得9 = ；,所以，“二色广1,所以“=警与1x(1

22、4) 3 1(2)证明：由(1)可得S“=7=),233n-1+ 3”2111-得/=*+/233 , (1 23 43,23<0,所以T吟.【点晴】本题主要考无数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型足活选择，关健是要看如何消项化简的更为简洁.20.已知抛物纹C：r =2 px（p > 0）的焦点尸到准线的距离为2.（1）求c的方程,（2）已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满足。=9。尸，求直线。斜率的最大值.【答案】（1）y2=4.r； （2）最大值为;.【解析】【分析

23、】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解:（2）设。（%,%）,由平面向量的知识可得?（1。% 9,10.%）,进而可得小=2>；:9,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线C:,J=2p*p>o）的焦点尸p0 ,准线方程为x = -由题意，该抛物线焦点到准线的距离为今所以该抛物线的方程为）厂=4x ；（2）设。（%，No），则尸0 = 9。尸=（9一9%,一9%）,所以（10% 90治）,由P在抛物线上可得（10肾）2 = 4（10x0-9）,即= 2. 9 ,k y。 一 1”。所以直线。的斜率°Q x0 25y：+9 25y： + 9, -10-当

24、Vo = 0 时，k 0G = 0；/ - 10当、。工。时，。一；，9|9当然0时，因为25)，。+一之2.25为一 二 30, 50 V 稣193此时0h24彳，当且仅当25)，0 =一，即治=二时，等号成立;3K3当为0时，0；综上，直线。的斜率的最大值为;.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点。坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对稣取值范围的讨论.21 .已知函数/(/) = ./-f+ar+l.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求曲线)，= /(“过坐标原点的切线与曲线y = /(力的公共点的坐标.【答案】(1)答案见解析；(2) (1,+1)和(一1,一1一

25、).【解析】【分析】(D首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性：(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】由函数的解析式可得：r(x) = 3x2-2x+«,导函数的判别式 = 4-12。，当 = 4 - 12a4 0,aN3、h r(x)N0J(x)在 R上单调递增,当 A = 4 -12” > 0. a，时/'(力。的解为：寸十，“丁.当-2=5 时，/'(打0、/(工)单调递增; Z当，、 时，/'(6vOJ(“)单调递减; /当RW +： 4M 时，

26、/'(力0,/(“单调递增： 综上可得：当“之g时，/(K)在R上单调递增，1 1- J1 3. (1 + Jl 3a当 时，/(工)在 一双， ，+8 上J/单调递增，在匕年亘 匕半亘上单调递减.由题意可得：/(Xo) = q_¥+a% + l, /'(/)=3片-2Ao+ «， 则切线方程为：)(£-£ + ax0 +1) =(3x； -2x0 + «)(x-x0), 切线过坐标原点，则：0-(尺一七+ " + 1) = (3片一2无0 +。)(0-i) 整理可得：2石一片一1 = 0,即：(4-1)(2石+/+

27、1) = 0,解得：小三I,则/(/) = /(l) = |_|+° + =a + l, /(0) = /'。) = 1 + 4 切线方程为：y=(a+l)x, 与f(x、=工s -x2 + ar + 1联立得人'一人2十ai+1 = (a+1)a ,化筒得V Vx+l = O,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，(大一1)是寸一寸一1+1的一个因式，该 方程可以分解因式为(x l)(Y -1) = 0，解得8=1,工=-1,综上，曲线J，= /(x)过坐标原点的切线与曲线y = /(x)的公共点的坐标为(1卬+1)和(一1,一1一。【点睛】本题考查利用导数研究含

28、有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研 究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论：再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出 的切点，还可能有另外的公共点(交点)，要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求 出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，般都能 容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.第15页共17页（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做.则按所做的第一题计分.选修44:坐标系与参数方程22 .在直角坐标系宜万中，0。的圆心为半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标 方程.【答案】卜一？*008。，（2为参数）：（2）20cos（6 +勺=4一啰或20cos（夕一勺=4 +y = 1 + sin a33【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4, 1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，OC的普通方程