小学数学教材中的数学思想方法 王凯成

1、小学数学教材中的小学数学教材中的数数学思想学思想方法方法 王凯成王凯成一一.什么是数学思想方法什么是数学思想方法数学思想是数学的灵魂，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。数学方法是数学的行为。数学思想对数学方法起着指导作用。数学思想对数学方法起着指导作用。 数学思想方法是数学思想方法是对数学知识内容对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是对数和所使用方法的本质认识，是对数学规律的理性认识学规律的理性认识。二二.小学数学中都体现了小学数学中都体现了 哪些数学思想方法哪些数学思想方法1.集合思想集合思想 2.函数思想函数思想3.数形结合思想数形结合思想 4.转化思想转化思想5.分类思想分类

2、思想 6.类比思想类比思想7.归纳递推思想归纳递推思想 8.代数思想代数思想9.逐次逼近思想逐次逼近思想 10.无限程序统计等思想无限程序统计等思想三三.教学中如何渗透教学中如何渗透 数学思想方法数学思想方法1.备课钻研教材，挖掘数学思备课钻研教材，挖掘数学思想方法想方法2.课堂实施教学，渗透数学思课堂实施教学，渗透数学思想方法想方法3.复习总结阶段，提炼数学思复习总结阶段，提炼数学思想方法想方法4.课外活动指导，深化数学思课外活动指导，深化数学思想方法想方法 日本著名数学教育家米山国藏指出：日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了

3、，惟有深深铭记在头脑中的能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。用，使学生终身受益。” 新课标在第一部分新课标在第一部分“前言前言”的的“课程基本理念课程基本理念”中指出：中指出： 课程内容课程内容既要反映社会的需既要反映社会的需要、数学的特点，也要符合学生的认要、数学的特点，也要符合学生的认知规律。它知规律。它不仅包括数学的不仅包括数学的结果，也包括数学结果的结果，也包括数学结果的形成过程和数学思想方法。形成过程和数学思想方法。 数学课程标准数学课程标准

4、在总体目标中明在总体目标中明确提出：确提出：“通过义务教育阶段的通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：数学学习，学生能够： 获得适应社会生活和进一步获得适应社会生活和进一步发展所必须的发展所必须的数学的数学的基础知识、基础知识、基本技能、基本技能、基本思想基本思想、基本活动、基本活动经验。经验。”第二部分第二部分 课程目标课程目标 一、总体目标一、总体目标 数学思考数学思考 建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。 体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感体会统计方法的意

5、义，发展数据分析观念，感受随机现象。受随机现象。 在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。晰地表达自己的想法。 学会独立思考，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方体会数学的基本思想和思维方式。式。 二、学段目标二、学段目标第二学段（第二学段（4-6年级）年级） 数学思考数学思考 1初步形成数感和空间观念，感受符号和几何初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。直观的作用。 2进一步认识到数据中蕴含着信息，发展数据进一步认识到数据中蕴含着信息

6、，发展数据分析观念；感受随机现象。分析观念；感受随机现象。 3在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。楚地表达自己的思考过程与结果。 4. 会独立思考，会独立思考，体会一些数学的基本思想体会一些数学的基本思想。 数学教学活动必须建立在学生的认知数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他

7、们在自充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和主探索和合作交流的过程中真正理解和 掌握基本的掌握基本的数学知识与技能、数学知识与技能、 数学思想和方法数学思想和方法，获得广泛的数，获得广泛的数学活动经验。学活动经验。 全日制义务教育全日制义务教育数学课程标准数学课程标准 新课标在新课标在“实施建议实施建议”中提出：中提出： 引导学生积累数学活动经验、引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想感悟数学思想 数学思想数学思想蕴涵在数学知识形成、发蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归

8、纳、演绎、抽象、转化、次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。学生在积极参分类、模型、数形结合、随机等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、逐步积累数学活动经验、感悟数学思感悟数学思想想。 在在“教材的编写建议教材的编写建议”中提出：中提出： 重要的数学概念与重要的数学概念与数学思想数学思想要体现螺旋要体现螺旋上升的原则上升的原则 编入一些拓宽知识或者方法的选学内编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重于介绍重要的数学容，增加的内容应注重于介绍重要的数学概念、概念

9、、数学思想方法数学思想方法，而不应该片面追求，而不应该片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧。内容的深度、问题的难度、解题的技巧。 全日制数学课程标准全日制数学课程标准 修改稿修改稿中出中出现现“数学思想方法数学思想方法”等类似语言有等类似语言有19处处（第一部分前言（第一部分前言2次，第二部分课程目标次，第二部分课程目标3次，第四部分实施建议次，第四部分实施建议14次）。次）。2011年全国统一高考考试大纲数学（文）年全国统一高考考试大纲数学（文）一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求1知识要求知识要求 知识是指知识是指全日制普通高级

10、中学数学教学大纲全日制普通高级中学数学教学大纲所所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的理、定理以及其中的数学思想和方法数学思想和方法 2能力要求能力要求 （4）实践能力：能综合应用所学）实践能力：能综合应用所学数学数学知识、知识、思想和方法思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学息资料进行归纳、整理和分类，将实

11、际问题抽象为数学问题，建立数学模式；能应用相关的数学方法解决问题问题，建立数学模式；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明 二、考查要求二、考查要求 （2）对）对数学思想和方法数学思想和方法的考查是的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从考生对数学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价值立意，注重学科整体意义和思想价值立意，注重

12、通性通法，淡化特殊技巧，有效地检通性通法，淡化特殊技巧，有效地检 测考生对中学数学知识中所蕴涵的测考生对中学数学知识中所蕴涵的 数学思想和方法的掌握程度数学思想和方法的掌握程度 如果在我国中小学数学教育中如果在我国中小学数学教育中,一方面保持一方面保持数学数学双基教学双基教学这个合理的内核这个合理的内核,一方面添加一方面添加基本思想基本思想和和基本活动经验基本活动经验,出现既有出现既有演绎能力演绎能力又有又有归纳能力归纳能力的培养模式的培养模式,就必将会出现就必将会出现外国没有的我们有外国没有的我们有,外国有外国有的我们也有的我们也有的局面的局面,到了那一天到了那一天,我们就能自豪地说我们就能

13、自豪地说,我我国的基础教育领先于世界国的基础教育领先于世界. 这是东北师范大学校长史宁中教授在这是东北师范大学校长史宁中教授在的若干思考的若干思考一文的结束语一文的结束语. 这里提出了这里提出了数学基本思想数学基本思想和数学基本活动经和数学基本活动经验的问题验的问题. 注注:史宁中教授从史宁中教授从2005年起开始主持教育部年起开始主持教育部 的修订工作的修订工作. 建设中国特色的数学教育理论建设中国特色的数学教育理论 张奠宙张奠宙 (见见数学通报数学通报、数学教学数学教学2010年第年第1期期) 中国的数学课堂教学，具有许多与世界主流研究不同的特色中国的数学课堂教学，具有许多与世界主流研究不

14、同的特色.简言之，中简言之，中国特色数学课堂教学有六个主要特征：国特色数学课堂教学有六个主要特征： 重视新课重视新课“导入导入”设计，设计， 实行有效的实行有效的“尝试尝试”教学，教学， “大班级上进行师班互动大班级上进行师班互动”， “开创开创数学思想方法数学思想方法教学教学”， “变式方法引领练习变式方法引领练习”， “熟能生巧推动创新熟能生巧推动创新”. 5.倡导提炼倡导提炼“数学思想方法数学思想方法” 数学教学中关注数学思想方法的提炼，是数学教学中关注数学思想方法的提炼，是中国数学教育的重要特征中国数学教育的重要特征. 长期以来，中国数学教师教育着重于提高长期以来，中国数学教师教育着重

15、于提高数学学科知识的水平数学学科知识的水平.数学教育研究密切结合数数学教育研究密切结合数学内容进行学内容进行.数学教育工作者也是数学家园的守数学教育工作者也是数学家园的守望者望者.特别是，数学教育工作者和数学家的关系特别是，数学教育工作者和数学家的关系曾经十分密切，互动良好曾经十分密切，互动良好.比如华罗庚等数学家比如华罗庚等数学家关于关于“数学三大能力数学三大能力”的概括，大力提倡的概括，大力提倡“数形数形结合结合”的数学思想方法，影响深远的数学思想方法，影响深远.1980年，徐年，徐利治正式提出利治正式提出“数学思想方法数学思想方法”的理论，用以指的理论，用以指导中小学数学教学导中小学数学

16、教学.这一构想，迅速在中国数学这一构想，迅速在中国数学教育界获得热烈反应，并直接应用于课堂教学教育界获得热烈反应，并直接应用于课堂教学.除了除了“分分 析综合析综合”、“归纳演绎归纳演绎”、“联想类比联想类比”等一般数学思想方法外，还使用等一般数学思想方法外，还使用“数形结数形结合合”、“化归方法化归方法”、函数思想、方程思、函数思想、方程思想、关系想、关系映射映射反演原理，以及反演原理，以及“几何变换几何变换”、“等价转换等价转换”、“逐步逼逐步逼近近”、“特例解剖特例解剖”等解题策略等解题策略.至于至于“变变量替换量替换”、“待定系数法待定系数法”、“十字相乘十字相乘法法”等等的具体解题方

17、法，一向都有，现等等的具体解题方法，一向都有，现在更加丰富起来在更加丰富起来.最可贵的是，这些数学思最可贵的是，这些数学思想方法，不是停留在理论探讨上，而是付想方法，不是停留在理论探讨上，而是付诸实践，成为每一个中国数学教师的共识诸实践，成为每一个中国数学教师的共识. 数学教师普遍具有数学思想方法的教数学教师普遍具有数学思想方法的教学意识，掌握数学思想方法的内涵，将数学意识，掌握数学思想方法的内涵，将数学思想方法用于解题，并能够用数学思想学思想方法用于解题，并能够用数学思想方法进行总结和反思方法进行总结和反思.这是一笔巨大的精神这是一笔巨大的精神财富财富.学生在进行数学学习的时候，不仅会学生在

18、进行数学学习的时候，不仅会解题，而且得到数学思想方法的训练和熏解题，而且得到数学思想方法的训练和熏陶，发展自己的数学思维能力陶，发展自己的数学思维能力.这是一道多这是一道多么亮丽的教育风景么亮丽的教育风景. 到现在为止，西方的数学教育界，还到现在为止，西方的数学教育界，还没有像我们这样地关注数学思想方法，也没有像我们这样地关注数学思想方法，也还没有能够直接与之对应的数学教育研究还没有能够直接与之对应的数学教育研究领域领域. 重视反思教学重视反思教学 反思教学是中国数学教育的特长反思教学是中国数学教育的特长之一，其中最突出的措施包括讲求实之一，其中最突出的措施包括讲求实效的变式练习，效的变式练习

19、，重视数学思想方法的重视数学思想方法的提炼提炼，探究解题教学的规律。，探究解题教学的规律。 -张奠宙张奠宙 赵小平赵小平 2011年第年第7期期数学教学数学教学的编后漫笔的编后漫笔 一一.什么是数学思想方法什么是数学思想方法 一一般来说，数学思想就是在数学般来说，数学思想就是在数学学习或研究中解决问题的根本想法，学习或研究中解决问题的根本想法，是数学规律的理性认识，是数学的灵是数学规律的理性认识，是数学的灵魂。它具有本质性、概括性、指导性魂。它具有本质性、概括性、指导性的意的意义。义。 人们习惯上把那些具体的、操作人们习惯上把那些具体的、操作性强的办法称为性强的办法称为“方法方法”，而把那些，

20、而把那些抽象的、涉及范围较广的或框架性的抽象的、涉及范围较广的或框架性的办法称为办法称为“思想思想”。 数学思想揭示的是数学发展中普数学思想揭示的是数学发展中普遍的规律，为数学的发展起着指引方遍的规律，为数学的发展起着指引方向的作用。向的作用。 数学方法是在数学思想的指导下解数学方法是在数学思想的指导下解决数学问题的具体程序，它是数学思决数学问题的具体程序，它是数学思想的具体化反映。想的具体化反映。 数学思想比数学方法更抽象、更概数学思想比数学方法更抽象、更概括、更本质，括、更本质，“思想思想”是相应是相应“方法方法”的精神实质和本质概括，是理论根据，的精神实质和本质概括，是理论根据，“方法方

21、法”是相应是相应“思想思想”的技术实施。的技术实施。数学思想对数学方法起着指导作用。数学思想对数学方法起着指导作用。 数学知识是基础，数学方法是中介，数数学知识是基础，数学方法是中介，数学思想才是本源。有学思想才是本源。有了数学思想，数了数学思想，数学知识学知识就就不再成为孤立、零散的东西，数学不再成为孤立、零散的东西，数学方法也方法也不不再是死板的教条，从而能从整体上再是死板的教条，从而能从整体上把握数把握数学学。 简简单地说：单地说：数学思想是数学的灵魂，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。数学方法是数学的行为。数学思想对数学方法起着指导作用。数学思想对数学方法起着指导作用。 什么

22、是数学思想的标准什么是数学思想的标准 第一，数学的产生和发展所依赖的思想；第一，数学的产生和发展所依赖的思想； 第二，第二，学过数学的人和没有学过数学的人学过数学的人和没有学过数学的人在思维上的根本差异。在思维上的根本差异。 数学思想本质上有三个：数学思想本质上有三个： 第一个是抽象。第一个是抽象。 第二个是推理。第二个是推理。 第三个是模型。第三个是模型。 史宁中，数学的基本思想，数学通报，史宁中，数学的基本思想，数学通报，2011年第年第1期。期。 在小学数学中，许多数学思想和在小学数学中，许多数学思想和方法往往是一致的，如转化思想和方法往往是一致的，如转化思想和转化方法、假设思想和假设方

23、法等转化方法、假设思想和假设方法等等。因此，我们不妨将数学思想和等。因此，我们不妨将数学思想和数学方法看成一个整体概念数学方法看成一个整体概念对对数学知识内容和所使用方法的本质数学知识内容和所使用方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。认识，是对数学规律的理性认识。 数学思想方法是数学知识在更数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象高层次上的抽象,概括与提炼概括与提炼.这是人教版课改新教材小学数学六年级下册第91页的内容。强调数学思想方法。 人教版人教版“数学广角数学广角”蕴含的数学思想与方蕴含的数学思想与方法法册数册数 内容与课题内容与课题数学思想方法数学思想方法第二册第二册找规律：探索图案

24、和数字简单的排列规律找规律：探索图案和数字简单的排列规律有序思维有序思维第三册第三册简单的排列简单的排列 1、2能组成几个两位数？能组成几个两位数？简单的逻辑推理：猜一猜他们拿的是什么书？简单的逻辑推理：猜一猜他们拿的是什么书？排列组合思想排列组合思想简单推理简单推理第四册第四册找规律：铺地砖花纹的规律、等差数列的探求规律找规律：铺地砖花纹的规律、等差数列的探求规律有序思维有序思维第五册第五册简单的组合：有几种不同的穿法？踢几场球？简单的组合：有几种不同的穿法？踢几场球？简单的排列：简单的排列：3个数字能摆成几个三位数？个数字能摆成几个三位数？排列组合思想排列组合思想第六册第六册重叠问题：参加

25、语文、数学小组的共几人？重叠问题：参加语文、数学小组的共几人？等量代换：几个苹果与等量代换：几个苹果与1个西瓜一样重？个西瓜一样重？集合思想集合思想等量代换思想等量代换思想第七册第七册运筹问题：烙饼、沏茶、码头卸货等问题运筹问题：烙饼、沏茶、码头卸货等问题对策问题：田忌赛马对策问题：田忌赛马对策论对策论优化思想优化思想第八册第八册植树问题：两端都种、两端都不种、封闭方正中种树等植树问题：两端都种、两端都不种、封闭方正中种树等化归、数学建模化归、数学建模第九册第九册数字编码：邮政编码、身份证编码、编学号等数字编码：邮政编码、身份证编码、编学号等数字编码思想数字编码思想第十册第十册找次品：找次品：

26、5件、件、9件物品中找次品件物品中找次品化归与归纳推理化归与归纳推理第十一册第十一册鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题化归、数学建模化归、数学建模第十二册第十二册抽屉原理：抽屉原理：4支铅笔放入支铅笔放入3个文具盒，怎么放？个文具盒，怎么放？抽屉原理抽屉原理 数学思想方法是数学思想方法是“数学广角数学广角”中最本中最本质、最精彩、最具有教育价值的部分。教质、最精彩、最具有教育价值的部分。教师应让学生在解决问题的过程中，适时为师应让学生在解决问题的过程中，适时为学生找到适当的渗透途径，使学生体验数学生找到适当的渗透途径，使学生体验数学思想方法的灵活，感受数学思想方法的学思想方法的灵活，感受数学思想方法的无

27、穷魅力，逐步提高对数学思想方法的认无穷魅力，逐步提高对数学思想方法的认识水平和运用技能。概念的形成过程、结识水平和运用技能。概念的形成过程、结论的推导过程、问题的解决过程、练习的论的推导过程、问题的解决过程、练习的训练过程、复习的展开过程、课外的阅读训练过程、复习的展开过程、课外的阅读过程等，都是向学生渗透数学思想方法的过程等，都是向学生渗透数学思想方法的极好途径。极好途径。苏教版教材：苏教版教材：解决问题的策略解决问题的策略四年级上册：列表四年级上册：列表四年级下册：画图四年级下册：画图五年级上册：列举五年级上册：列举五年级下册：倒推五年级下册：倒推六年级上册：替换、假设六年级上册：替换、假

28、设六年级下册：转化六年级下册：转化北师大版教材：北师大版教材：综合应用综合应用 1.数学思想方法是教材体系的灵魂数学思想方法是教材体系的灵魂。 在现行的数学教材中，无论是哪个版本在现行的数学教材中，无论是哪个版本都存在着两条主线：一条是明线都存在着两条主线：一条是明线(显性的写显性的写在教材上的在教材上的)即数学知识，一条是暗线即数学知识，一条是暗线(潜藏潜藏在教材中的在教材中的)即数学思想方法。即数学思想方法。 明线容易理解，暗线不易看明。教师明线容易理解，暗线不易看明。教师只有深刻领悟了数学思想方法，才能从整只有深刻领悟了数学思想方法，才能从整体上、本质上理解教材；只有深入挖掘出体上、本质

29、上理解教材；只有深入挖掘出教材中的数学思想方法，才能科学地、灵教材中的数学思想方法，才能科学地、灵活地设计教学过程。活地设计教学过程。 无论从数学教育的长期还是短期无论从数学教育的长期还是短期的目标来看，数学思想方法的教学都的目标来看，数学思想方法的教学都具有极其重要的意义。从长远目标来具有极其重要的意义。从长远目标来看，数学思想方法比形式化的数学知看，数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性，在学生未来的工作识更具有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用；从近期和生活中有更加广泛的应用；从近期目标来看数学思想方法是从事数学活目标来看数学思想方法是从事数学活动及其他活动的思维方式和

30、手段，它动及其他活动的思维方式和手段，它对培养和提高学生数学学习能力起到对培养和提高学生数学学习能力起到了非常重要的作用。因此，形成和发了非常重要的作用。因此，形成和发展学生的数学思想方法是数学教育的展学生的数学思想方法是数学教育的主要核心目标之一。主要核心目标之一。2数学思想方法是教学设计的指导思想。数学思想方法是教学设计的指导思想。 数学课堂教学设计应分宏观设计、微观设数学课堂教学设计应分宏观设计、微观设计和情境设计三个层次进行。无论哪个层次上的计和情境设计三个层次进行。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生设计，其目的都在于为了让学生“参与参与”到获得到获得和发展真理性认识的数学活

31、动过程中去。这种设和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的计不能只是数学认识过程中的“还原还原”，一定要，一定要有数学思想方法的飞跃和创造。有数学思想方法的飞跃和创造。 如：有位老师在执教北师大版四年级上册如：有位老师在执教北师大版四年级上册的的确定位置确定位置一节时，设计了这样的教学环节：一节时，设计了这样的教学环节：请学生来说自己是在几组几列请学生来说自己是在几组几列-教师说几组几列教师说几组几列的同学，请相应的同学站起来一引导学生结合座的同学，请相应的同学站起来一引导学生结合座位图用坐标来表示，在此基础上从座位图中抽象位图用坐标来表示，在此基础上从座位图中抽象

32、出带有方格纸的坐标图出带有方格纸的坐标图 让学生在方格纸上用坐标表示自己的位置。让学生在方格纸上用坐标表示自己的位置。这个教学环节，有效地将坐标图和学生的座位图这个教学环节，有效地将坐标图和学生的座位图紧密联系起来，体现了数学化的过程，渗透了函紧密联系起来，体现了数学化的过程，渗透了函数思想和建模思想等，使得整个课堂教学既生动数思想和建模思想等，使得整个课堂教学既生动活泼又化抽象为具体让学生易于接受，达到很好活泼又化抽象为具体让学生易于接受，达到很好的教学效果，彰显数学思想方法、凸显数学味。的教学效果，彰显数学思想方法、凸显数学味。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数这就是说，一个好的教

33、学设计，应当是历史上数学思想方法发生、发展过程的模拟和简缩。有了学思想方法发生、发展过程的模拟和简缩。有了深刻的数学思想方法作指导，才能做出智慧熠烁深刻的数学思想方法作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能培养出有创造性活动来。这样的教学设计，才能培养出有创造性的人才。的人才。 3数学思想方法是教学质量的重要因素数学思想方法是教学质量的重要因素。 南京师范大学刘云章教授认为：南京师范大学刘云章教授认为：“不讲不讲数学思想方法的课不是好课数学思想方法的课不是好课”；“重视重视对数学思想方法的领悟将能唤

34、起数学学习对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的数学天赋，提高其数学素养从者潜在的数学天赋，提高其数学素养从而提高学习效益和质量而提高学习效益和质量”。 数学思想方法性高的教学设计，是进数学思想方法性高的教学设计，是进行高质量教学的基本保证。在数学课堂教行高质量教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。个智慧的头脑会提出各种各样的问题。 随着新技术手段的现代化学生知识面的随着新技术手段的现代化学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的，拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的，因此课堂的

35、生成是丰富多彩的。面对这些，只有因此课堂的生成是丰富多彩的。面对这些，只有把持以数学思想方法为主线的教学，只有教师达把持以数学思想方法为主线的教学，只有教师达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化、复杂的问题简单化。形象化、复杂的问题简单化。 二二.小学数学中都体现了小学数学中都体现了 哪些数学思想方法哪些数学思想方法1.集合思想集合思想 2.函数思想函数思想3.数形结合思想数

36、形结合思想 4.转化思想转化思想5.分类思想分类思想 6.类比思想类比思想7.归纳递推思想归纳递推思想 8.代数思想代数思想9.逐次逼近思想逐次逼近思想 10.无限、程序、统计等思想无限、程序、统计等思想 1.集合思想集合思想 集合作为现代数学的基本概念之一，它的思集合作为现代数学的基本概念之一，它的思想和方法已经渗透到了现代数学的各个分支之中。想和方法已经渗透到了现代数学的各个分支之中。它是它是将具有某种特征的事物的全体作一整体来考将具有某种特征的事物的全体作一整体来考虑的思想方法虑的思想方法。 渗透集合思想，培养整体观念。渗透集合思想，培养整体观念。 集合思想在小学数学教材中应用比比皆是。

37、集合思想在小学数学教材中应用比比皆是。 一般用直观的韦恩图即封闭圈表示一般用直观的韦恩图即封闭圈表示集合。集合。封闭曲线圈起来看作一个整体封闭曲线圈起来看作一个整体-集合集合圈内圈内-对象为元素对象为元素数量有限个的数量有限个的 无限个的无限个的 一个也没有一个也没有 有限集合有限集合 无限集合无限集合 空集空集1.集合概念的渗透（封闭圈表示整体）集合概念的渗透（封闭圈表示整体）2.集合关系的渗透（子集等包含关系）集合关系的渗透（子集等包含关系）3.集合运算的渗透（交集、并集、差集）集合运算的渗透（交集、并集、差集） 电子计算机的芯片技术越来电子计算机的芯片技术越来越复杂，更新越来越快，成为现

38、越复杂，更新越来越快，成为现代科技的核心技术。代科技的核心技术。 芯片中最基本的逻辑线路只芯片中最基本的逻辑线路只有三种：或门、与门和非门。这有三种：或门、与门和非门。这3种逻辑门电路就是集合的并、种逻辑门电路就是集合的并、交和补交和补3种运算。也就是说，种运算。也就是说，芯芯片的设计，在本质上用到片的设计，在本质上用到的是数学中的集合运算。的是数学中的集合运算。71这是人民教育出版社编课改新教材小学数学四年级上册页的图。这里渗透的是子集的内容。表示概念之间的隶属关系。这是人教版小学数学教材五年级下册第30页的内容。这里渗透了子集的内容。这是北师大版小学数学六下这是北师大版小学数学六下68页的

39、内容页的内容这是人民教育出版社编小学数学五年级下册14页的内容。这里渗透的是集合的概念。这是人民教育出版社编小学数学五年级下册72页第1题。这里渗透的是集合的概念。这是人教版课改新教材小学数学六年级下册第8页的内容。渗透集合思想。 这是北师大版五年级上册这是北师大版五年级上册 第第36页的内容页的内容这是人民教育出版社编小学数学五年级下册80页的内容。这里渗透的是集合交集的概念。49这 是 北 师 大 版 新 课 标 教 材五 年 级 上 册页 的 内 容 。这是人教社编课改新教材五年级下册第89的内容。这里用交集表示公约数、公倍数，对“公”字的理解有独到之处。这是人教版三年级下册第108页的

40、内容。这里渗透了集合交集的思想。 A B()( )( )()()( )( )()F ABF AF BF ABF ABF AF BF AB这就是包含与排除即容斥原理。这是北师大版小学数学教材五年级上册第86页第11题。16.()64 64 16 112.F A B2解：一个正方形记作A，一个正方形记作B，则A B就是两个正方形盖住的桌面部分，A B就是两个正方形重叠的部分.用F(A)表示A的面积.所以：F(A)=F(B)=64,F(A B)=(8-4)故： 一根木棒长一根木棒长50厘米，另一个木棒长厘米，另一个木棒长30厘米，厘米，照下图的样子把两根木棒接起来是多少厘米？照下图的样子把两根木棒接

41、起来是多少厘米？ （原实验教材第二册思考题）（原实验教材第二册思考题）这是人教版小学数学教材五年级下册第137页第7 题。解答此题需要集合的思想方法。 A B解：参加音乐或参加美术的共有25-6=19人.既参加音乐又参加美术的有10+12-19=3人.8910这是人教版小学数学教材六年级上册第页第题。解：三种杂志都订阅的同学最多能占全班的60%.75%60% 135% 如果把问题变更为：这三种杂志都订阅的同学最少能占全班的百分之几？如何解答呢？这就是答案。为什么？请思考！ 2.函数思想函数思想 函数思想是一种重要的数学思想，它可以函数思想是一种重要的数学思想，它可以开拓学生的视野，培养学生开拓

42、学生的视野，培养学生运用发展变化的观点运用发展变化的观点来认识事物的内在联系来认识事物的内在联系。 渗透函数思想，培养以变化的观点分析问渗透函数思想，培养以变化的观点分析问题题和解决问题和解决问题的意识。的意识。 函数思想使数学由低级向高级发展产生了飞函数思想使数学由低级向高级发展产生了飞跃，它使数学由常量数学进入变量数学，包含的跃，它使数学由常量数学进入变量数学，包含的数学知识和数学方法是极其丰富的。数学知识和数学方法是极其丰富的。 函数思想的核心是事物的变量之函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的量的变化

43、而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。对应就是函数。构建函数模型。对应就是函数。 函数思想体现了运动变化的观点。函数思想体现了运动变化的观点。 函数为研究运动变化的数量之间的函数为研究运动变化的数量之间的依存和对应关系和构建模型带来了方依存和对应关系和构建模型带来了方便，从而能够解决比较复杂的问题。便，从而能够解决比较复杂的问题。这是人民教育出版社编小学数学一年级下册53页第4题。它们渗透的是函数f(x)=x+3和f(x)=x+30。这是人民教育出版社编小学数学一年级下册70页第6题。它们渗透的是函数f(x)=x-5和f(x)=x

44、-9。这是人教版小学数学教材一年级下册第13页第4题。这里渗透的是函数f(x)=x-9。教学时要向学生阐明：当被减数取不同的数时（渗透变量），按所给算式（-9）（渗透对应法则），就会得到不同的差（渗透对应）。这就渗透了函数的思想。这 是 人 民 教 育 出 版 社 编 小 学 数 学二 年 级 上 册 78页 第 5题 。 它 们 渗 透的 是 函 数 f(x)=x6和 f(x)=x7。教学中要向学生阐述：当一个乘数不变，另一个乘数取不同的数时（渗透变量），就会得到不同的积（渗透对应）。这就渗透了函数的思想方法。121( )3( )5f xxf xx这是人教版六年级上册第页第 题。这里渗透的是

45、函数和。266这是人民教育出版社编小学数学二年级下册页第 题。它们渗透xx的是函数f(x)=和f(x)= 。46这是人民教育出版社编小学数学六年级上册32页第4题。这里渗透35的是函数f(x)=和f(x)=x。x6这是北师大版新课标教材二年级上册16页的内容。这里用表格渗透函数。这是人教版五年级上册第48页的内容。这里渗透的是函数的思想。这是苏教版六年级上册第3页13题。这里渗透的是函数的思想。这是人教版小学数学教材四年级下册第111页的内容。这里用折线图表示函数。这是人教版课改新教材小学数学六年级下册第46页的内容。渗透函数思想。这是这是北师大版北师大版小学数学小学数学六年级六年级下册下册第

46、第19页页的内容的内容这是这是 北师大版北师大版小学数学小学数学六年级六年级下册下册第第20页页的内容的内容这是这是北师大版北师大版小学数学小学数学六年级六年级下册下册第第63页页的内容的内容 这是人教版小学数学教材三年级下这是人教版小学数学教材三年级下册册“年月日年月日”第第52页和第页和第54页的内容。页的内容。 24时计时法与通常的钟表时计时法与通常的钟表12时计时法时计时法有什么关系呢？有什么关系呢？ 把把24时计时法的时间记作自变量时计时法的时间记作自变量x,把其把其对应的对应的12时计时法的时间记作时计时法的时间记作y,那么：那么： 由此分段函数可知：晚上由此分段函数可知：晚上23

47、时普通钟时普通钟表时针指向表时针指向11.(012)12(1224)xxyxx这是苏教版小学数学教材五年级上册第94页思考题。0.52 (100)( )520.6(100)100)xxF xxx当时这是一个分段函数（当64.652100解：因为，所以小明家十月份用电超过了千瓦时。小明家十月份用电为 100+（64.6-52） 0.6 =100+21 =121（千瓦时）这是人教版新课标教材小学数学五年级上册第26页的内容。12.5(1,0.5 ,2)212.5(1) 1)2.5(1,0.5 ,2)2ttk ktttk k这里用到分段函数：2.5(01,t=0.5k,k是大于2的正整数时，2.5+

48、(t-1)。 当t1,t0.5k,k是大于2的正整数时，2.5+(t-1)(t-1)2(t-1)。但是0.5 ,tk故知2.5t3。 由以上可知：2.51时，第二根用去的长一些；52 当x=1时，两根用去的一样长；52 当0 xbc,所以由所以由a、b、c构成最大的三位数是构成最大的三位数是 ，最小的三位，最小的三位数是数是 。a最大是最大是9，c最小是最小是1，a-c最大是最大是8。由于。由于abc,所以所以a-c的最小值是的最小值是2。这样把所有的。这样把所有的99(a-c)分成分成7类：类：198(981-189=792，972-279=693,963-369=594,954-459=4

49、95)；297,792(972-279=693,963-369=594,954-459=495 );396,693(963-369=594,954-459=495)；495,594(954-459=495)。（实际上是分为四类：数字为。（实际上是分为四类：数字为1、8、9；2、7、9；3、6、9；4、5、9）逐类加以验）逐类加以验证，最终得到证，最终得到“495”。(10010) (10010)99()abc cbaab ccb aa cabccba 2009年清华大学自主招生题：年清华大学自主招生题： 写出所有的由写出所有的由3个质数组成个质数组成的公差为的公差为8的等差数列。的等差数列。

50、对第一个质数可能出现的情况进行分类：第对第一个质数可能出现的情况进行分类：第一个质数可能为一个质数可能为3k、3k+1、3k+2。 如果第一个质数为如果第一个质数为3k，则这个数列为：，则这个数列为：3k、3k+8、3k+16。 3k为质数，则为质数，则k=1，这个数列，这个数列为：为：3、11、19。 如果第一个质数为如果第一个质数为3k+1，则这个数列为：，则这个数列为： 3k+1、3k+9、3k+17。但。但3k+9=3(k+3)永远是合永远是合数，与题设条件矛盾。数，与题设条件矛盾。 如果第一个质数为如果第一个质数为3k+2，则这个数列为：，则这个数列为：3k+2、3k+10、3k+1

51、8。但。但3k+18=3(k+6)永远永远是合数，与题设条件矛盾。是合数，与题设条件矛盾。 所以，所求等差数列仅有所以，所求等差数列仅有3、11、19一个。一个。 小学数学教材中，或显或隐都在渗透着分小学数学教材中，或显或隐都在渗透着分类思想方法：类思想方法： 一、面对繁杂的事物，为了条理化，需要一、面对繁杂的事物，为了条理化，需要梳理归类梳理归类-分类。例如，分类。例如，“整理房间整理房间”。 二、为了区别，需要分类。二、为了区别，需要分类。 三、为了计数，需要分类。三、为了计数，需要分类。 四、为了计算与推理，需要分类。四、为了计算与推理，需要分类。 现代社会，人们要处理大量的信息现代社会

52、，人们要处理大量的信息-海量海量数据，处理海量数据的有效方法就是分类，在数数据，处理海量数据的有效方法就是分类，在数据分类统计的基础上再进行分析研究，总结规律。据分类统计的基础上再进行分析研究，总结规律。所以所以在未来社会，分类的思想方法会显在未来社会，分类的思想方法会显得越来越重要。得越来越重要。 6.类比思想类比思想 在解题在解题时时，如果我们发现要解决的问题与如果我们发现要解决的问题与一个已知的问题相类似，我们就可以比照已知问一个已知的问题相类似，我们就可以比照已知问题的解决办法，试探能否用来解决现在的新问题。题的解决办法，试探能否用来解决现在的新问题。这就是类比的思想方法。这就是类比的

53、思想方法。 类比是创造发明的重要思维方法。例如，人类比是创造发明的重要思维方法。例如，人们从锯齿得到启发，类比创造了锯子；从研究鱼们从锯齿得到启发，类比创造了锯子；从研究鱼的沉浮原因，发明了潜水艇；从蝙蝠会发出超生的沉浮原因，发明了潜水艇；从蝙蝠会发出超生波引导飞行，又类比发明了雷达；从模拟人脑的波引导飞行，又类比发明了雷达；从模拟人脑的结构和功能原理，改善了电子计算机，发展为电结构和功能原理，改善了电子计算机，发展为电脑等等。这些用的都是类比的思想方法。脑等等。这些用的都是类比的思想方法。 类比是一种相似，可以说是较明确、较概念类比是一种相似，可以说是较明确、较概念化的相似。化的相似。 类比

54、思想方法的渗透，在小学教材中是多方类比思想方法的渗透，在小学教材中是多方面的。面的。 例如：从长方形的有关性质类推长方体的有关例如：从长方形的有关性质类推长方体的有关性质。性质。长方形对边相等长方形对边相等 长长方体相对的面都是一样大小的长方形方体相对的面都是一样大小的长方形长方形面积长方形面积=长长宽宽 长长方体体积方体体积=长长宽宽高高 长方形周长长方形周长=（长（长+宽）宽）2 长长方体表面积方体表面积=（长（长宽宽+宽宽高高+高高长）长） 2 再如：由除法的基本性质类比分数的基本性再如：由除法的基本性质类比分数的基本性质，由分数的基本性质类比比的基本性质。质，由分数的基本性质类比比的基

55、本性质。 既要培养学生善于类比，又要防止学生有害既要培养学生善于类比，又要防止学生有害类比。类比。 7.归纳递推思想归纳递推思想 通过对具体、个别事物进行观察、比较、分通过对具体、个别事物进行观察、比较、分析，逐步总结归纳出一般的规律，这种思想就是析，逐步总结归纳出一般的规律，这种思想就是归纳递推思想归纳递推思想. 借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力探究的能力. 归纳是创新的动力：没有演绎，就没有知识归纳是创新的动力：没有演绎，就没有知识体系；没有归纳，就没有创新的源泉体系；没有归纳，就没有创新的源泉.一般地一般地,通通过归纳来预测结果过归纳

56、来预测结果,然后通过演绎来验证结论然后通过演绎来验证结论. 小学教材里许多运算定律、性质、法则都是小学教材里许多运算定律、性质、法则都是采用归纳递推思想得到的采用归纳递推思想得到的. 教育部制订的全日制义务教育教育部制订的全日制义务教育 数学课程标数学课程标准在总体目标中指出准在总体目标中指出“通过义务教育阶段的数通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：学学习，学生能够：经历观察、实验、猜想、经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力证明等数学活动过程，发展合情推理能力”。 在学段目标中指出：第一学段（在学段目标中指出：第一学段（13年级）年级）要要“在教师的帮助下，初步学会选择

57、有用信息进在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。行简单的归纳与类比。”第二学段（第二学段（46年级）年级）要要“能根据解决问题的需要，收集有用的信息，能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。力。”第三学段（第三学段（79年级）要年级）要“能收集、选择、能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。测。” 史宁中教授在报告史宁中教授在报告“关于关于数学课程标准数学课程标准的若干思考的若干思考”中认为：希望能够改变过去的教学中认为：希望能够改

58、变过去的教学方法，在教学活动中，能够：方法，在教学活动中，能够： 继续：促进学生理解数学的基础知识、继续：促进学生理解数学的基础知识、 训练学生掌握数学的基本技能；训练学生掌握数学的基本技能； 学会：启发学生领会数学的基本思想、学会：启发学生领会数学的基本思想、 帮助学生积累数学的基本活动经验。帮助学生积累数学的基本活动经验。 “基本思想基本思想”主要是指演绎和归纳主要是指演绎和归纳，这应当，这应当是整个数学教学的主线。在具体的问题中，会涉是整个数学教学的主线。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但等数学思想，但最

59、上位的思想还是演绎和归纳最上位的思想还是演绎和归纳。 史宁中教授认为：史宁中教授认为： 演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。结论。 我们缺少的是根据情况我们缺少的是根据情况“预测结果预测结果”的能力；根的能力；根据结果据结果“探究成因探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。的能力。而这正是归纳推理的能力。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归

60、纳推类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种理是一种“从特殊到一般的推理从特殊到一般的推理”。 借助归纳推理可以培养学生借助归纳推理可以培养学生“预测结果预测结果”和和“探究探究成因成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角从方法论的角度考虑，度考虑，“双基教育双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。来走向社会不利，对培养创新性人才不利。 我国高中数学课程把发现和提出问题、分析我国高中数学课程把发现和提出问题、分析和解决问题的能力细化成十大能力：和解决问题的能力细化成十大能力：