一元二次方程单元知识复习与总结

1、学习必备欢迎下载一元二次方程单元知识复习与总结一、引例瑞士的列昂纳德.欧拉(17071783),既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老11 1大分得 100 克朗和剩下的 一；老二分得 200 克朗和剩下的 一；老三分得 300 克朗和剩下的 一；101010以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。12解析 设孩子数为 x 人，则最后一个孩子分得遗产为100 x 克朗，老大分得遗产100

2、+ (100 x2-100)1012克朗，得方程 100+(100 x -100)=100 x.10同学们，你会解此方程吗？整理方程得X2-10X+9=0.(x-9)(x-1)=0,x 1=9,x2=1(舍去).遗产总数是 8100 克朗；有 9个孩子，每个孩子分得的遗产是900 克朗。点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为 0;然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。例 1 :用适当的方法解下列一元二次方程：(1)(2x-1)2-9=0;(2)x2+x-1=0;(3)

3、x2-4x=1;(4)3x2-16x+5=0;(3X+2)2 2=4(x-3);(6)(y-1)2=2y(1-y); (7)3a2x2- . 3 abx-2b2=0(a 工 0) (8)x2+2mx=( n+m)( n-m)解析 (1)两边开平方，得2x-仁 3 或 2x-1=- 3, x1=2,x2=-1;-1、5-1-5(2)已知：a=1,b=1,c=- 1. x1=,x2=522整理原方程，得 x2-4x-仁 0,2 (x -2) =5. x1=2+ . 5 , x2=2-丿5原方程可化为(3x-1)(x-5)=0, x1=丄,x23尸 5;学习必备欢迎下载两边开平方，得 3x+2=2(

4、x-3)或 3x+2=-2(x- 3), x1=-8, x2=_45.(6)原方程可化为1(y-1)(3y- 1)=0, y1=1, y2=- .3(7)原方程可化为 (3ax+b)( J3 ax- b)=0, x1=3D,x2=2 3b3a3a(8)原方程可化为 (x+ n+m)(x+m_ n)=0, x1=_n_m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。(1)由原方程得(2x-1)2=9,显然适合用直接开平方法，当然也可用因式分解法；(2)由 4=5 不是完全平方数，不适合用因式分解法，因一次项系数不是偶数，也不适用配方法，本题适用公式法；(3)因二

5、次项系数为 1, 一次项系数为偶数故本题适用配方法；(4)本题适用因式分解法(记住符号的选择);(5)本题可用因式分解法，也可用直接开平方法；(6)把(y-1)看作一个整体，用因式分解法比较合适；(7)注意到 3=( , 3 )2,即可用因式分解法；(8)因二次项系数为 1, 一次项系数为 2的倍数，故适用配方法；因字母系数较简单，也可用因式分解法。例 2 :解方程X4+(X-4)4=626.解析 设X_X_4=y 即 y=x-2,则原方程可化为(y+2)4+(y-2)4=626,24 2 2 2 2化简，得 y+24y- 297=0,则(y -9)(y +33)=0, / y -9=0.则

6、yi=3,y2=- 3,.xi=5,x2=-1.点评：此方程是一个高次方程，若展开(x-4)4 不但解决不了问题，还使方程变得更无规律可循了，故此处可用“平均值换元法”.432例 3:解方程 2x+3x-16x +3x+2=0.2232解析 观察原方程可知XM0,所以方程两边可同除以x2,得 2x2+3x-16+ - 吕=0,x x211 2(x +2)+3(X+)-16=0 x2x121配方,得 2(x+ )2+3(x+ )-20=0 xx学习必备欢迎下载12设 x+ =y,贝 y 2y +3y-20=0,x-(2y -5)(y+4)=0.,y2=_4.21解得 xi=2,x2=;2由 x+

7、-=-4,x解得 X3二 2+, 3,x4=-2-3.原方程的解为 xi=2,x2=1, x3=- 2+3,x4=-2-13.2点评：1若对于一个方程(未知数为 x),以-代替 x 方程不变,则称为倒数方程,本题即是倒数方程,其系数特点x是：与首末两项等距离的两项系数相等且XM 0,由此，可在方程两边同除以x2,然后配方成关于(x+1)的一x元二次方程，再利用换元法来解.例 4 :九年义务教育三年制初级中学教科书代数第三册第52 页的例 2 是:解方程X4-6X2+5=0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设 x2=y,那么 x4=y2,于是原方程可变为 y2-6y+5=

8、0.解这个方程,得 yi=1,y2=5.2当 y=1 时,x =1,x= 1;当 y=5 时,x2=5,X= . 5 .故原方程有四个根x1=1,x2=-1,x3=5,x4=-5。(1)填空：在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到降次的目的，体现了 _的数学思想；2 2 2(2)解方程(x -x) -4(x -x)-12=0.解析(1)换元,转化；(2) 设 x2-x=y,原方程变为2y -4y- 12=0, .y1=6,y2=-2.2当 y=6 时,x -x-6=0,解得 X1=3,x2=-2;当 y=-2 时,x2-x+2=0, / 0,.此方程无实根.原方程的根为 x1=3,x2=-2

9、.学习必备欢迎下载点评：高次方程一般可通过换元的方法转化为低次方程，较复杂的一元二次方程可通过整体代换的方法转化为较简单的一元二次方程(如本例 2),这是一种重要的数学思想.例 5 :当 m 为何值时,关于 x 的方程2无实根？x x_xX _1解析原方程可化为-=1 丄，x x(x_1)x -1去分母,整理,得 x-x+2- m=0,(1)把增根 x=0 代入,得 m=2,把增根 x=1 代入,得 m=2;(2)令厶=(-1)2=4(2-m)0,得 m/ ,4综上所述,当 mI或 m=2 时,原方程无实根.4点评：分式方程转变成一元二次方程时，根的范围扩大了，所以解分式方程时必须验根若使分式

10、方程无解，则有两种情况：一元二次方程的解使分母为0；一元二次方程无解，即厶0.方程总有 2 个不同的实数根，按题设原方程只有 1 个解，因此必有一根是原方程的增根，从原方程知道，增根只可能是使 x2-x=0 即 x=0 或 x=1.11显然,0 不是的根，故 x=1 是方程的根，代入得 k=-,由根与系数的关系得原方程的根为-=-2,2k当 k=0 时，方程的解为 x=2;1当 k=时,方程的解为 x=-2.2点评：本题首先想到化为整式方程，这个整式方程是含参系数的二次方程形式，应讨论，将分式方程化为整式方程时，常会出现增根，本题考点就在于此学习必备欢迎下载例 7:设关于 x 的二次方程(k2

11、-6k+8)x2+(2k2- 6k-4)x+k2=4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.2 2解析原方程可化为(k-4)(k-2)x+(2k -6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,(k-4)x+(k-2)(k-2)x+(k+2)=0./ (k -4)(k- 2)工 0学习必备欢迎下载k一2彳2.xi=-=-1-,k -4k -4k+24k 2k22 2k-4=,k-2= 一x11x21,(咅=1,x2= -1)消去 k,得 xi X2+3xi+2=0. x i(x2+3)=-2.由于 xi,x2都是整数.fXi二2fXi二11;1;Xi=21:x2亠3 = 1 x2亠3 - -

12、2| x2亠3 - -1口x1- -2x|x2- -2 xi1f Xi二2:22 - -5Jx_-410 k=6, 3,.3经检验，k=6,3.10满足题意.3点评本题方程整理成关于 x 的一元二次方程的一般形式后 数 k 用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键.练习卷21.解方程 169x-39x-2=0.,二次项系数不为 0 是隐含的条件，应考虑将参学习必备欢迎下载2.解关于 x 的方程 3x2-2(a+2b)x+b2-a2=0.3.解方程(x+2)4+(x-4)4=272.4324.解方程 2x +3x -x +3x+2=0.6.解方程13x x2x+18.当1-1-一1-0时,求b

13、-的值.a b abab2 27.当方程(m+1)x -(m+1)x-3=0的一个根为 x=-1,则 m 的值为多少？9.已知 a 是方程 x2+x-=0 的根，求三-4a-a的根.八X+1丄42.学习必备欢迎下载10.已知方程(x-19)(x-97)=p有实根 ri和2,试求方程(x-ri)(x-r2)=-p 的最小实根222m+ch+d11.已知两个二次方程 x+ax+b=O,x +cx+d=O 有一个公共根 1,求证：二次方程 x +x=0 也有一个2 2根为 1.12.x表示不超过实数 x 的最大整数，令x=x-x.(1)找出一个实数 x,使x+1=1;lxJ(2) 证明：满足上述等式

14、的 x 都不是有理数X1X2X3山耳98=1g X2X3II)-耳98=1-x11998113.已知方程组Lx1x2-x3xdl|HIIH*2(1%97一耳98二1求x1990.A 卷答案：彳3+7173_折71.X1=,x2=26 26b -a ,1=,x2=a+b.2.x学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载提示：原方程可变形为 3x2-4bx+b2=2ax+a2,2 2(2x-b)=(x+a)2x- b= (x+a), 即有 xi=b a,x2=a+b.33. m=524.J5提示:去分母整理得 a2+ab-b2=0,5.6.19Tr1、r2是一元二次方程(x-19)(x-97)=p的两个根，

15、.(x-19)(x-97)-p=(x-r1)(x-r2)=0,则(x-r J(x-r2)+p=(x-19)(x-97)可见,19、97 为方程(x-r1)(x-r2)+p=0 的两根,19 为所求.B 卷答案:1. 略2.0,2提示：令(X2)(x-4)=x-仁 y,原方程变为(y+3)4+(y-3)4=272,即得 y= 1.2故 X1=0,x2=2.2 2113.方程两边除以 x 得 2(x +飞)+3(右+x)-1=0 xx12令 x+ =y,则有 2y +3y- 5=0, .yx、1求得 X1=-2,x2=2 15.5 由已知 a +a=-4a3-13a -a2 2(a -1)(a a

16、 1) a a 1a(a -1)(a 1)a(a 1)1141 =551=,y2=1学习必备欢迎下载1 14.(1)设 x=m+a,m 为整数,0 a1,=n+b,n 为整数,0 b3 时,x= (k _、k2一4)是满足题设条件的全体实数，如取 k=3,则 x=2丄(3_ .5).2下面证明形如的数不是有理数，这只需证 k2-4 不是完全平方数，设 k2-4=s2,其中 s 为正整数，则f k亠s =2(k+s)(k-s)=4, 而 k+s 与 k-s 的奇偶性相同，又它们的积为偶数，故有或k s_2k - s = 2解得 k=2,s=0,与|k | 3 矛盾.故 k2-4 不是完全平方数.5.设 Xi=yi,XiX2=y2,x1X2Xi997=%997,则方程组化为X1X2H IX1998 1% 丄1y1丄=1y2y2miny19971y19971+5求得沖2=