23幂函数y (2)

1、数学的美无处不在数学的美无处不在 328 3182 8log32 我们来看看由我们来看看由8、2、3、 这四个数这四个数运用数学符号可组成哪些等式？运用数学符号可组成哪些等式？31思考：思考：Nab函数的完美追求函数的完美追求设想：设想：bNa如果 一定， 随 的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？1.bNa我们建立了_函数_的变化而变化，随一定，如果;xay 指数指数对数对数。我们建立了_函数_ 的变化而变化，随一定，如果Nba2xyalog2.3 幂函数幂函数问题引入问题引入： 我们先看下面几个具体问题：我们先看下面几个具体问题：(4) 如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地

2、的面积为S，那么这个正方，那么这个正方 形的边长形的边长 _ (1)如果张红买了每千克如果张红买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜W千克千克,那么她需要支付那么她需要支付 _P=W 元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积_(3)如果立方体的棱长为如果立方体的棱长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积_ (5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度那么他骑车的平均速度_ _p是是w的函数的函数S=a S 是是a的函数的函数V=a V是是a的函数的函数V=t km/s V是是t 的函数的函数这里这里a是是S的函数的函数a=S2

3、1yx2yx3yx12yx1yx以上问题中的函数具有什么共同以上问题中的函数具有什么共同特征？特征？y = 21xy =1xy = x3y = xy = x2共同特征：函数解析式是幂的形式，且指共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，自变量在底数的位置上。数是常数，自变量在底数的位置上。都是形如 的函数xy 一般地，函数一般地，函数 叫做叫做，其中，其中 是自变量，是自变量， 是常数是常数.yxx一一.幂函数的定义：幂函数的定义：注意：注意：2.形式的严格性形式的严格性（1）是以自变量为底的幂；）是以自变量为底的幂；（2）指数为常数；）指数为常数；（3）自变量前的系数为）自变量前的系数为

4、1;（4）幂前的系数也为）幂前的系数也为1 . 一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数，幂函数，其中其中 是自变量，是自变量， 是常数是常数.yxx可以是任意实数幂函数中的. 13.幂函数的定义域：幂函数的定义域：是使是使 有意义的有意义的实数的集合。随实数的集合。随 的不同而不同。的不同而不同。x例例1：判断下列函数是否为幂函数：判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 21)2(xy (3) y= -x2 21)4(xy (5) y=2x2 (6) y=x3+2 1)7(yxy1)8( 解解: 设设 由题意得由题意得 例例2.已知幂函数的图象过点已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解

5、析式试求出此函数的解析式.( )f xx1(2,)81823221loglog 2383( )f xx二二. 幂函数性质的探究：幂函数性质的探究：问题：如何探究幂函数图像和性质呢？问题：如何探究幂函数图像和性质呢？作具体幂函数的图象作具体幂函数的图象观察图象特征观察图象特征总结函数性质总结函数性质.,12132探究其性质的图像内作出幂函数即：在同一直角坐标系xyxyxyxyxy.1213 , 2 , 1的情形，对于幂函数我们只考虑4321-1-2-3-4-2246作出下列函数的图象作出下列函数的图象:yx2yx3yx12yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)2xy xy

6、 3xy 1 xy21xy 从图象能得出他从图象能得出他们的性质吗们的性质吗? 图象图象定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性y=xy=x2y=x-1y=x312yx 函数函数性质性质几个常见幂函数的图象和性质几个常见幂函数的图象和性质0,+)0,+)0,+)|0 xx R x且|0yy R y且奇奇奇奇奇奇偶偶非奇非偶非奇非偶0,+)增增(-,0减减(0,+)减减(-,0)减减增增增增增增通过观察图像与表格通过观察图像与表格 1232,yx yxyxyx1yx（1）函数和的图像都通过（1，1） ； 31,yx yxyx2yx（2）函数是奇函数，函数是偶函数；上，函数(0,)1232,y

7、x yxyxyx和1yx（3）在区间是增函数，函数 是减函数；（4）在第一象限内，函数1yx无限接近，向右与x轴无限接近。的图像向上与y轴探究探究幂函数图象在第一象限的分布情况：幂函数图象在第一象限的分布情况：10101归纳归纳幂函数图象在第一象限的性质：幂函数图象在第一象限的性质：1、注意注意：.0上单调递增在区间_；和_图象都过定点_，.,0上单调递减在区间_；图象都过定点_(0,0)(1,1)0,+)(1,1)(0,+)2.当1时，图象时，图象_凸凸 当当0 0 1时，图象时，图象_凸凸下下上上(1) 所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通都有定义，并且图象都通过点

8、过点(1,1); (2) 如果如果，则幂函数图，则幂函数图象过原点，并且在区间象过原点，并且在区间0,+)上是增函数上是增函数； (3) 如果如果，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一上是减函数，在第一象限内，当象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴，当轴，当x趋向于趋向于+时，图象在时，图象在x轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴；轴；(4) 当当为奇数时，幂函数为奇函数；当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为为偶数时，幂函数为偶函数偶函数幂函数的性质：幂函数的性质：例例3：求下列函数的定

9、义域：求下列函数的定义域：0) 1 (xy 0 xx23)2(xy 32)3( xy2 . 0)4(xy ), 0 0 xxR例例4：比较下列各组数的大小；：比较下列各组数的大小；5141878725255 3 391 8 213 3 1.)()()(.)(和和和思考：思考： aaa的范围求若,)23()1(2121解解:考虑函数考虑函数21xy 在在0,+)上为单调增函数上为单调增函数由条件有由条件有aaaa23102301解得：解得：321a练习：练习：1. 如果函数如果函数 是是幂函数，求实数幂函数，求实数m的值的值.2.如果函数如果函数是幂函数，且在区间（是幂函数，且在区间（0，+）内是减）内是减函数，求满足条件的实数函数，求满足条件的实数m的集合。的集合。m= -1 或或 m= 2mxmmxf) 1()(23222) 1()(mmxmmxf2m 1m 舍去证明：任取证明：任取x1,x2 0,+)，且，且x1x2，则，则 )()(2121xxxfxf)()(, 0, 0212121xfxfxxxx所以因为 )( 212121xxxxxx2121 xxxx.), 0)(上是增函数在所以幂函数xxf上是增函数。，在：证明幂函数例0)(5xxf课堂小结：课堂小结：1.学习了幂函数的定义学习了幂函数的定义;2.探究了幂函数在第一象限的图像