上海市长宁、嘉定区2013届高三下学期二模-数学（理）

1、 上海市长宁、嘉定区2013 届高三下学期二模数学（理）试题一填空题（本大题满分 56 分，共 14 小题，每小题 4 分）1函数)32sin()(xxf的最小正周期是 _2若关于x的不等式2230 xxa的解集为(,1)m，则实数m_3 （理）已知集合331, 0 , 1xxBaA，若AB ，则实数a的取值范围是 4已知复数z满足1iz 3，则复数z的实部与虚部之和为_5求值：1220132013201320132013124( 2)CCC _6已知向量|)., 5(),2 , 2(bakba若不超过 5，则 k 的取值范围是_7设1, 0aa，行列式34210231Dxa中第 3 行第 2

2、 列的代数余子式记作y，函数 xfy 的反函数图像经过点 1 , 2，则a 8 （理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是 _9 （理）已知135sin,53)cos(，且)0 ,2(),2, 0(，则_sin10 （理）设函数 1 , 0,1)0 , 1,1)(2xxxxxf，则将)(xfy 的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为_11 （理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件BA的概率)(BAP_是否结束开始1k1 kk0562 kk输出k理第 8 题，12 （理）设定义域为R的函数) 1( 1) 1(|1|1)(xxxx

3、f，若关于x的方程0)()(2cxbfxf有三个不同的实数解321,xxx，则232221xxx_ 13.（理）函数1sin) 1()(22xxxxf的最大值和最小值分别为mM,，则 mM_14 （理）设nS为数列 na的前n项和，若不等式21222manSann对任意等差数列 na及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为._二选择题（本大题满分 20 分，共 4 小题，每小题 5 分）15. 已知),(11baA，),(22baB是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OAOB 的充要条件是 （）A12211abab B.02121bbaa C.2121bbaa D.1221baba16.（理）

4、关于直线，m及平面 ，下列命题中正确的是（ ）A若,/ml则ml / B若,/,ll 则C若,/,/ml则ml / D若lml,/，则m17. 过点(1,1)P作直线与双曲线2212yx 交于 A、B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线 （ ）A存在一条，且方程为210 xy B存在无数条 C存在两条，方程为210 xy D不存在18. （理）已知0a且1a，函数)(log)(2bxxxfa在区间),(上既是奇函数又是增函数，则函数bxxga|log)(的图象是 ( )三解答题（本大题满分 74 分，共 5 小题）19. （理） （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2

5、 小题满分6 分）如图：已知AB平面BCD，CDBC ，AD与平面BCD所成的角为30，且2 BCAB（1）求AD与平面ABC所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离20. （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）在ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列（1）求证：03B；（2）求1 sin2sincosByBB的取值范围21.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分）设函数) 10() 1()(aaakaxfxx且是定义域为R的奇函数（1）求k的值；（2） （理）若23) 1 (f，且)(2)(22xfma

6、axgxx在),1 上的最小值为2，求m的值（文）若0) 1 (f，试说明函数)(xf的单调性，并求使不等式0)4()(2xftxxf恒成立的的取值范围22.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8分，第 3 小题满分 6 分）如图，已知点) 1,0(F，直线m：1y，P为平面上mFxyOABCD的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且QP QFFP FQ （1）求动点P的轨迹C的方程；（2） （理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为),0(0yD，求0y的取值范围；（3） （理）对于（2）中的点A、

7、B，在y轴上是否存在一点D，使得ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由23 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分）（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这3n个数构成等差数列（1）若1a，在b，c之间插入一个数，求q的值；（2）设cba，4n，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，个位于b，c之间，试比较s与的大小参考答案一、填空题（每小题 4 分，共 56 分）1 2。21 3。 （理）)

8、1,0( 4。34 5。1 6.6,2 7。48 （理）6 9。 （理）6533 10。 （理） 11 （理）65 12。 （理）5 13。 （理）2 14 （理）51 二、选择题（每小题 5 分，共 20 分）15B 16。B 17。D 18。 （理）A （三、解答题19 （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）（理）解：（1）因为AB平面BCD，所以CDAB ，又CDBC ，所以CD平面ABC，DAC就是AD与平面ABC所成的角 2 分因为AB平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30，故30ADB，由2 BCAB，得4AD，22AC， 4 分所以22co

9、sADACDAC，所以AD与平面ABC所成角的大小为45 6 分（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得32BD，22CD，则3246131ABCDBCABSVBCDBCDA，8 分ddCDACdSVACDACDB34613110 分由ACDBBCDAVV，得2d所以点B到平面ACD的距离为212 分（文）解：（1）由题意2122224SAA 表，解得14AA . 2 分在AOP中，02,120OAOPAOP，所以2 3AP 在BOP中，02,60OBOPBOP，所以2BP 4 分所以1113AAPBAPBVSAA1 18 32 3 2 43 23 6 分（2）取1AA中点Q，连接OQ

10、，PQ，则1/OQAB，得POQ或它的补角为异面直线1AB 与OP所成的角. 8 分又2 3AP ，2AQAO，得2 2OQ ，4PQ ，由余弦定理得2222cos24POOQPQPOQPO OQ ， 10 分所以异面直线1AB 与OP所成角的大小为2arccos4 12 分20 （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）解：（1）由已知，acb 2，所以由余弦定理，得acaccaacbcaB22cos22222 2 分由基本不等式acca222，得2122cosacacacB4 分所以1,21cosB因此，30 B6 分（2）4sin2cossincossin

11、)cos(sincossin2sin12BBBBBBBBBBy，9 分由（1） ，30 B，所以12744 B，所以1,224sinB，所以，BBBycossin2sin1的取值范围是2,1 12 分21 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分）（理）解：（1）由题意，对任意Rx，)()(xfxf，即xxxxakaaka) 1() 1(， 2 分即0)()(1(xxxxaaaak，0)(2(xxaak，因为x为任意实数，所以2k 4 分解法二：因为)(xf是定义域为R的奇函数，所以0)0(f，即0) 1(1 k，2k当2k时，xxaaxf)(，)()(xfa

12、axfxx，)(xf是奇函数所以k的值为2 4 分（2）由（1）xxaaxf)(，因为23) 1 (f，所以231aa，解得2a 6 分故xxxf22)(，)22(222)(22xxxxmxg，令xxt22，则222222txx，由),1 x，得,23t，所以2222)(22)()(mmtmttthxg，,23t9 分当23m时，)(th在,23上是增函数，则223h，22349 m，解得1225m（舍去） 11 分当23m时，则2)(mf，222 m，解得2m，或2m（舍去） 13 分综上，m的值是2 14 分（文）解：（1）由题意，对任意Rx，)()(xfxf，即xxxxakaaka) 1

13、() 1(，2 分即0)()(1(xxxxaaaak，0)(2(xxaak，因为x为任意实数，所以2k 4 分解法二：因为)(xf是定义域为R的奇函数，所以0)0(f，即0) 1(1 k，2k当2k时，xxaaxf)(，)()(xfaaxfxx，)(xf是奇函数所以k的值为2 4 分（2）由（1）知xxaaxf)(，由0) 1 (f，得01aa，解得10 a6 分当10 a时，xay 是减函数，xay也是减函数，所以xxaaxf)(是减函数7 分由0)4()(2xftxxf，所以)4()(2xftxxf，8 分因为)(xf是奇函数，所以)4()(2xftxxf 9 分因为)(xf是R上的减函数

14、，所以42xtxx即04) 1(2xtx对任意Rx成立， 11 分所以016) 1(2 t， 12 分解得53t 13 分所以，的取值范围是)5,3( 14 分22 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分）（理）解：（1）设),(yxP，由题意，) 1,(xQ，) 1,0(yQP，)2,( xQF，) 1,(yxFP，)2,( xFQ， 2 分由FQFPQFQP，得) 1(2) 1(22yxy，化简得yx42所以，动点P的轨迹C的方程为yx42 4 分（2）轨迹C为抛物线，准线方程为1y，即直线m，所以) 1,0(M， 6 分设直线m

15、的方程为1 kxy（0k） ，由，yxkxy4,12 得0442 kxx，由016162k，得12k 8 分设),(11yxA，),(22yxB，则kxx421，所以线段AB的中点为) 12,2(2kk， 9 分所以线段AB垂直平分线的方程为0)12()2(2kykkx，10 分令0 x，得1220 ky 11 分因为12k，所以),3(0y 12 分（3）由（2） ，kxx421，421xx，所以221221)()(|yyxxAB4)(1 ()(1 (2122122212xxxxkxxk)1616)(1 (22kk) 1)(1(422kk 14 分假设存在点),0(0yD，使得ABD为等边三

16、角形，则D到直线AB的距离|23ABd 15 分因为) 12,0(2kD，所以121) 1(21|1|22220kkkkyd，16 分所以113212222kkk，解得342k 17 分所以，存在点311,0D，使得ABD为等边三角形 18 分（文） （1）设),(yxP，由题意，) 1,(xQ，) 1,0(yQP，)2,( xQF，) 1,(yxFP，)2,( xFQ， 2 分由FQFPQFQP，得) 1(2) 1(22yxy，化简得yx42所以，动点P的轨迹C的方程为yx424 分（2）轨迹C为抛物线，准线方程为1y，即直线m，所以) 1,0(M，5 分当0a时，直线m的方程为0 x，与曲

17、线C只有一个公共点，故0a6 分所以直线m的方程为1 yax，由，yxaayx4,2 得0)42(2222ayaya，由04)2(4422aa，得102 a 8 分设),(11yxA，),(22yxB，则24221ayy，121yy，所以axx421，421xx， 9 分若FBFA ，则0FBFA，即0) 1,() 1,(2211yxyx，01)(212121yyyyxx，0124142a， 11 分解得212a所以22a 12 分（3）由（2） ，得线段AB的中点为12,22aa，线段AB的垂直平分线的一个法向量为) 1,(an ，所以线段AB的垂直平分线的方程为01222ayaxa， 15

18、 分令0 x，1220ay， 16 分因为102 a，所以3122a所以0y的取值范围是),3( 18 分23 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分）（理）解：（1）因为a，b，c是互不相等的正数，所以0q且1q由已知，a，b，c是首项为，公比为q的等比数列，则qb ，2qc ，2 分当插入的一个数位于b，c之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d，则dqdq3112，消去d得02322 qq，因为1q，所以2q 4 分（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，0d，共插入4个数5 分若在a，b之间插入个数，在b，c之间插入3个数，则dbcdab42，于是42bcab，bcab 22，0232 qq，解得2q7 分若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入个数，则dbcdab24，于是24bcab，abbc 22解得21q（不合题意，舍去） 9 分若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则dbcdab33，bcab，解得1q（不合题意，舍去） 11 分综上，a，b之间插入个数，在b，c之间插入3个数 12 分（3