中考高分的十八个关节+关节15+由函数图象衍生出的问题

1、关节十五由函数图象衍生出的问题图象本是函数关系的一种表达方式，现以它为主背景，可以衍生出如下的两类问题：、由图象反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图象对应的函数关系实际问题”； 、图象和坐标系里的几何图形相结合，这类问题解决的基本方向是：将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。一、由图象研究对应的实际问题例1 如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度

2、EF。【观察与思考】读图，并和实际背景对照，可知： 应先求出大孔对应的抛物线的解析式； 求出F点的横坐标；解：设大孔对应的抛物线解析式为y=ax2+h， 因为点B(10,0),M(0,6)在该抛物线上，即y=-35020=100a+h6=h正常水位 x解得6=ha=-350x+62令-350x+6=4.5，解得x1=5，x2=-5.EF=10米。答；当水位不涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽为10米。例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池，甲，乙两个蓄水池中的水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图（2）的所示，结合图象回答下列问题：-

3、 1 -k1=-23,b1=2y甲=-23x+2。设y乙=k2x+b2。把（0，1）和（3，4）代入，解得k2=1,b2=1，y乙=x+1（1）根据题意，由所以注水35y=-23x+2 35解得x=。 y=x+1 小时，甲，乙两蓄水池中水的深度相同。（2）设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，注水t小时甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同。先由两池水量的变化情况求出两池的底面积；2S1=3´6，即S1=9。(4-1)S2=3´6，即S2=6。再根据题意，得t+2)=6´(t+1)。 33解得t=1。注水1小时甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同。 S1(-2t+2)=

4、S2(t+1)，即9´(-2例3 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复，已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完。图（1） 是油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：（1）求在第一加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？（3）加工完这批工件，机器油耗多少升？ 【观察与思考】先读图象：折线第一段表示：前1

5、0分钟为加油过程，匀速地由10升加到100升，折线第二段表示加工过程，其间油量匀速减少，加工20分钟油量由100升减小到80升。问题（1）是求折线第二段对应的函数解析式，可用待定系数法。问题（2）相当于求（1）中的函数在函数值等于10时对应的x的值； x（分） 问题（3）由题意和（2）知，机器运行100分钟后油箱中的油量为10升，应再用9分钟将油加满，然后再运行185-(100+9)=76（分钟），这批工件加完毕，即185分钟之内，有19分钟是加油过程，有185-19=166分钟是加工过程，而加工过程每分钟耗油1升。解：（1）设图象第二段对应的函数关系式为y=kx+b，由100=10k+b 8

6、0=30k+bk=-1 解得 b=110- 2 -即y=-x+110，（2）令-x+110=10，解得x=100。即机器运行100分钟后，第一个加工过程停止。（3）第一个加工过程停止后，由图象的折线第一段知每分钟加油10升，加到到100升需9分钟，机器运行185分钟内有19分钟加油，有185-19=166分钟是加工过程，而加工每1分钟耗油1升，可知，加工完毕这批零件，耗油166升。由以上几例可以看出，解这类图象和实际背景相结合的题目思考要点有三：第一，图象和实际背景意义的结合与统一；第二，图象和对应的解析式的结合与统一；第三，要解决的实际问题是如何反映在图象和解析式上的。二、函数图象和几何图形

7、相结合的问题例1 如图所示，直线y=-2x+8与坐标轴分别交于点P和点Q，在直线PQ上有一个点A（不与 P，Q重合）。过点A作ABx轴于点B，作ACy轴于点C。设点A的横坐标为t，矩形ABOC的面积为S。（1）求S关于t的函数关系式；（2）点A在线段PQ的什么位置时，矩形ABOC的面积有最大值？并求出最大值。【观察与思考】把“点A在线段PQ表示出来，进而建立S关于t的函数关系式。解：（1）P，Q分别为直线y=-2x+8与x轴、y轴的交点。点P的坐标为（4，0），点Q的坐标为（0，8），点A的坐标为(t,-2t+8），且0<t<4， （注：“这是点A在线段PQ上，且不与P，Q重合”的

8、代数方法的表示）S=OB×AB=t×(-2t+8)，2 S=-2t+8t，0<t<4。 x（2）S=-2(t-2)+8，t=2时，S有最大值8。t=2时，点A的坐标为（2，4），恰为PQ的中点。 2当点A为线段PQ的中点时，矩形ABOC的面积最大，最大值为8。【说明】在解答本题的过程中，相关结论的“代数表示法”和“几何表示法”的相互转换，起着极为重要的作用。- 3 -例2 如图，直线y=12以A1为边向右作正方形OA1B1C1，延长C1B1交直线于点A2，x+1与y轴的交于点A1，以C1A2为边继续作正方形C1A2B2C2，重复以上过程，得到点列A1，A2，A3

9、，.An. （1）求出点A2，A3的坐标； （2）写出An的坐标。【观察与思考】关键是找到A2的坐标和A1坐标的关系，A3的坐标与A2坐标的关系从中获得规律，而这就要充分x利用A1，A2，A3在直线y=12x+1上和正方形四边相等这些条件。解：（1）A1坐标为（0，1），而OC1=OA1=1，C1A2=C1B1+B1A2， QRtDA1A2B1RtDMA1O，32A2B1A1B1=A1OMO=12，C1B1+12A1B1=32OA1。A2的坐标为(1,）。 32A3C2A2C132332×A2C1=()， 22从上可知：A2C2A1O=,类似地有：=，即A3C2=在RtDMA3C2中

10、，MCOC=MC232=2×A3C2=2×()，2223233öæ-MO=2×()-2.A3的坐标为ç2×()2-2,(2÷。222øè（2）归纳可知：An的坐标为ç2×()n-1-2,()n-1÷。è22øæ33ö例3 如图，抛物线y=14x+1与y轴交于点A，y轴上的点B的坐标为（0，2）。过点B的一条直线与抛2物线交于点P和点Q，过P和Q分别作x轴的垂线，垂足为S,R。（1）求证：PB=PS，QB=QR； （2）判断DS

11、BR的形状。【观察与思考】对于（1），应特别注意点P，Q在抛物线上的表示方法，并用恰当的方法求出PB，PS的长。 对于（2），应借助（1）的结果和图形的特殊。- 4 -x解：（1）设点P的坐标为(m,作BHPS于点H，则14m2+1)，则PS=14m2+1。BH=OS=-m,PH=PS-HS=PS-BO=(QPB214mm42+1)-2=12m214m142-1。2=PH2+BH2=(14m2-1)+m22=116+1=(m+1)2=PS2PB=PS。同理可得QB=QR。（2）QPB=PS,QB=QR，ÐPBS=ÐPBS+ÐQBR=180°-1212(1

12、80°-ÐP)，ÐQBR=12180°-ÐQ。(ÐP+ÐQ)。QÐP+ÐQ=180°,ÐPBS+ÐQBR=90°,ÐSBR=90°， DSBR是直角三角形。例4 如图，在直角坐标平面内，函数y=mx(x>0,m是常数）的图象经过A(1,4),B(a,b），其中a>1。过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD,DC,CB。 （1）若DABD的面积为4，求出点B的坐标； （2）求证：DC/AB；（3）当AD=BC时

13、，求直线AB的函数解析式。【观察与思考】由点A(1,4)在双曲线上，故可求得双曲线的解析式。 对于（1），B点的坐标为(a,的方程求解。对于（2），设AC,BD相交于点E，可通过去证BEDE=AECEma，用DABD的面积去构造关于ax来推得DC/AB；对于（3），实际上由AD=BC去构造关于B点坐标的方程，求得了B点的坐标。AB的解析式就易得。解：（1）Q函数y=4mx(x>0,m是常数），图象经过A(1,4)，m=4。据题意，可得B点的坐标为(a,4a，D点的坐标为(0,，设BD,AC交于点E，E点的坐标为(1,，a4aQa>1， DB=a,AE=4-DABD的面积为4，即4a

14、4a。=4，解得a=3，点B的坐标为(3,43)。12a(4-（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE=1，- 5 -Qa>1，易得EC=4a,BE=a-1,BEDE=a-11=a-1,AECE4-=4a4a=a-1。BEDE=AECE,DAEBDCED,ÐBAE=ÐDCE，DC/AB。（3）解：QDC/AB，当AD=BC时，有两种情况：当AD/BC时，四边形ADCB是平行四边形。由（2）得，BEDE=AECE=a-1，a-1=1，得a=2。点B的坐标为（2，2）。设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，得4=k+b 2=2k+b k=-2

15、 解得b =直线AB的函数解析式是y=-2x+6。 6当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC,a=4,点B的坐标为（4，1）。设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，得直线AB的函数解析式是y=-x+5。 4=k+b k=-1 1=4k+b 解得 b=5综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5。【说明】在本题的解法中，充分体现了恰当运用双曲线的性质，点B在该双曲线上的表示方法，以及相关几何图形的性质和有关数量。例5如图（1），已知平面直角坐标系xOy中，点A(m,6），B(n,1）为两动点，其中0<m<3，连

16、结OA,OB，OAOB。（1）求证：mn=-6；（2）当SDAOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，- 6 -使SDPOF:SDQOF=1:3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。【观察与思考】对于（1），应从OAOB出发，去构造分别以为边的相似三角形；对于（2），由SDAOB=10这一附加条件求出m,n抛物线的解析式；对于（3），由SDPOF:SDQOF=1:3去构造P点坐标的方程。 解：（1）作BCx轴于C点，ADx于D点

17、，如图（1）QA,B点坐标分别为(m,6),(n,1)， BC=1,OC=-n,AD=6，x又OAOB，DCBODDOA，CBDO=CODA=BOOA，1m=-n61）,mn=-6（2）由（1）得，OA=mBO，又SDAOB=10，12OB×OA=10。2x即OB×OA=20,mBO又OB2=20，22=BC2+OC2=m+1,m(n+1)=20，Qmn=-6,m=2,n=-3，A点坐标为（2，6），B点的坐标为(-3,1)，易得抛物线解析式为y=-x+10。2（3）直线AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点，OF=4。假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使SDPOF:SDQOF=1:3，如图（1）的所示， 则有PF:FQ=1:3，作PMy轴于点M，QNy轴于点N，QP在抛物线y=-x+10上，设P坐标为(t,-t+10)，22则FM=-x+10-4=-x+6，QDPMFDQNF，22PMQN=MFFN=PFQF=13，- 7 -22QN=3PM=-3t,NF=3MF=-3t+18，ON=-3t+14，Q点坐标为(-3t,3t-14)，222QQ点在抛物线y=-x+10上，3t-14=-9t+10，解得t=-2， 2P坐标为(-2,8)，Q坐标为(32,8)，易得直线PQ为y=-22x+4。