专题3不等式问题的题型与方法(文科)z

1、专题三：不等式问题的题型与方法(文科）一、 考点回顾1高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用； 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式a-ba+ba+b。2不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将

2、较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰4证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)5在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法不 等 式不等式的性质不等式的证明基本不等式不等式的解法比较

3、法综合法分析法数学归纳法换元法反证法导数法有理不等式无理不等式指数不等式对数不等式绝对不等式不等式的应用定义域值域单调性根的分布最值问题范围问题实际应用6知识网络其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解，不做过高要求.二、 经典例题剖析1有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1（2006年江西卷）若a>0，b>0，则不等式b<<a等价于（ ）A<x<0或0<x< B.<x< C.x<-或x> D.x<或x>解析：b<<a等价于b<&l

4、t;0或0<<a等价于x<或x>答案：D 点评：注意不等式和适用条件是例2.（2007年北京卷）如果正数满足，那么（），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值不唯一解析：正数满足， 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=， c+d4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3(2007年安徽)若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是

5、(A)a-1 (B)1 (C) 1 （D）a1解析：若对任意R,不等式ax恒成立，当x0时，xax，a1，当x<0时，xax，a1，综上得，即实数a的取值范围是1，选B。2 有关不等式的解法此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡，要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。例4（2007年安徽）解不等式0解析：因为对任意，所以原不等式等价于即，故解为所以原不等式的解集为点评：本题将绝对不等式与三角函数知识结合起来考查，属中档题例5（

6、2007年湖北卷）设和是两个集合，定义集合，如果，那么等于（） 解析：先解两个不等式得，。由定义选答案：点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选，以及解时出错。例6（2007年江西卷）已知函数在区间内连续，且（1）求实数和的值；（2）解不等式解析：（1）因为，所以，由，即，又因为在处连续，所以，即（2）由（1）得：由得，当时，解得当时，解得，所以的解集为点评：本题在分段函数的背景下考查不等式的解法，巧妙地将连续结合在一起，近几年来这类以分段函数为

7、背景下的命题很多，逐步形成了热点问题，很值得重视3有关不等式的证明不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。例7（2006年天津卷）已知数列满足并且为非零参数，（I）若、成等比数列，求参数的值；（II）设，常数且证明：（I）解：由已知且若、成等比数列，则即而解得（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故则因此，对任意 当且时，所以点评：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运

8、算能力和推理论证能力4有关不等式的综合问题例8用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)解析 设h是正四棱锥的斜高，由题设可得 消去由 (h0)得 所以V，当且仅当h=即h=1时取等号故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米 点评 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值 注意 在求得a的函数关系式时易漏h0 例9（2007年全国卷I）设函数在及时取得极值。（）求a、b

9、的值；（）若对任意的，都有成立，求c的取值范围。解析：（），因为函数在及取得极值，则有，即 ，解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为点评：本题将导数、极值的应用、恒成立问题的解法交汇在一起考查，要求要有较强的运用数学知识解决问题的能力。例10（2007年福建卷）已知函数f(x)kx，. （1）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；（2）若k>0，且对于任意确定实数k的取值范围；（3）设函数F(x)f(x)+f(-x)，求证：F(1)F(2)F(n)>（）。解析：（）由得，所以

10、由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（）， 由此得，故点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力三、 方法总结与2008年高考预测（一）方法总结1熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式的解法，二元的重要不等式及应用，不等式的常用证明方法2数学中有许多相似性，如数式相似

11、，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。（二）2008年高考预测在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了运算能力，分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，

12、具有一定的灵活性。由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。四、 强化训练（一） 选择题1设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（） 解析：C 用可以排除A，可以排除B,D,故选C答案：选C评注：解选择题时一定注意解题方法，特值检验对有些选择题是正确快捷的选择。2下列四个数中最大的是（ ）ABCD 解析： ， ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2&l

13、t;ln2， 最大的数是ln2，选D。答案：选D3已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.8解析：，当等号成立，所以的最小值为，答案：选B4函数的定义域为（ ） （A） （B）（C） （D）解析：要使函数有意义，则答案：选A.5设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）A B C D解析：由 得 选A答案：选A6设函数f(x)=，已知f(a)1，则a的取值范围是( )A (，2)(，+)B (，)C (，2)(，1)D (2，)(1，+)解析 由f(x)及f(a)1可得 或 或 解得a2，解得a1，解得xa的取值范围是(，2)(，1）答案 C7定义在

14、R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，+)的图像与f(x)的图像重合，设ab0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(a)g(b) f(a)f(b)g(b)g(a) f(a)f(b)g(b)g(a)A B C D 解析 由题意f(a)=g(a)0，f(b)=g(b)0，且f(a)f(b)，g(a)g(b)f(b)f(a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)，而g(a)g(b)=g(a)g(b)g(a)+g(b)g(a)g(b)=2g(b)0，f(b)f(a)g(a)g(b)，同理 f(a)f(b)g(b)g(a)答

15、案 A8下列四个命题中 a+b2 sin2x+4 设x，y都是正数，若=1，则x+y的最小值是12 若|x2|，|y2|，则|xy|2，其中所有真命题的个数为（ ） A0 B3 C2 D1 解析 不满足均值不等式的使用条件“正、定、等” 式 |xy|=|(x2)(y2)|(x2)(y2)|x2|+|y2|+=2 为真命题答案 D评注：本题考查重要不等式的使用条件及绝对值不等式的应用9（ ） 解析：由不等式的意义知，的最大值的为2，从而答案：C10（ ）解析：令，与的图象均过点，由不等式恒成立，得。点在图象上，当的图象过点时，。由图象知，。答案：D评注：本题考查了对数函数的图象与性质，不等式的知

16、识以及数形结合的数学思想 11某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数215 830200 250154 67674 57065 280行业名称计算机营销机械建筑化工应聘人数124 620102 93589 11576 51870 436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）A计算机行业好于化工行业 B建筑行业好于物流行业C机械行业最紧张 D营销行业比贸易行业紧张解析：就业情况，计算机就业情况1，化工就业情况1，则A不合适.同理：建筑业就业情况1物流行业就业情况1，

17、故选B.答案：B评析：读懂题意是关键，这里比值越小，就业情况越好.12若函数在区间（0，）恒有，则的单调递增区间是（）A（，） B（，+） C（0，+） D（，）解析：设u2x2+x，当x（0，）时，u（0，1），而此时f（x）0恒成立，0a1，u2x2+x2（x+）2，则递减区间为（，），又u2x2+x0，x0或x，f（x）的单调递增区间为（，）答案：D评析：本题考查复合函数的单调性，对数函数的性质及解不等式等知识，这里要特别注意复合函数的定义域.（二） 填空题13不等式（）的解集为.解析： 注意到，于是原不等式可变形为而，所以，故应填 答案：14当时，不等式恒成立，则的取值范围是 解析：构

18、造函数。由于当时，不等式恒成立。则，即。解得：。答案：15函数的最小值为 解析：要使有意义，需且，解得且所以的定义域是，当时是单调递减函数，在处取最小值为4；当时是单调递增函数，在处取最小值为，比较得最小值为答案：评注：本题考查了不等式的解法，以及利用复合函数的单调性来求最值，考查全面，体现了分类讨论的思想。16不等式的解集为_解析：原不等式解得答案：点评：按常规解法需讨论去绝对值，但此路不通。注意到不等式的结构，可联想到中等号成立的条件是，从而获解。（三） 解答题17 已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3 (1)求p的值；(2)若f(x)=，解关于x的不等式(kR+)解

19、析：(1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3，x30，|x3|=3x 若|x24x+p|=x2+4xp，则原不等式为x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p 原不等式为x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8 (2) f(x)=，f-1(x)=log8 (1x1，有log8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k 1x1，kR+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1 18设，点评：本题根据已知等式特征，构造二次函数，再根据二次函

20、数的根的分布知求得范围。19求证：对于任意的不等式成立。证明：设显然该函数是以为主元的一次函数。当时，是单调函数，且所以，当时，的最大值小于1，即点评：本题根据不等式特征，构造一次函数，再根据一次函数的保号性证明不等式，简单明了。20（1）已知是正常数，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值解析：（1），故当且仅当，即时上式取等号；（2）由（1）当且仅当，即时上式取最小值，即21设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t>0).(I)求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)<-2t+m对t(0,2)恒成立，求实数m的

21、取值范围.解：（I） （），当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：T(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)递增极大值1m递减g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m<0所以m的取值范围为m>1点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用

22、，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.。22某水库进入汛期的水位升高量hn(标高)与进入汛期的天数n的关系是hn20，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？(参考数据：2.2725.1529，2.3125.3361)解析：进入汛期的水库水位标高f(n)20220，令20220>400，整理得5n26n>81，代值验证得n4，所以，会发生危险，在第4天发生设每天开启p个水闸泄洪，则f(n)202204np，令202204np400，即p5()5()下证g(n)为增函数事实上，令g(x)(x1)，g(x)()当x1时，g(x)>0，于是函数g(x)在x1时是增函数，所以g(n)为增函数从而g(n)maxg(40)故p5×2.0410.20即每天开启11个水闸泄洪