弹塑性力学及其应用05_图文

1、第5章厚壁圆筒的分析 厚壁圆筒的弹塑性分析厚壁圆筒的残余应力厚壁圆球的分析厚壁圆筒:外半径b 与内半径a 之比b/a >1.2。它的几何形状对称于中心轴它的几何形状对称于中心轴,且沿筒体轴向无变化且沿筒体轴向无变化,圆筒的载荷分布亦对称于中心轴圆筒的载荷分布亦对称于中心轴,并沿轴向均相同并沿轴向均相同。平面轴对称问题在这类问题中在这类问题中,应力应力、应变和位移量均与切向坐标应变和位移量均与切向坐标无关无关,而仅是径向坐标r 的函数的函数。厚壁圆筒简介 工程实例 高压容器冷挤压用的凹模和凸模火炮身管厚壁圆筒简介采用极坐标( r ,表示各应力分量表示各应力分量。轴对称性(应力轴对称应力轴对

2、称0=r 径向应力与切向应力仅是r 的函数的函数,与无关无关,(,(r r r (,(r r r 由于轴对称性由于轴对称性,筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀和收缩和收缩,即只产生径向位移(r u 轴向位移仅与z 有关有关,即(z w厚壁圆筒简介 基本方程 平衡方程平衡方程:0=+r dr d r r 几何方程几何方程:rudr du r =,物理方程物理方程:(平面应力平面应力(1(1r r r EE µµ=(1(122r r r EEµµµµ+=+=边界条件边界条件:uu S F S uS u rS r =上在位移上在力的边界边界(平

3、面应变平面应变1(1(2µµµµµ=E E E 5-1厚壁圆筒的弹性分析 位移解法几何方程物理方程(1(122drdur u E r udr du E r µµµµ+=+=平衡方程01222=+r udr du r dr u d 0(1=drru d r dr d rBAr u +=1p 2p 5-1厚壁圆筒的弹性分析1(1(11(1(12222rBAE r BA E r µµµµµµ+=+=const A Er =+µ1(1µ

4、;+=r z z E当(平面应力平面应力或(广义平面应力广义平面应力时,可得,即轴向应变为常量即轴向应变为常量。0=z const z =const z =此时在z 方向为均匀变形,垂直于轴线的平面在变形过程中保持为平面形过程中保持为平面。边界条件边界条件:21,p p br rar r =5-1厚壁圆筒的弹性分析 1(,1(222122222221µµ+=a b E p p b a B a b E b p a p A 222212222122222221222212221(1(a b p b p a r a b p p b a a b p b p a r a b p p

5、b a r +=+=应力分量应力分量:1(1(1(1222212221222r a b p b p a r a b p p b a E u +=µµ位移分量位移分量:Lamé公式它和弹性常数无关它和弹性常数无关,因而适用于两类平面问题5-1厚壁圆筒的弹性分析 讨论厚壁圆筒仅受内压p 1,即p2=01(,1(222212222212rb a b p a r b a b p a r +=1(1(22212r rb a b E p a u µµ+=厚壁圆筒仅受外压p 2,即p 1=01(,1(222222222222r a a b p b r a a

6、 b p b r +=1(1(22222r ra ab E p b u µµ+=1p 2p +-r-r-5-1厚壁圆筒的弹性分析 5-2 厚壁圆筒的弹塑性分析 屈服条件弹塑性状态下的位移 Mises 屈服条件屈服条件:22222( (srz zr =+(21+= r z 平面应变s s r 155.132= 在轴对称平面应变条件下在轴对称平面应变条件下,并设并设=0.5,按两种 屈服条件进入塑性状态时屈服条件进入塑性状态时,其应力组合相同其应力组合相同,所 满足的条件仅相差一个系数满足的条件仅相差一个系数。 Tresca 屈服条件的系数为1;Mises 屈服条件的系数为1.

7、155。5-2厚壁圆筒的弹塑性分析圆筒处于弹性状态圆筒处于弹性状态;圆筒处于弹塑性状态圆筒处于弹塑性状态。5-2厚壁圆筒的弹塑性分析 塑性区abpp pr 塑性区apr pp q弹性区bpr q+圆筒处于弹塑性状态下的压力为p p ,塑性区与弹性区的分界半径为r p ,分界面处的径向压力为q 。5-2厚壁圆筒的弹塑性分析塑性区apr ppq塑性区pr r a 平衡方程平衡方程:0=+rdr d r r 屈服条件屈服条件:s r =0=rdr d sr +=ln 边界条件边界条件:pa r r p =ps p s r p arp ar +=ln 1(ln 弹塑性交界面qpr r r=ar p q

8、 p s p ln=5-2厚壁圆筒的弹塑性分析 弹性区br r p 弹性区bpr q1(1(2222222222r b rb q r r b r b q r p p p pr +=弹塑性交界面 1(222b r q p s=sr r r p=(ar p q p s p ln=1(2ln22brar p p sp s p +=abp s l ln=b r p =时,整个截面进入塑性状态br s r ln=ln 1(brs +=5-2厚壁圆筒的弹塑性分析弹性极限状态塑性极限状态ep +r-pp 弹塑性状态r-+lp r-+r 绝对值的最大值发生在筒体的内壁处绝对值的最大值发生在筒体的内壁处;的最大

9、值随着内压的增加而由内壁移到外壁最大值随着内压的增加而由内壁移到外壁, 弹塑性状态下的位移塑性区p r r a 平面应变0= z 体积不可压缩0=+r 利用几何方程0=+rudr du rC u 1=弹性区br r p 21(1(2222rb r r b E qr u pp +=µµ塑性区apr pp q弹性区bpr qq 为弹性极限载荷21(1(2122222b r r Eb r u sp +=µµ5-2厚壁圆筒的弹塑性分析弹塑性交界处位移u 的连续条件(p r r =21(1(2122221b r Ebr C p sp +=µµ2

10、1(1(212222b r r Eb r u p s p +=µµ塑性区塑性区:(ar u =p oe u ep lu lp 厚壁圆筒内表面处径向位移与内压的关系5-2厚壁圆筒的弹塑性分析圆筒端面条件的影响 工程中的圆筒工程中的圆筒,其端部通常为开口或闭口。前面讨论中假设的平面应变状态前面讨论中假设的平面应变状态,与实际情况的差别对结果的有多大影响呢对结果的有多大影响呢?弹性状态下的轴向应力(µ+=r z z E 1(,1(2222222222rb a b p a r b a b p a r +=2222a b a pE z z +=µ若筒体端部轴向合力

11、为F ,则按圣维南条件有=ba z Az rdrdA F 22(2222p aFa b E a z µ=5-2厚壁圆筒的弹塑性分析 讨论端部为端部为闭口时闭口时闭口时,p a F 2= p a b E a z (21(222=µpa b a z 222=端部为开 端部为开口时口时 口时, = F p a b E a z (2 222=µ0=z 2222a b a pE z z +=µ2(2222p a Fa b E a z µ=平面应变条件下,=z pa b a r z 2222(=+=µµ平面应变介于前两种情况之间况之间,

12、且接近于端部为闭口的情况为闭口的情况,= 0.5时,两种情况重合两种情况重合。5-2厚壁圆筒的弹塑性分析5-3 组合厚壁圆筒的分析圆筒的套装关于塑性极限承载力的讨论5-3组合厚壁圆筒的分析圆筒的套装abcab12bc套装处的过盈量:21+=采用加热外筒方式进行套装若温度升高T 线膨胀系数外筒内半径的膨胀量T b b =b T 5-3组合厚壁圆筒的分析套装后在两个筒体的套装面上将产生均匀的压应力ab12bcpp 内筒外半径处内筒外半径处:(22221µ+=a b a b E pb u b r 外筒内半径处外筒内半径处:(22222µ+=b c b c E pb u b r 2

13、1+=几何条件(2(2222222a c b b c a b bE p =5-3组合厚壁圆筒的分析 套装套装应力分布情况应力分布情况弹性极限状态ep +套装应力分布+-+套装产生了负的切向应力,从而提高了弹性极限承载力从而提高了弹性极限承载力。5-3组合厚壁圆筒的分析分层半径b 和套装过盈量和套装过盈量:abc1p 应力组合在r=a 和r=b 处均有可能先达到临界值均有可能先达到临界值。(r 何处先达到与b 和的选择有关设内外筒体同时产生屈服ab1p 1q内表面处1p 1222222(p a c b c b a p br r =套装压力,外表面处br r p q =+=(内筒内筒:2212(2

14、(a b q p b a r r =5-3组合厚壁圆筒的分析 abc1p 2bcqq自由边界内表面处外表面处外筒外筒:2222(b c q c br r =2212(2a b q p b =222c b 内外筒体同时产生屈服5-3组合厚壁圆筒的分析122222222(2p a b c b c b cb q +=acb =21p q =1(2(p a c ac q p b r r +=1(3(2p ac a c c a E ac +=µ1(2p a c a c c a E ac +=µ内筒外半径处内筒外半径处:(22221µ+=a b a b E pb u b r

15、外筒内半径处外筒内半径处:(22222µ+=bc b c E pb u b r 过盈量121p Eac=+=(由计算的b 和,可获得最大的弹性极限压力可获得最大的弹性极限压力5-3组合厚壁圆筒的分析 关于塑性极限承载力的讨论材料的屈服极限沿厚度变化设厚壁圆筒的内设厚壁圆筒的内、外半径之比为b /a =2,受内压p 1和外压p 2共同作用共同作用。p 1>p 2材料的屈服极限沿筒体厚度的变化规律材料的屈服极限沿筒体厚度的变化规律:25(2(21(1(00a rr a r r s s s s =平衡方程平衡方程:0=+r dr d r r 屈服条件屈服条件:(r s r =0,0&

16、lt;>r C r a r s r +=ln 21(0211(0r a dr d s r =情况情况(1(15-3组合厚壁圆筒的分析边界条件边界条件:21,p p b r r a r r=Cb p C a p s s +=+=ln 211(,ln 211(02010021653.0ln 21(s s a ba ab p p =情况情况(2(20021733.0ln 25(s s a ab a b p p =屈服极限为常数0021693.0ln s s a bp p = 从选材来讲从选材来讲,提高内表面处的屈服极限可以提高塑性极限承载能力塑性极限承载能力;使用屈服极限高的材料作为内筒可以获

17、得较高的塑性极限承载能力塑性极限承载能力。5-3组合厚壁圆筒的分析 两种不同材料的组合厚壁圆筒abcp2s 1s 平衡方程平衡方程:0=+rdr d r r 屈服条件 屈服条件:1s r =qp br rl ar r=,内筒外筒abq ps l ln 1=塑性极限状态bc q s ln2=塑性极限状态bc a b p s s l ln ln21+=+=ill l p p p 215-3组合厚壁圆筒的分析5-4 厚壁圆筒的残余应力 作用于厚壁圆筒内表面上的压力超过弹性极限压力 时,筒体内出现塑性变形筒体内出现塑性变形。 若将作用的压力卸至零若将作用的压力卸至零,在筒体中所卸除的应力服从弹性规律,

18、卸载后在筒体内将出现残余应力。 残余应力是结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的一种应力场的一种应力场。 e ijij r ij =5-4厚壁圆筒的残余应力塑性区abpp pr轴向残余应力分量 端部为端部为开口时开口时开口时,端部为闭端部为闭口时口时口时,0=z 平面应力问题0=r z 平面应变问题21=µ(21 r r r r z +=222ln 21(2ab p b a rp s rz+=塑性区pr r a 弹性区br r p 222222a b p a b r p p s r z=5-4厚壁圆筒的残余应力轴向应变为弹性的轴向应变为弹性的,且保持为常数在加载与卸载过程中在加载与卸载

19、过程中,轴向应变为零由p l 开始卸载lp 由p p 开始卸载pp -r+r r-r+rr-残余应力的屈服条件残余应力的屈服条件:s =处,产生最大值产生最大值。r r r 2min(max p p =载荷全部卸掉后载荷全部卸掉后,在圆筒内表面附近出现压缩 的切向残余应力的切向残余应力,若再次加载加载,则加载所产生的切向应力被抵销 一部分一部分。因此因此,圆筒的弹性极限压力提高了。 在压力容器及火炮身管的制造中,经常将构件加载超过初始弹性极限压力后完全卸载全卸载,从而提高提高弹性极限压力弹性极限压力弹性极限压力。这种工序称为自增强或自紧。5-4厚壁圆筒的残余应力5-5 强化材料的厚壁圆筒 平衡

20、方程平衡方程:0=+rdr d r r232r C i =(23r i =n i i A =r dr rC A r drA d n ni r 32(32322=b r n b rrr dr r C A 32(322brn n n n r n AC 21(322211+=边界条件边界条件:pa r rb r r =,0nnnnnnnnpab Aban C 1122122121(23=+应力分量应力分量:p r a b a nb b r p r a b a b r nn n nn n n n n n n n n r 2222222222222(2(,(+=位移分量位移分量:nn n n n pAn

21、r a b b a u 1222221(23=+不出现塑性极限状态5-5强化材料的厚壁圆筒双线性强化条件下的厚壁圆筒oEmE nEEm 0s 0s 应力应力-应变关系应变关系:拉伸与压缩时的屈服极限分别按两条直线呈线性强化呈线性强化,在经过拉伸后在压缩拉伸后在压缩,其屈服极限有所下降服极限有所下降。反映了材料的Bauschinger 效应效应。(尝试分析尝试分析5-5强化材料的厚壁圆筒 5-6 厚壁圆球的分析弹性分析弹塑性分析在厚壁圆球中在厚壁圆球中,载荷分布对称于球的中心点载荷分布对称于球的中心点。球对称问题所有分量仅是所有分量仅是径向坐标径向坐标r 的函数的函数。5-6厚壁圆球的分析 工程

22、实例化学工业中的高压球罐5-6厚壁圆球的分析 弹性分析ozyx1p r2p 平衡方程平衡方程:0(2=+r r rdr d 几何方程几何方程:rudr du r =,物理方程物理方程:(平面应力1(12(1r r r EE µµµ=ab5-6厚壁圆球的分析 022222=+u r dr du r dr u d 欧拉型二阶线性齐次微分方程变量置换法te r =0222=+u dtdudt u d 22rBAr BeAe u tt+=+=331211221r BE A E r BE A E r µµµµ+=+=边界条件边界条件:21,p p b r r a r r =(2(1(21(332133332313a b E p p b a B a b E p b p a A +=µµ5-6厚壁圆球的分析2333333133333323333331333333(22(22(p a b r r a b p a b r b r a p a b r r a